Calcolo della BER per tecniche binarie

Calcolo della BER per tecniche binarie

B-Psk

S₁ Ac cos (ω_ct) → quando trasmetto "1" se 0<t ≤ T_b
S₂ -Ac cos (ω_ct) → quando trasmetto "0" se 0<t ≤ T_b

Conosciamo la potenza associata ad una sinusoide che è: P = A² = \[ \frac{E_{1}}{T}\] ; da qui ricaviamo l'ampiezza: A = \[ \sqrt{\frac{2E_b}{Tb}}\] (Ampiezza in termini di energia)

Riscriviamo il segnale sostituendo A: S₁ \[ \sqrt{\frac{N_{1}}{Tb}}\] cos (ω_ct) ω_c = 2πf_c
S₂ \[ -\sqrt{\frac{2E_b}{Tb}}\] cos (ω_ct)

Applichiamo GRAM-SMITH e notiamo subito che basterà una sola base: ortonormale φ è dato che s₁ ed s₂ sono linearmente dipendenti, ovvero uguali ma di segno opposto. φ₁(t) = \[\frac{S_1(t)}{E1}\] = \[ \sqrt{\frac{2}{Tb}}\] cos (ω_ct) = \[ \sqrt{\frac{2}{1b}}\] cos (ω_ct)

S₁ = \[\int_{T_b}\] S₁(t) · φ₁(t) dt = \[\int_{T_b}\] \[ \sqrt{\frac{E_{1b}}{Tb}}\] cos (ω_ct) + \[ \sqrt{\frac{1}{Tb}}\] cos (ω_ct)] dt = \[ \sqrt{E_b}\]
S₂ = -\[ \sqrt{E_b}\]

La Probabilità di errore è: P_e = \[\frac{1}{2}\] erfc \[ \sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\] = \[\frac{1}{2}\] erfc \[ \sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\]

Essendo la B-Psk una segnalazione binaria la P_e coincide con la BER: P_e = BER = \[\frac{1}{2}\] erfc \[ \sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\]

Ricordate il rapporto tra erfc e Q(z) BER = BER polare P_e = BER = \[\frac{1}{2}\] erfc \[ \sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\] = Q(\[ \sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\])

Calcolo della BER per tecniche binarie

B-Psk

s₁ = Ac cos (w_ct) → quando trasmetto "1" se 0 < t < T_b
s₂ = -Ac cos (w_ct) → quando trasmetto "0" se 0 < t < T_b

Conosciamo la potenza associata ad una sinusoidale che è: P = A² = E_T / T ; da qui ricaviamo l'ampiezza: A = √(2E_b / T_b) (Ampiezza in Termini di energia)

Riscriviamo il segnale sostituendo A: s₁ = √(2E_b / T_b) cos (w_ct)   w_c = 2πf_c
s₂ = -√(2E_b / T_b) cos (w_ct)

Applichiamo GRAM-SMITH e notiamo subito che basterà una sola base, ortonormale φ è dato che s₁ ed s₂ sono linearmente dipendenti, ovvero uguali ma di segno opposto: φ₁(t) = S₁(t) / √(E₁) = √(2 / T_b) cos (w_ct) = √(2 / E_b) cos (w_ct)

S₁ = ∫₀^T_b[S₁(t)·φ₁(t)] dt = √(E_b)
S₂ = -√(E_b)

La probabilità di errore è: P_e = 1/2 erfc (√(2E_b / N₀)) = 1/2 erfc (√(E_b / N₀))

Essendo la B-Psk una segnalazione binaria la Pe coincide con la BER P_e = BER = 1/2 erfc (√(E_b / N₀))

Inoltre ricordando il legame tra erfc e Q(z) [ Q(z) = 1/2 erfc (z / √2) ] => P_e = BER = 1/2 erfc (√(E_b / N₀)) = Q(√(2E_b / N₀)) (= BER polar)

B-FSK

S_i(t) ={^√_2Eb/_Tb } · cos (2πf_it) 0 < t ≤ T_b con i = 1, 20 altrimenti

Fi_j(t) = √^{2}/_{Tb} · cos (2πj f_it)
F₂(t) = √_2/Tb · cos (2πf₂t)

Applicando GRAN-SMITH per trovare i segnali: S_i(t) = Σ^N_j=1 s_ij · φ_j(t) dove gli s_{ij T}

P₂(t) = ∫ S_i(t) · φ_j(t) dt

Ricordiamo che: s_ij = ∫ S_i(t) · φ_j(t) dt

Distinguendo quindi 2 casi:

• i ≠ j s_ij = ∫ √_2Eb/_Tb cos (2πf_t) √_2/Tb cos (2πf_jt) dt = 0 = 0 perché i ≠ j
• i = j s_ij = 2/T_b · √_Eb · cos²(2πf_it) dt = En / Tk √_Eb · ∫1/T_b ³ = √E_b

Le coordinate sono dunque: s₁ = (√E_b, 0)
s₂ = (0, √E_b)

La costellazione è simmetrica, quindi posso scrivere la BER come: P_e = BER = ¹/₂ erfc (^√E_b/_2N0) = ¹/₂ erfc (^√E_b/_2N0)= Q (^√E_b/_N0)

Calcolo della BER per tecniche multivello

Q-PSK

Abbiamo 4 segnali, sfasati tra loro di 90°

S_i(t) =           √^2E/_T . cos [^2&pgr;ft_ct) + &lpar;2i-1&rpar;^&pgr;/₄]     con 0 < t ≤ T altrimenti _{α         β}

S_i(t) =                √^E/_T * cos [&lpar;2i+1&rpar;^&pgr;/₄] * cos (2&pgr;f_c t) -√^E/_t * sen [&lpar;2i-1&rpar;^&pgr;/₄]

Questa tecnica si chiama in quadratura e può essere vista come 2 B-PSK: una si appoggia al seno e una al coseno. Dato che sen e cos sono ortogonali, per rendere le funzioni φ_i(t) ortonormei dovrei dividerli per √E

S_i(t) = √E . cos [&lpar;2i-1&rpar;^&pgr;/₄] . φ₁(t) - √E sen [&lpar;2i-1&rpar;^&pgr;/₄] . Υ₂(t) φ₁(t) e φ₂(t) sono orto normei in T.

Per trovare le coordinate di ciascun segnale quindi: S_i=                           −√E [cos&lpar;2i-1)⊃&pgr;/₄]           e sostituisco i = 1, 2, 3, 4 per trovare le coordí di s₁, s₂, s₃, s₄

La costellazione è simmetrica quindi posso utilizzare le formule: Pe ≤ 1/2 _k=1^N erfc (d_ik/2N₀)

N.B Così le distanze non sono tutte uguali perché d₁₃ è maggiore quindi dobbiamo assumere che valga la codifica di GRAY (quindi non posso selezionare sì con s₃); le distanze d₁₃ si può omettere e la Pe diventa: Pe ≤ erfc (2N/ 2N₀) = erfc (E/2N₀)

Condizione di lower bound

La BER vale : BER = 1/2 erfc (2E_b/2N₀) = Q (2E_b/N₀)

N.B. La B-PSK e la Q-PSK hanno la stessa BER, ma utilizzando la Q-PSK al posto della B-PSK dimezzo la banda.

M-PSK

Avendo M segnali, ho anche M fasi.

s_i(t) = √2E/_T . cos [2πf_ct + 2π/ M (i-1)] 0 < t < T con i = 1,2,3,4... M.
0 altrove

s_i(t) = √E/_T . cos (2πf_ct) . cos [2π/ M (i-1)] - √E/_T . sen (2πf_ct) sen [2π/ M (i-1)]

s_i(t) = √E . cos [2π/ M (i-1)] . φ₁(t) - √E sen [2π/ M (i-1)] . φ₂(t)

Le funzioni φ₁(t) e φ₂(t) sono ortonormali in T.

Per trovare le coordinate operiamo come in un precedete: s_i √E cos [2π/ M (i-1)] sostituendo i =1,2,3,..., N.
-√E sen [2π/ M (i-1)]

Supponiamo M=8

Ricordando che la costellazione è simmetrica, e che vale la codifica di Gray, quindi l'unica distanza valida è d₁₂ o d₁₈, la Pe è: Pe ≤ erfc (d₁₂ / 2√N₀) dove la d₁₂ = 2√E . sen (π/M) ⇒ Pe ≤ erfc (√E/N₀ . sen (π/M))

M-QAM

In questo caso a parità di potenza, operiamo una modulazione sia di ampiezza che di fase.

1. ^2E_b/_T a_i cos (w_ct) + ^2E_b/_T b_i sen (w_ct) 0 ≤ t ≤ T

s_i(t) = 0 altrimenti

Aggiungendo "a_i" e "b_i" oltre a modulare la fase, moduliamo anche l'ampiezza, ottenendo le seguenti costellazioni:

1. "a_i" e "b_i" possono assumere i seguenti valori: a_i = +1, -1, +3, -3 ; b_i = +1, -1, +3, -3

N.B. a_i e b_i sono le proiezioni dei segnali su φ₁ e φ₂
Es. (a_i, b_i) = (-1, 3) qui è associato un segnale.

N.B. E_o è l'energia associata ai punti più vicini all'origine

Oss: come per la Q-PSK settiamo la Pe come composizione di 2 B-PSK, allo stesso modo facciamo nel nostro caso: questa tecnica può essere applicata a qualsiasi modulazione composta a patto che i punti siano equidistanti dall'origine.

Applicando questa proprietà, possiamo scomporre la M-QAM come la composizione di due L-ASK (Amplitude shift-keying) ad L livelli.

M-QAM --> 2 L-ASK con L=√M

Es. In questo caso, combinando 2 simboli della L-ASK ottengo un simbolo della M-QAM

Serviranno le Pe delle L-ASK: P_e = (1 - ¹⁄_L) erfc √_Eb⁄No

Per trovare quelle della M-QAM basta moltiplicarla per 2: P_e ≈ 2 (1 - ¹⁄_L) erfc √_2Eb⁄No

Pe della M-QAM (Poco utilizzata)

Ora la riscriviamo in una forma più utilizzata, ovvero in funzione dell'energia media per simbolo. P_e ≈ 2 (1 - ¹⁄_√M) erfc √_{^3Es⁄2(L-1)No} (Più utilizzata)

Oss 1. All'aumentare di "M" diminuisce l'argomento della erfc, di conseguenza aumenta le Pe. Per valori molto grandi di M la QAM diviene poco efficiente. La 16-QAM è una delle configurazioni migliori e più usate.

Oss 2. Utilizzando una M-PSK, piuttosto che la M-QAM, aumenta la velocità di trasmissione, quindi se dobbiamo diminuire le velocità conviene passare alla M-QAM.

H-FSK (modulazione poco utilizzata)

Trattandosi di un segnale ad "M" livelli, a ciascuno di essi è associata una frequenza diversa.

"f_c" è la frequenza centrale vettore e qui si distribuiscono le diverse frequenze che associo ai vari simboli. Le freq. possono essere scelte a caso ma utilizzando la regola di SUNDE, trovo le freq. ortogonali tra loro. f_c = ^{n₀ + i}/_T = 1/2T le freq. distanti 1/2T sono ortogonali tra loro.

Sotto queste condizioni, la prob. di errore: P_e = 1/2 (M-1) erfc (√_Es/^2N₀)

Oss. All'aumentare di "M" aumenta la P_e ma in maniera minore che altre modulazioni, perché qui M non è argomento delle erfc, quindi abbiamo curva crescente lineare e non esponenziale cioè vuol dire che a parità di livelli e a parità di potenza conviene usare questo piuttosto che la M-QAM. (Mappare efficiente nel potenza)

Domanda d'esame: All'aumentare di "M" cosa succede in termini di spettri?
I lobi della PSD si abbassano perché la potenza (pur essendo sempre uguale) si distribuisce sulle "M" frequenze; quindi aumenta le bande ma diminuisce lo spettro.