Bilanci locali

EX: Cilindro - diff. ai O₂

Dati

• R
• g₀ > 0
• lO₂ C₀ = 20mm
• A

Bilancio

J 2πrL |_r J 2πL |_r+Δr - g₀ 2πrL Δr = 0

1. Limite Δr → 0

- d(Jr)/dr - g₀r = 0 → J r = g₀ r²/2 + a₁

J = - g₀ r/2 + a₁/r Neumann a1 = 0

3. Fick

J = -D_O2 dC/dx

- D C = - g₀ r²/4 + a₂

Dirichlet r = e, C = C₀

a₂ = - D C₀ + g₀ e²/4

4. Profilo

C = C₀ - g₀ e²/4D [1 - (r/e)²]

C_min = C |_r=0 = C₀ - g₀ e²/4D

C_min >0 (⇒) C₀ ≥ g₀ e²/4D

- integr.

- eu (1-y_A) = - _{NA R T}⁄_{DAB P} . z + G

↑ Dirichlet z = 0, y_A = y_A,S G = - eu (1- y_A,S)

→ per trovare N_A : Dirichlet : y_A|_z=H = 0

_{NA R T}⁄_{DAB P}. H - eu (1-y_AG) = 0 → N_A = _{P DAB eu (1-yAG)}⁄_RTH

→ N_B = -Q_{BA dCB}⁄_dz + N_TOT . y_B = -Q_BA . _dCB⁄_dz + N_A . y_B = = -Q_{BA P}⁄_{R T dyB}⁄_dz + N_A . y_B

EX.7.7: polarizzazione ai numero uno

1. Bilancio

N_A . S |_x - N_A . s |_{x + Δx} = 0

→ c_I = N_A

ma N_A = J_A + B_A = = - D_{A,m dCA}⁄_dx + V . C_A

→ _dCA⁄_CA = _V⁄_DA,m . ol_x l_C = _DA,m⁄_V

ln C_A = _V⁄_DA,m x + C₂ ← Dirichlet x = 0, C_A = C_A^°

ln C_A^° = C₂  → C_A = C_A^° e^{(_V⁄_DA,m . x)}

→ adimensionualizzazione

C˜_A = _CA⁄_CA^° , x˜ = _X⁄_δ

 → C˜_A = e^{_{V S}⁄_Δ} Pe^det Pe¯ = _{V S}⁄_Δ = _Δ⁄_eC

si forma un CUORE NECROTICO r = Rc

SISTEMA ETEROGENEO

2 bilanci

di eq. termodinamico

di raccordo sulla sup. di contatto

SISTEMA Rc < r < R

BILANCIO: J = - g₀ r³ + C₁/r²

Fick: -D dc/dr = -g₀ r³ + C₁/r² → -DC = g₀ r²/6 - C₁/r + C₂

Dirichlet r=R₁, C = Cs

-DCs = g₀ e²/6 - C₁/R + C₂

SISTEMA 0 < r < Rc

BILANCIO: J = C₂/r² — Neumann G₃=0

Fick: -D dc/dr = 0 → C = C₄

C = 0 perché nullo

⇒ C₄ = 0

Ex: flusso condotto 1

dati

• d = 30°
• τ_PMAX = 50 Pa
• (-Π) = cost.
• Δz = 1 μ m

Rich.

• Q_MAX = ?
• S_MAX = ?

1. Bilancio

τ_yx ΔxΔz|_y - τ_yx ΔxΔz|_y+Δy + ρgΔsinαΔxΔyΔz = 0

2. Lume

-^dτ_yx/_dy + ρgΔsinα = 0 ⇒ τ_yx = ρgΔsinα ∙ y + a₁

y = 0, τ_yx = 0

a₁ = 0

⇒τ_yx = ρgΔsinα ∙ y

τ_yx|_{y = δ} = τ_xMAX = ρgΔsinα ∙ δ

S_MAX = τ_PMAX/^ρgΔsinα = 0,01 m

3. Newton

τ_yx = -μ^dv_x/_dy ⇒ -μv_x = ρgΔsinα y²/2 + a₂

y = δ, v = 0 (Dirichlet)

a₂ = -ρgΔsinα δ²/2

4. Profilo

v_x = ρgΔsinα δ²/^2μ[1 - (y/δ)²]

5. Portata

Q = ∫₀^δ(v_x(y)dy) ∙ Δz = Δz ρgΔsinα δ³/^2μ [δ - δ/3] = ρgΔsinαδ³Δz/^3μ

Q_MAX = Q|_y=SMAX = 1,67 μm³/_s

8) Potenza dissipata

W = (-ΔP) Q = 8ηQ². L = RH. Q² / πR⁴

EX: moto in una sezione anulare

1. Bilancio di massa tot V_x = V x C r
2. Bilancio di qta di moto P. 2πΔx|_x - P 2πΔr|_x+Δx + τ_rx 2πrΔx|_r - τ_rx 2πrΔx|_r+Δr = 0
3. Limite -dP/dx = 1/r d(τ_rx . r)/dr ⟹ 1/r d(rτ_rx)/dr = (-ΔP)/L ⟹ rτ_rx = (-ΔP)r² / 2L + C₁ τ_rx = (-ΔP)r / 2L + C/r
4. Newton τ_rx = -μ dV_x/dr -μV_x = (-ΔP)r² / 4L + C₁ eᵤ r + C₂ Dirichlet {r = r₁, V_x = 0 r = r₂, V_x = 0

C₁ = -(-ΔP) / 4L (R₂² - R₁²) eᵤ (R₂/R₁)

⟹ τ_rx = (-ΔP)r / 2L - (-ΔP) / 4L (R₂² - R₁²) eᵤ (R₂/R₁)

Bilanci locali ai Qtà di moto

Es: moto laminare in una fenditura sottile

Dati:

• ⍴
• (-ΔP)
• L
• 2δ

Rich. V_x(y)=?

1. Bilancio di materia

J_F=⍴V_x|_xΔyΔz| - ⍴V_χ ΔyΔz|_x+Δx=0

ma

∂V_x ∂V_χ — = — = 0 => V_x (y)=const. ∂x ∂z

2. Bilancio Qtà di moto

P.ΔyΔz| - PΔyΔz|_x+Δx +⍴V_χ²ΔyΔz|_x-⍴V_χ²ΔyΔz|_x+Δx

+

Tyx ΔxΔz|_y- Tyx ΔxΔz|_y+Δy=0

➲

PΔyΔz| - PΔyΔz|_x+Δx + Tyx ΔxΔz|_y - Tyx ΔxΔz|_y+Δy=0

3. Limite ΔV→0

-precarietà di carico - —dp — dTyx = 0 (=>) dTyx = (-ΔP) —dx — dy — dy L

Tyx = (-ΔP) y + C₁ — L

4. Newton

Tyx = -μ dVx => - μVx = (-ΔP) y² + C₁y + C₂ — dy — 2L

➲ Dirichlet

y=-δ | V_x =0

y= δ |V_x = 0

C₁ = 0

C₂ = - (-ΔP) δ² — — 2L

5. Profilo

V_x= (-ΔP) δ² - (-ΔP) y² — — 2ML — 2ML

= (-ΔP) δ² [1- (y())²] ⇒ V_MAX=V( y ̲=0) ̧— 2ML