Appunti Statistica per Scienze Naturali (contiene: Indici, Distribuzioni, Test di normalità, Test non parametrici, Test chi quadro, Anova)

Indici di Tendenza Centrale

Media Aritmetica

Sommare i valori e dividerli per il loro numero

X̄ = (1/m) Σ X_i

• X_i = osservazione
• m = numero dati
• X̄ = X medio

R = vettore "altezza" = insieme delle altezze

• altezza 1 = 1° dato
• altezza 5 = dal 1° al 5° dato
• m = numero elementi "altezza"
• X̄ (altezza medio) = media aritmetica dati

Media Geometrica

Medio proporzionale fra due segmenti, M_g ≤ M_a

x₁, x = x² x₂

x² = x₁ · x₂

X̄ = √^m∏: x_i

R = prod(altezze)^1/(1u5) = prodotto degli elementi "altezza" alla √^1u5

Media Armonica

Inverso della media aritmetica degli inversi,

X̄ = m / (Σ 1/X_i i=1)

= (m) / (Σ^m/_i=1) 1/(X_i)

Media Ponderata

Somma dei dati moltiplicati per loro pesi, diviso la somma dei pesi.

X̄ = (1/Σ w_i) Σ_i=1^m X_i · w_i

Moda

Valore più frequente di un insieme di valori

Mediana

In un insieme ordinato di valori è un numero tale che la metà dei valori è minori, l'altra metà maggiori.

Nel caso l'insieme abbia un pari di valori, allora X fa la media aritmetica fra i due valori centrali.

INDICI DI DISPERSIONE

DEVIAZIONE

Somma degli scarti quadratici dalla media

D = ∑_i=1^N(x_i−x̄)²

D = ∑_i=1^Nx_i²−(∑x_i)²

formula calcoli mancanti

VARIANZA

Maggiore è, maggiore è la variabilità fra i campioni

σ² = D_M

DEVIAZIONE STANDARD

Scarto quadratico medio

σ = √(σ²) = √(D_M)

QUANTILI

Il quantile di ordine α (0<α<1) è un numero scelto

in modo che α numero x di valori siano più piccoli,

mentre 1−α siano più grandi.

R > quantile (perσ, probs=0.5, type=8)

PERCENTILI

Quantili in base 100 (e.g. 20%)

DISTRIBUZIONE T

CAMPIONE: insieme di individui che abbiamo potuto osservare.

POPOLAZIONE: il numero più vasto di individui da cui il campione è estratto.

• N -> taglia del campione
• _Xpp -> media del campione
• _O²pp -> varianza del campione
• O_pp -> deviazione standard del campione

1. Suppongo che i valori della nostra variabile, considerati su tutta la popolazione, siano distribuiti in modo normale.
2. Suppongo che il campione sia estratto dalla popolazione in modo casuale.

MEDIE CAMPIONARIE

MEDIA DELLE MEDIE CAMPIONARIE M_X = μ_pp

VARIANZA DELLE MEDIE CAMPIONARIE O²_X = O²_pp / N

DEVIAZIONE STANDARD DELLE MEDIE CAMPIONARIE (Errore standard) O_X = O_pp / √N

Se le medie campionarie si distribuiscono in modo normale, possiamo usare la DEVIATA NORMALE (z) per verificare se la media del nostro campione risulta simile a quelle degli altri campioni concepibili, o si tratta di un valore estremo.

z = (X_o - M_X) / O_X

TEST DEL CHI QUADRO (X²)

Si usa se si ha a che fare con delle variabili qualitative che non possono essere misurate ma possono essere assegnate ad una categoria. Il test X² ha senso se effettuato in una categoria con più di 5 oggetti, poiché risente della dimensione del campione. Il test X² confronta la ripartizione dei soggetti nelle categorie con l'ipotesi nulla. Ho: distribuzione attesa.

Le TABELLE DI CONTINGENZA sono tabelle in cui si ripartono i soggetti ripartiti per categorie. Possiamo decidere noi come stabilire le RIPARTIZIONI ATTESE, se come distribuzioni casuali o se in seguito ad aspettative più complesse.

CALCOLO DEL X²

1. Per ogni categoria calcolo lo Δ_o = O_i - A_i, scostamento dall'atteso in proporzione
2. Poi che la somma degli Δ_o farebbe 0, elevo al quadrato prima di sommare X² = N∑I=1 (O_i - A_i)² / A_i N = n° di categorie

Δ_o² = scostamento quadratico proporzionale

La DISTRIBUZIONE di X² va ricavata empiricamente, è governata dal parametro GRADI DI LIBERTÀ = N - 1 L'Ho è da rifiutare se i dati si discostano significativamente dall'Ho.

ANOVA Analysis of Variance

Serve a confrontare più di due campioni alla volta.

ONE-WAY → 1 criterio di classificazione

TWO-WAY → 2 criteri di classificazione

I campioni vengono estratti a caso da una popolazione a distribuzione normale.

CONDIZIONI

Se i gruppi sono di dimensioni diverse, presi da una popolazione la cui normalità è dubbia, esistono varianti non parametriche.

1. Varianze compatibili tra gruppi per dimensioni: la varianza maggiore dovrebbe essere al massimo il 150% della minore.
2. Se i campioni appaiati sono 2: forza della correlazione. Coeff. r positivo e comparabili per tutte le coppie di variabili.

ONE-WAY ANOVA

1. Divido le osservazioni in gruppi.
2. Calcolo μ e D dei singoli gruppi e del campione completo.
3. Calcolo la DEVIANZA ENTRO i gruppi. Den_tro = ∑ D i ded
4. Calcolo la DEVIANZA TRA i gruppi! D tra = ∑ N i ( μ i - μ 0 ) 2
5. Calcolo le VARIANZE di POPOLAZIONE

σ 2 entro = Den_tro N G − k

σ 2 tra = Dn_tra k − 1

6. Calcolo la STATISTICA F

F = σ 2 tra i σ 2 entro i

La distribuzione di F si calcola estraendo a caso S/mila cinquemila delle devianze dei vari & raccocchiano F_i ripetendo l'operazione S000 volte.

_H0 non c’è differenza tra i gruppi.