Ber bit error Rate

BER (bit error rate)

BER = _{(numero bit errati)} /_{(numero tot. di bit trasmessi)}

BER = _{numero di simboli errati} /_{(numero totale di simboli trasmessi)}

(nel caso di due livelli)(nel caso di molti livelli)

la BER può essere definita anche come una funzione del rapporto segnale rumore:

BER = f_{(S / N)}

BER per un segnale affetto da AWGN

BER = Q _{(√((Ss0 - Ss1)² / 4σ²))} → potenze del segnale → potenze del rumore

N.B. Questa espressione vale solo se scegliamo una soglia ottima. La soglia ottima si trova a metà strada tra le medie delle passioni.

(V_T)_ottima = (S_s0 + S_s1) / 2

OSS. All'aumentare del rapporto potenza segnale-rumore, la BER diminuisce poiché Q(t) è una funzione esponenziale decrescente.

BER di sistemi con LPF (filtro passa basso)

BER_LPF = Q _{(√(Sn - Ss2) / σ²)} → 2E_d / N_o

BER_LPF = Q (√2E_d / 4N_o)

BER di sistemi con Matched Filter

BER_MF = Q (√(2E_d / 4N_o)) = Q (√(E_d / 2N_o))

BER (bit error rate)

BER = _{(numero bit errati)} / _{(numero tot. di bit trasmessi)} (nel caso di due livelli)

BER = _{(numero di simboli errati)} / _{(numero totale di bit trasmessi)} (nel caso di multivello)

la BER può essere definita anche come una funzione del rapporto segnale rumore:

BER = f( _S/N )

BER per un segnale affetto da AWGN

BER = Q( _{(Sy1 - Sy2)² / 4 σ²} ) -> potenza del segnale, potenza del rumore

N.B.

Questa espressione vale solo se specifico una soglia ottima. La soglia ottima si trova a metà strada tra le medie delle gaussiane.

(V_T)_ottimo = _{(Sy1 + Sy2) / 2}

OSS: All'aumentare del rapporto, potenza segnale-rumore, la BER diminuisce poiché Q(t) è una funzione esponenziale decrescente

BER di sistemi con LPF (filtro passa basso)

BER_LPF = Q( _{(So1 - So2)² / σ²} ) = Q( _√(2Ed/No) )

BER di sistemi con Matched Filter

BER_MF = Q( _√(Ed/2No) )

Per trovare BER dei codici di linea, dobbiamo trovare le pot. associate.

Rumore σ_c² in B.B e in B.P.

BANDA BASE

N₀

• σ_c² = _ρ= 2ρ B

BANDA PASSANTE

N₀

• σ_c² = 2N₀B

NBPassando dalle bande base alle bande passante, le pot. del rumore raddoppia.

BER dei codici di linea

Le formule su cui ci baseremo sono 2:

BER_bip = Q

• );
• BER_NRZ = Q

BER della unipolare e della polare un banda base

BER unipolare

BER_bip = Q

BER polare

BER_bip = Q

Osser. Dato che le ampierezza "A" sono diverse, per confrontare le due BER, dobbiamo esprimere in funzione di E_b (Energia media di bit).

Calcolo E_dif (Energia differenza) "unipolare"

Eb sarà :

^T ∫_τ A² dt + ∫_τ 0² dt = ^A2T/₂

Troviamo quindi le BER utilizzate per le "unipolari"

BER_MF = Q ( √^Ed/_2N0 ) = Q ( √^A2T/_2N0 ) = Q ( √^Eb/_N0 )

Passiamo adesso alle Polar e facciamo gli stessi procedimenti

Troviamo Ed :

Ed = ∫_τ [A - (-A)]² dt = ∫_τ 4A² dt = 4A²T

Troviamo Eb :

Eb = ∫_τ A² dt + ∫_τ -A² dt / 2 = ^{A2T + A2T}/₂ = A²T

=> BER ottenibile per la "polare"

BER_MF = Q ( √^Ed/_2N0 ) = Q ( √^4A2T/_2N0 ) = Q ( √^2Eb/_N0 )

Oss:

Possiamo notare che a parità di potenza di rumore e di BER, con la polare abbiamo N₂, che corrisponde ad un guadagno di 3dB. Quindi utilizzando una polare anziché una unipolare dimezziamo l'energia, mantenendo le stesse prestazioni.

BER della bipolare in banda base

BER_MF =