Baricentri e momenti di inerzia

La suddivisione di un corpo in elementi

In generale, i corpi danno l'impressione di una distribuzione continua di materia in un dominio dello spazio. Si introduce quindi lo schema continuo nel quale la massa μ è distribuita in ogni porzione del dominio finemente accettato del corpo. Ad ogni porzione finita misurabile c di c viene assegnata la massa μ(c) degli elementi in essa contenuti. Dividendo μ(c) per la misura assoluta del valore di c, si ottiene una grandezza scalare che dà una valutazione globale della distribuzione di massa in [M·L^-3] (densità volumetrica media di c). Per passare a una valutazione locale della distribuzione della massa si fissa in c un punto p e considerando le porzioni c di c che attornano p debbono dimensioni tali da non rendere invisibile la struttura atomica del corpo. È possibile definire un insieme d° di c e accertato d° ∈ c

hanno la stessa densità media alla quale si dà il nome di densità volumetrica nel punto p (μv).

μv(∂p) f _contenitiva la distribuzione della massa nello schema continuo di un corpo e μv(dc) prendendo il nome di elemento del corpo. La massa di una porzione c del corpo è data da

• μ(c) = ∫[μv(∂p)]dc

si ottiene M, la massa del corpo. Se la densità non viene costante in C il corpo è omogeneo e la massa totale è data dal prodotto del volume del corpo per la sua densità. Il dominio c accettato del corpo si chiama figura. Se la figura è bidimensionale, la massa è distribuita su una superficie e la distribuzione della massa è caratterizzata dalla densità superficiale μs [M·L^-2]. Per i corpi nei quali un dim predominia sulle altre si adotta uno schema

unidimensionale (il corpo viene assimilato a una linea) e la distrib. di massa è caratterizata dalla densità lineare μ [ M L^-1 ].

Ë opportuno istituire dei procedimenti che permettono di determinare semplicemente il baricentro dei corpi, nel loro schema continuo.

La relazione vistra nel capitolo 5 dell'inse il baricentro di uno schema puntiforme. Proiettando tale relazione sugli assi di una terna di origine o si hanno le relazioni:

Se si adotta lo schema continuo le relazioni che individuano il baricentro si ottengono sostituendo × substituedo μ_i con μ dL è le sommatorie con gli integrali estesi a C

Se il corpo è omogeneo (μ = μ/h_v) la densitè la porta fuori dell'integrale quindi:

Se il quadrilatero ha due lati opposti non paralleli _LM e _PQ, prolungando essi si intersecano in _K.

Troviamo i baricentri _G1 e _G2 relativi rispettivamente ai triangoli _PRM e _QRL. _G è alla retta per _G1 e _G2 ed è esterno al segmento _G1G2. Il rapporto tra le lunghezze dei segmenti _G1G e _GG2 è l’inverso del rapporto tra le misure assolute delle aree dei corrispondenti triangoli.

_AP1 = _{G1A1 G2A2} = _G2A2

Nel caso di un trapezio _G ∈ ^HH//.

Dopo aver trovato il baricentro _G' di uno dei due triangoli in cui una diagonale divide il trapezio, _G è dato dall'intersezione di ^HH// con la retta //a tale diagonale per _G'.

Il baricentro può anche essere determinato prolungando in verso opposto le due basi di un segmento di lunghezza uguale all'altra base e trovando gli estremi _EF._G è dato da _EF ∩ ^HH/.

Quadrilatero intersectato

Dopo aver trovato _G1 e _G2 si trova mediante la O

Consideriamo un punto proprio R' nello spazio solido e un corpo rigido e sia ξ₁ ξ'₁ ξ'₁ una terna definita in tale spazio e avente origine in R'.

Introdniamo con ω la generica retta della stella di centro R', e un vettore //ad esa con α', β', γ' i coseni diretrirti di ω rispetto a R'η

La distanza δ_h tra la retta α e un elemento percerle E_h del corpo rigido che occupi il punto P⊂h _{di coordinato ξhηhδh è data da}

d_a = |ω x ^ξ_hP^h | = |ω P^h| sin α

le componenti di questo prodotto vettoriale sono i minor della matrice

• (α' β' γ')
• ξ_h η_h δ_h

da cui

δ_h2 = [α'η_h - ξ_h'β']² + [ β'δ^h' γ'η_h]² + [ γ'ξ^h'α'δh ^h]²

moltiplicando ambi i membri per m_k e sommando per h=1 ...N

si ottiene una relazione che lega il ≈ inerzia Ja del corpo oi coseni diretr. α'β'γ'del vettore u \\a

e scripiondo i termini che torn a fattore i quad.ri ei prodotto dei coseni diretr. di (vedi appunti) si ottiene la relazione:

J_a = Aα'₁₂+ Bβ'₁₂ + C γ'₁₂ - 2 D α'B' -2Eβ'γ' - 2Fδα'

La conoscenza dei momenti centrali d’inerzia consente di calcolare mediante la legge

J_a = Aα² + Bβ² + Cγ² + Mad² il momento d’inerzia rispetto ad ogni asse a distante d da G e il cui orientamento rispetto agli assi centrali sia dato da α, β, γ. Ci riferiamo a momenti d’inerzia non di un corpo omogenea ma della sua figura (ja = _JA/_A).

MOMENTI CENTRALI D’INERZIA DI LINEE OMOGENEE

segmento - Sia l la lunghezza del segmento e il suo punto medio (= ξ) sia l’origine della S. Indiciano con s² il quadrato della distanza di un generic punto del segmento dalla retta l ad asse per ξ; si ha s². Il momento d’inerzia del segmento rispetto a ogni retta per ξ è da esso il

j_c = ∫_-^l2^l₂ s² ds = l² / 12

_l/₂₂

tra rette 1 e segmento in ξ non sono assi centrali. Il termine l²

/₁₂ e il quadrato del doppio di proiezione.

arco d. asseparente -

Sono assi centrali la retta del foglio MG: ξ e r

sensi. Il doppio dell’aseo di, esse e B so

l’odo is extos suhotdo a CA. Abbiamo gia’ visto in precedenza che JOG = ξEsim90.

Il momento d’inerzia dell’asse AB rispetto ξ e

il doppio rispetto a quello di AC sempre rispetto ξ.

Dalla similitudine dei due triangoli

l : (a / 2) = ξ : h = (a / 2)

j_σ

j_σ = ∫ ξ² dξ

con dξ = l dξ

j_σ = ξ²

j_η

j_η = 2 ∫₀^a/2 ξ² (h - 2ξh / a) dξ = 2 ∫₀^a/2 ξ² h dξ - 2 ∫₀^a/2 2ξ³h / a dξ

= 2 [ 1 / 3 ξ³h ]₀^a/2 - 2 [ 2ξ⁴h / 4a ]₀^a/2

= 2 / 3 a³h / 8 - a³h / 16

= a³h / 12 - a³h / 16 = a³h / 48 = a b h / 2 a² / 24