Appunti Statistica I - completi

Statistica istatistica

Statistica = insieme di strumenti matematico-probabilistici per raccolta, misura e trattamento dei dati. Utilizzata per fare previsioni, per prendere decisioni in condizione di incertezza (con calcolo della probabilità) ma non per predire con sicurezza il futuro.

Utilizzi

• Controllo qualità di un processo produttivo
• Studio affidabilità di un prodotto
• Attività finanziarie
• Andamento borsa
• Analisi di mercato
• Medicina, ambito farmaceutico
• Demografia

Strumenti per ottenere, analizzare, interpretare correttamente i risultati delle analisi statistiche.

Statistica descrittiva = sintesi delle osservazioni campionarie/dati censuari. Insieme di tecniche e strumenti finalizzati a descrivere, rappresentare, sintetizzare in maniera opportuna un insieme di dati relativi ad una popolazione statistica oggetto di studio.

Statistica probabilistica = calcolo della probabilità, studio del meccanismo generatore delle realizzazioni campionarie (modello -> campione).

Statistica inferenziale = dal campione al suo meccanismo generatore (campione -> modello). Studia come estendere i risultati e le conclusioni che provengono dall’analisi di un campione di osservazioni alla popolazione da cui il campione (sottoinsieme della popolazione oggetto di studio) è stato estratto (in modo casuale).

Indagine campionaria = indagine effettuata rilevando alcune caratteristiche/parametri sulle unità statistiche di un sottoinsieme della popolazione, detto campione, con l’obiettivo di estendere i risultati ottenuti (campionari) alla popolazione attraverso la stima di una o più parametri (caratteristiche) della popolazione.

Fasi di un’indagine statistica

• Definizione degli obiettivi
• Scelta variabili da analizzare
• Individuazione popolazione statistica (oggetto di studio, persone)
• Rilevazione dati (misurare, rilevare valori)
• Spoglio dei dati per la costruzione di tabelle/distribuzioni
• Elaborazione dati (calcolo indici/parametri per la distribuzione statistica)
• Analisi e interpretazione dei dati

La rilevazione dei dati può essere effettuata tramite:

• Sperimentazioni (misurazioni)
• Questionari
• Basi di dati aziendali
• Internet (finanza Yahoo Finance e Quandl)

Analisi univariata = analisi descrittiva di un solo carattere.

Analisi bivariata = analisi descrittiva di due caratteri congiuntamente considerati.

Analisi multivariata = analisi descrittiva di più caratteri (più efficace).

Terminologia e simbologia

Sommatoria

Sommatoria: esprime in forma compatta una somma n termini q – p + 1 = n° addendi. ∑ = + + . . + +

Proprietà: ∑ + ∑ = ∑ ( + ); ∑ = k ∑, k ≠ 0; ∑ ≠ ∑ ∑; ∑ = (q – p + 1) k; 2(∑ ) ≠ ∑ ( ); ∑ = ∑ + ∑; ∑ = ∑ =

Produttoria

Produttoria: esprime in forma compatta un prodotto q – p + 1 = n° fattori. ∏ = ∗ ∗ . . ∗ ∗

Proprietà: (∏ ) (∏ ) = ∏ ∏; K ≠ 0; ln [∏ ] = ∑ ln ( ) = logaritmo del prodotto = somma dei logaritmi.

Variabili – caratteri

Qualitativi (attributi, parole)

• Sconnessi (non ordinabili, colori, sesso, partito politico)
• Ordinabili (titolo di studio, grado d’interesse)

Quantitativi (numeri)

• Discreti (insieme di modalità finito o numerabile: dosi, n° libri letti, n° macchine vendute)
• Continui (insieme di modalità ad intervallo: reddito, peso, altezza)

I valori quantitativi continui si possono suddividere in intervalli classi di intervallo. Per le quali non è possibile fare frequenze relative, ma bisogna utilizzare la densità di frequenza. Non sono sempre omogenee le classi, poiché non sempre hanno la stessa ampiezza.

Esempio analisi univariata

Se provo a fare la media di x_i, ottengo che x = 1,5 perché non tengo conto di quante volte compaiono quelle modalità, per questo ho bisogno delle frequenze.

In particolare la frequenza cumulata sarà necessaria per la mediana.

Per la X₃, per esempio, posso dire che il numero 2 compare 3 volte (30% dei numeri totali) e ci sono 8 unità statistiche che hanno un valore ≤ 2.

Esempio di rilevazione statistica

Grado di istruzione è un carattere qualitativo ordinabile. Per quanto riguarda la variabile diploma, in 5 persone hanno raggiunto questo grado, ovvero il 42% della popolazione statistica, e 8 persone hanno come grado d’istruzione medie o diploma (67%).

A_i = ampiezza della classe (X_sup – X_inf)

d_i = densità di frequenza (n_i / A_i)

Non posso fare le frequenze relative con le classi d’intervallo poiché non sono omogenee.

Rappresentazione grafica di una rilevazione statistica

Caratteri qualitativi sconnessi

Diagramma circolare/a torta α_i = f_i * 360 = (n_i / N) * 360. Tot = 360°.

60 : 360 = 36 : α. α = 36/60 * 360 = 216° M. 40% M. 60 : 360 = 24 : α. α = 24/60 * 360 = 144° F. F 24 24/60 = 0,4 2. 260 1 M F.

Caratteri qualitativi sconnessi o ordinabili

Diagramma a rettangoli. 2000 - Base uguale.

1500 - Inserisco i dati. 1000 - Posso separarli o affiancarli. 500 (meglio per carattere continui, ad es. 2015-2017). 0 - Possiamo anche sovrapporli. Mele Pere Pesche Altro.

Se le grandezze sono diverse, per rappresentarli nello stesso grafico posso spezzare il valore “anomalo”.

Carattere quantitativo discreto

Diagramma a barre (segmenti o punti).

40. 30. 20. 10. 0. 0 1 2 3 4.

Serie storica

Serie storica varia al variare del tempo (t variabile), unisco i punti.

250. 200. 150. 100. 50. 0. 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017.

Dati finanziari

Dati finanziari (indice MIB di borsa). Diagramma a barre.

12. 10. 8. 6. 4. 2. 0. 05/01/2002 06/01/2002.

Analisi tecnica = analisi dei prezzi di borsa sulla base di analisi grafiche.

Analisi fondamentale = analisi dello stesso indice/società, analisi dei dati di bilancio.

Classi di intervallo

Istogramma.

Hanno basi diverse a seconda delle ampiezze delle classi. L’area rappresenta la frequenza A_ret = b * h. n_i = A_i * h. h = n_i/A_i = d_i, quindi serve la densità.

Indici di posizione α(x)

Utilizzo: sintetizzare diversi valori rilevati con una sintesi (media) per fare confronti.

Non analitici = tenendo conto solo di alcuni valori della distribuzione, tipo la frequenza.

• Moda
• Mediana

Analitici = medie potenziate.

• Media aritmetica
• Media quadratica
• Media armonica
• Media geometrica

Proprietà

• Di internalità = X_min ≤ α(x) ≤ X_max
• Di monotonicità = X ≤ Y, α(X) ≤ α(Y)
• Di molteplicità = α(c X) = c α(X)

Moda

Moda = modalità/intensità (X_i) a cui è associata la massima frequenza (assoluta, relativa o densità di freq).

Per le classi di frequenza devo guardare quale intervallo ha densità di frequenza maggiore, e questo si chiamerà intervallo modale (x’_i-1 -> x’_i), la moda è il valore centrale Mo =

Mediana

La mediana si può trovare per valori quantitativi, o per valori qualitativi ordinabili.

È un valore della variabile che divide la popolazione statistica in 2 gruppi ugualmente numerosi.

Devo ordinare i valori per trovare la mediana. Se N dispari: valore che corrisponde alla posizione = Me =

Se N pari: valore centrale tra i due valori alle posizioni = e +1 Me =

Se ho una distribuzione con diverse frequenze uso per convenzione per N pari.

Se N è piccolo con frequenza 1 contare quale valore si trova a quella posizione (in base a N pari/dispari).

Se N è piccolo con diverse frequenze guardo la frequenza cumulata maggiore o uguale alla posizione trovata, e il valore corrispondente è la mediana.

Se N è maggiore di 30 è sufficiente trovare una sola posizione, senza vedere se è pari o dispari: valore che ha frequenza assoluta cumulata maggiore uguale a.

Es. Moda: Mo = M. Int mod = 35 45. La M ha n maggiore. Perché d maggiore. Mo = 35+45/2 = 40.

Es. Mediana. X_i = 3, 5, 10, 15, 22. N=5. P centr = = 3° che corrisponde al 10. Me = 10.

X_i = 3, 5, 10, 15, 22, 30. N=6. P centr = e +1 = 3° e 4° che corrispondono a 10 e 15. Me = = 12,5.

N = 100. P centr = 100/2 = 50°. Trovo la frequenza assoluta cumulata maggiore o uguale a 50. Che corrisponde al valore 15. Me = 15.

i = 5°; +1 = 6°. N = 80. i 6° = 100. Me = = 75.

Distribuzioni per classi di intervallo

Per quanto riguarda le distribuzioni per classi di intervallo: non ci preoccupiamo se pari o dispari, frequenze relative cumulate ≥ 0,5. F ≥ 0,5 0,93.

0,5 corrisponde a intervallo 35 000 45 000.

Questo intervallo di A_i =10 ha una frequenza di 0,93–0,33 = 0,6.

E 0,5 sta tra 0,33 e 0,93: da 0,33 a 0,5 manca 0,17.

Devo trovare il valore che corrisponde a 0,5. 10 : 0,6 = x : 0,17. x = 0,17 = 2,8. Me = 35 + 2,8 = 37,8.

A’ : f’ = Me : (0,5 – F_i-1). Oppure Me = X’_inf + A’_i (0,5 – F_i-1) / f’_i.

AB = a. BC = f_i. F_sup. ED = 0,5 – F_i-1. E AB : AD = BC : ED. 0,5 X_inf Me x_sup ( , ). F AD = =. BINF DA. 0,5 - F_i-1. X XINF SUP.

Int modale = 10 30 perché gli corrisponde F = 0,6 ≥ 0,5.

La mediana sta quindi tra 10 e 30.

20 : 0,3 = x : (0,5 – 0,3). x = (0,5 – 0,3) * 20 / 0,3 = 13,33.

Me = 10 + 13,3 = 23,3.

Proprietà della mediana

Proprietà di minimo: ∑ |X_i – α| * n_i = minima se α = mediana (posso usare n_i oppure f_i).

Verifica: Mo = 1. P = = 8°. Me = 2. ∑ |X_i – Me| * n_i = 13. ∑ |X_i – Mo| * n_i = 18. 13 < 18.

La mediana in percentili

La mediana è il percentile di ordine 0,5.

Percentili = modalità