Baricentri e momenti di inerzia

La suddivisione di un corpo in elementi ha carattere ideale in quanto in generale i corpi danno l'impressione di una distribuzione continua di materia in un dominio dello spazio. Si introduce quindi lo schema continuo nel quale la massa ϻ, distribuita in ogni porzione del dominio tridimensionale, C accupato dal corpo. Ad ogni porzione finita misurabile di C viene associata la massa ϻ(c) degli elementi in essa contenuti. Dividendo ϻ(c) per la misura assoluta del volume di C, si ottiene una grandezza scalare che dà una valutazione globale della distribuzione di massa in C [ML_-3] (densità volumetrica media di C). Per passare a una valutazione locale della distribuzione della massa fissiamo in C un punto P e consideriamo le porzioni c di C che attorno a contano P abbiano dimensioni tali da non rendere evidente la struttura atomica del corpo. È possibile ridurre un insieme c_o a l e queste diminuito di ε, tal che hanno la stessa densità media della quale si dà il valore di densità volumetrica nel punto ϻ(ν).

ϻ(_ν) contenenza la distribuzione della massa nello schema continuo di un corpo e ϻ di C prenda il nome di elemento del corpo. La massa di una porzione c del corpo è data da

ϻ(c) = ∫ ϻ_ν (_οΡ) dC e sostituendo c con C

si ottiene ϻμ, la massa del corpo. Se la densità ha valore costante in C il corpo s'argomenta e la massa totale è data dal prodotto del volume del corpo per la sua densità. Il dominio C accettato del corpo si assuma figura. Se la figura è bidimensionale la massa è distribuita su una superficie e la distribuzione della massa è caratterizzata dalla densità superficiale ρsu [ML^-2].

La suddivisione di un corpo in elementi ha carattere ideale. In questo,

in generale, i corpi danno l'impressione di una distribuzione continua di

materia in un dominio dello spazio. Si introduce quindi lo schema continuo

nel quale la massa è distribuita in ogni porzione del dominio tridimensionale,

C, occupato dal corpo. Ad ogni porzione finita misurabile di C viene

associata la massa μ(c) degli elementi in essa contenuti. Dividendo μ(c)

per la misura assoluta del volume di C, si ottiene una grandezza scalare che

dà una valutazione globale della distribuzione di massa in C [M L^-3] "densità

volumetrica media di C". Per passare a una valutazione locale della

distribuzione della massa fissiamo in C un punto P, e consideriamo le porzioni

c di C che, atte a contornare P, abbiano dimensioni tali da non rendere

evidente la struttura atomica del corpo. È possibile allora una lunghezza o t ⌀

e queste domostrino che c s.ɣ. hanno la stessa densità media, alla quale

si dà il nome di "densità volumetrica nel punto P (μv).

μv(⎯op⎯) caratterizza la distribuzione della massa nello schema continuo di un corpo

e, μv dC prendendo il nome di elemento del corpo. La massa di una porzione

c del corpo è data da μ(c) = ∫ [μv(⎯op⎯)] dC e sostituendo c con C

si ottiene μ, la massa del corpo. Se la densità ha valore costante in

C, il corpo è omogeneo e la massa totale è data dal prodotto del volume del corpo

per la sua densità. Il dominio C occupato dal corpo si esamina figura.

Se la figura è bidimensionale, la massa è distribuita su una superficie e la

distribuzione della massa è caratterizzata dalla densità superficiale μs [M L^-2].

Per i corpi nei quali un altro procedimento sulle altre si adotta uno schema

unidimensionale (il corpo viene assimilato a una linea) e la distrib. di massa è caratterizzata dalla densità lineare μ [ML^-1].

È opportuno istituire dei procedimenti che permettano di determinare semplicemente il baricentro dei corpi nel loro schema continuo.

La relazione vista nel capitolo 5 definisce il baricentro di uno schema puntellato. Proiettando tale relazione sugli assi di una terna di origine o si hanno 3 relazioni, siano:

OG = _h Σ μ_h oP_h / μ = 0

{

x_o = 1/μ _i Σ μ_h x_h

y_o = 1/μ _i Σ μ_h y_h

z_o = 1/μ _i Σ μ_h z_h

Se si adotta lo schema continuo le relazioni che individuano il baricentro si ottengono sostituendo μ_h con μV dC e la sommatoria con gli integrali estesi a C

OG = 1/μ ∫ μV oP dC (C)

{

x_o = 1/μ ∫ x μV dC

y_o = 1/μ ∫ y μV dC

z_o = 1/μ ∫ z μV dC

Se il corpo è omogeneo (C = μ/μV) la densità la porto fuori dall'integrale, quindi

OG = 1/C ∫ oP dC (C)

{

x_o = 1/C ∫ x dC

y_o = 1/C ∫ y dC

z