Calcolo della BER per tecniche binarie

CALCOLO DELLA BER PER TECNICHE BINARIE

B-Psk

s₁ ∫-Ac cos (ω_ct) quando trasmetto "1" se 0 < t ≤ T_b

s₂ ∫-Ac cos (ω_ct) quando trasmetto "0" se 0 < t ≤ T_b

Conosciamo la potenza associata ad una sinusoide che è:

A = √2E_b/T_b

(Ampiezza in termini di energia)

Riscriviamo il segnale sostituendo A:

s₁ = ∫√2E_b/T_b cos(ω_ct) ω_c = 2πf_c

s₂ = ∫√2E_b/T_b cos(ω_ct)

Applichiamo GRAM-SMITH e notiamo subito che basterà una sola base, ortonormale φ dato che s₁ ed s₂ sono linearmente dipendenti, ovvero uguali ma di segno opposto.

φ₁(t) = S₁(t)/√E₁ = √2/T_b cos(ω_ct) / √E_b = √2/T_b cos(ω_ct)

s₁ = ∫₀^T_b s₁(t) * φ₁(t) dt = ∫₀^T_b [ √E_b/T_b cos(ω_ct) * √E₁ cos(ω_ct) dt = √E_b ]

S₂ = -√E_b

La Probabilità di errore è:

P_e = 1/2 erfc (√2E_b/N₀) = 1/2 erfc (√E_b/N₀)

Essendo la Bi-Psk una modulazione binaria la P_e coincide con la BER

P_e = BER = 1/2 erfc (√E_b/N₀)

(= BER polare)

B-FSK

S_i(t) = √(2E_b/T_b) * cos(2πf_it) 0 ≤ t ≤ T_b con i = 1,2: 2

occorre

Conviene scegliere due frequenze ortogonali e distanziate tra loro di "1/T_b". Per farlo utilizziamo la REGOLA DI SUNDE.

f_i = i₁/T_b

Applichiamo la regola troviamo 2 frequenze ortogonali con le quali scrivere le funzioni ortonormali.

Φ₁(t) = √(2/T_b) * cos(2πf₁t)

Φ₂(t) = √(2/T_b) * cos(2πf₂t)

Applichiamo GRAM-SCHMIDT per trovare i segnali:

S_i(t) = ∑_j=1^N S_j * Φ_j(t)

dove gli S_ij

S_i

Procediamo che: S_ij = ∫_T S_i(t) * Φ_j(t) dt

Distinguiamo quindi 2 casi:

1. i ≠ j

S_ij = ∫_T [√(2E_b/T_b) * cos(2πf_it) * √(2/T_b) * cos(df_jπ*t)] dt = 0

= 0 perché i ≠ j

2. i = j

S_ij = 2/T_b * √E_b * ∫_1/Tb cos²(2πf_jt) dt = 2/T_b * √E_b * T_b/2 = √E_b

Le coordinate sono dunque :

S₁ = (√E_b, 0)

S₂ = (0, √E_b)

M-QAM

In questo caso a parità di potenza, operiamo una modulazione sia di ampiezza che di fase.

s_i(t) = 2Eb / T (a_i ) (cos(ωt) ) + ( 2Eb T b_i ) (sen ( ωt) ) 0≤t≤T

altrimenti

Aggiungendo "a_i" e "b_i" oltre a modulare la fase, moduliamo anche l'ampiezza, ottenendo la seguente costellazione:

"a_i" e "b_i" possono assumere i seguenti valori:

• a_i = +1, -1, +3, -3
• b_i = +1, -1, +3, -3

N.B. a_i e b_i sono le proiezioni dei segnali su φ₁ e φ₂

E₀ è l’energia associata ai punti più vicini all’origine

Oss come per la Q-PSK settiamo la Pc come composizione di 2-B-PSK e allo stesso modo facciamo nel nostro caso. Questa tecnica può essere applicata a qualsiasi modulazione composta a patto che i punti siano equidistanti dall’origine.