Ber bit error Rate

BER (bit error rate)

BER = (numero bit errati) / (numero tot. di bit trasmessi)

SER = numero di simboli errati / (numero totale di bit trasmessi simboli)

La BER può essere definito anche come una funzione del rapporto segnali rumore: BER = f(S/N)

BER per un segnale affetto da AWGN

BER = Q(^{(S₀₁ − S₀₂)2}/_4σ²)

• potenza del segnale
• potenza del rumore

N.B. Questa espressione vale solo se scegliamo una soglia delle ottima. La soglia ottima si trova a metà strada tra le medie delle passionne. (V_T)_ottimo = (S₀₁ + S₀₂) / 2

OSS: All'aumentare del rapporto potenza segnale-rumore, la BER diminuisce poichè Q(t) è una funzione esponenziale decrescente.

BER di sistemi con LPF (filtro passa basso)

BER_LPF = Q(^{(S₀₁ − S₀₂)2}/_σ²) = Q(^2Ed/_N0)

BER_LPF = Q(√(2Ed/4N₀))

BER di sistemi con Matched Filter

BER_MF = Q(√(^2Ed/_4N0)) = Q(√(Ed/2N₀))

Per trovare BER dei codici di linea, dobbiamo trovare la pot. associata rumore σ² in B.B. e in B.P.

BANDA BASE

BANDA PASSANTE

PSD

N₀/2

σ_v² = ^N₀/₂ B = N₀B

σ_v² = 2N₀B

N.B. Passando dalle bande base alle bande passante la pot. del rumore raddoppia.

BER dei codici di linea

Le formule su cui ci baseremo sono 2:

BER_lpf = Q

(_{S(t) - S(t)})/(4σ_v²); BER_nf = Q(^√Ed/_2N0).

BER della unipolare e della polare un banda base

BER unipolare

BER_lpf = Q(^√NA2/_4N0B)

BER_lpf Q(^√NA2/_4N0B)

Oss. Dato che amplitude "A" sono diverse, per confrontare le due BER, dobbiamo esprimere un termine di E_b (Energia media di bit).

Calcolo E_d (Energia di differenza) 'unipolare'

E_d = ∫_ti^t_f (A - 0)² dt = A²T

Procedimento di Gram-Schmidt

Iterativo, ovvero le funzioni ortonormali φ_i(t) vanno calcolate in ordine cronologico; quindi partiamo dalla φ₁(t):

φ₁(t) = s₁(t) / √E₁

energia E₁ = ∫ s₂(t) dt

per semplicità → s₁² = NE₁

Per calcolare φ₂(t) dobbiamo introdurre una funzione di passaggio g₁(t)

φ₂(t) = g₂(t) / √∫_Tg₂²(t) dt

con g₂(t) = s₂(t) - S₂₁ φ₁(t)

E proseguiamo fino all’ultima funzione; in generale per calcolare φ_i(t)

dove g_i(t) = s_i(t) - ∑_j=1^i-1 S_ij ∙ φ_j(t)

φ_i(t) = g_i(t) / √∫g_i²(t) dt

con φ_i(t) = S_i(t) = [∑ S_ij ∙ φ_j(t)]

"In reazione non so con esattezza cosa ho ricevuto, ma ho una certa probabilità avvero conosco la forma (filtro formatore). L'adatto quindi il ricevitore alla forma del segnale; Porto dunque da una famiglia di segnali s_i(t) e trovo rispettivi p_i(t) utili alla ricezione ottima. Se adatto i φ(t) alla famiglia dei segnali che devo ricevere, riceverò di ricezione diretto (...)

Dimostriamo come la norma è l'energia del segnale: ["..." il segnale] s_i rappresento sul piano teorico come un vettore, per cui si possono applicare le regole dei vettori:

E_i = ||s_i∙e_i||² = (s_i)^T ∙ s_i = ∑_j=1^N (s_ij)²

Energia del segnale

E_i = ∫ s_i²(t) dt =

[∑_j=1^N S_ij(t) ∙ φ_i(t)]

"Def. di energia"

= ∑_j=1^N S_ij ∙ S_ik ∙ ∫_T φ_j(t) ∙ φ_k(t) dt

= ∑_j=1^N (S_ij)²

essendo basi ortonormali questo termine vale 1 quando j=k, altrimenti vale 0.

Quindi facendo la somma al quadrato ottengo l’energia del segnale.

All’aumento dell’energia del segnale, otteniamo una costellazione (...)

Codifica di Gray (Caso Migliore) (Lower Bound)

I simboli adiacenti si differenziano di un solo bit.

• Le ipotesi sono:
• simboli adiacenti differiscono di un solo bit;
• canale statico a basso tasso d'errore;
• il numero ha energia per scendere soltanto un bit.

Oss. La codifica di Gray risulta essere la migliore perché se sbagliamo un simbolo siamo certi di sbagliare solo un bit.

Assumendo la codifica di Gray risulta essere nel caso migliore di BER e nel lower bound della Prob. di errore.

f(P_e) ≤ BER.

Con P_e: P_e = P (⋃_i=1^{log₂ M} {bit i-esimo sbagliato})

Ora essendo la Prob. di sbagliare un bit uguale per ogni simbolo possiamo riscrivere come:

1. P_e ≤ ∑_i=1^{log₂ M} P{bit i-esimo sbagliato}

P_e ≤ log₂ M ⋅ BER

il volte le prob. di sbagliare un bit.

P_e / log₂ M ≤ BER LOWER BOUND

H = 2^l