Basi per la Meccanica

significato geometrico di moltiplicare un vettore per la proiezione del secondo vettore lungo la direzione del

primo. ⟨ ⟩ | |

⃗ ⃗ ⃗

| |

⃗ ⃗

c=⃗

a ∙ b= a , b → c= a b cos θ

Il prodotto scalare di due vettori perpendicolari tra di loro è nullo. Valgono le proprietà:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

( )

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ =⃗ ⃗ ⃗

a ∙ b= b∙ a ; a ∙ b+ c a ∙ b+ a ∙ c

Il prodotto vettoriale invece è il prodotto di due vettori che restituisce un vettore, ed è il modulo del primo

vettore per il modulo del secondo per il seno dell’angolo compreso tra i due vettori. La direzione del vettore

risultante è quella perpendicolare al piano definito dai due vettori. Il verso del prodotto vettoriale è definito

dalla regola della mano destra: è infatti anti-commutativo. Il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è

nullo. ⃗ ⃗ ⃗ | || |

⃗ =⃗ ⃗ =

c a Λ b=⃗

a × b=−

b × a a b sinθ ⃗ ⃗

u e u ⃗

v

Se prendiamo un sistema di riferimento cartesiano con due versori e un vettore abbiamo:

x y

⃗ =⃗ + ⃗ ⃗ =v ⃗ ⃗ =v ⃗ ⃗ =v ⃗ + ⃗

v v v → v u , v u → v u v u

x y x x x y y y x x y y

È utile scomporre i vettori perché possiamo ora definire il prodotto scalare e quello vettoriale in componenti

cartesiane, sapendo anche che se moltiplichiamo tra loro due versori nella stessa direzione il risultato è 1 e

due versori ortogonali il risultato è 0. Come definiamo quindi il prodotto scalare?

⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ ⋅

⃗ +a ⃗ + ⃗ ⃗ +b ⃗ +b ⃗ =

c=⃗

a b= a u u a u b u u u a b ∙ 1+ a b ∙ 1+ a b ∙1=¿

x x y y z z x x y y z z x x y y z z

+a +

a b b a b

x x y y z z

Per quanto riguarda il prodotto vettoriale, dobbiamo innanzitutto notare che se moltiplichiamo due versori

nella stessa direzione il risultato è nullo poiché sono paralleli. Inoltre, dobbiamo sapere che per la regola

⃗ ⃗ =⃗ ⃗ ⃗ =⃗ ⃗ ⃗ =⃗

u × u u , u × u u , u × u u

della mano destra: . Quindi:

x y z y z x z x y

⃗ ( ) ( )

⃗ + ⃗ +a ⃗ ⃗ + ⃗ +b ⃗ =¿

c=⃗

a × b= a u a u u × b u b u u

x x y y z z x x y y z z

( ) ( ) ( )

¿ −a ⃗ + −a ⃗ + −a ⃗

a b b u a b b u a b b u

y z z y x z x x z y x y y x z

Se cambio sistema di riferimento una grandezza scalare non cambia, perché la quantità che la definisce

rimane sempre la stessa; ma anche per quanto riguarda una grandezza vettoriale, essa non cambia cambiando

il sistema di riferimento, in quanto cambiano solo le coordinate, ma il modulo e il punto di partenza e di

arrivo rimangono gli stessi.

⃗

v ∆ t → 0

La derivata di un vettore è il limite del rapporto incrementale per :

( )−⃗

⃗ +∆ (t)

v t t v

ⅆ ⃗ ⃗

v ∆ v

= =

lim lim

ⅆ t ∆ t ∆t

∆ t → 0 ∆ t →0