Appunti Completi di Statistica I

BRANCHE DELLA STATISTICA

STATISTICA DESCRITTIVA - Sintesi delle osservazioni campionarie o dei dati censuari

STATISTICA PROBABILISTICA - Studio del meccanismo generatore delle realizzazioni campionarie (MODELLO ➔ CAMPIONE)

STATISTICA INFERENZIALE - Studio del campione e suo modello generatore (CAMPIONE ➔ MODELLO)

FASI DELL'INDAGINE STATISTICA

1. DEFINIZIONE DEGLI OBIETTIVI
2. SCELTA DELLE VARIABILI DA ANALIZZARE
3. INDIVIDUAZIONE DELLA POPOLAZIONE STATISTICA OGGETTO DI STUDIO
4. RILEVAZIONE DATI
5. SPACCIO DEI DATI PER LA COSTRUZIONE DI TABELLE E/O DISTRIBUZIONI STATISTICHE
6. ELABORAZIONE DEI DATI (CALCOLO INDICI PARAMETRI CHE SINTETIZZANO ALCUNI ASPETTI DELLA DISTRIBUZIONE STATISTICA)
7. ANALISI E INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI

COME RILEVARE I DATI?

• SPERIMENTAZIONI
• QUESTIONARI
• BASE DATI AZIENDALI/ISTITUZIONALI
• INTERNET/SOCIAL NETWORK

È FONDAMENTALE CHE LE FONTI SIANO ATTENDIBILI

Simboligia/Terminologia

Unità Statistiche -> Supporto su cui misurare/rilevare le variabili oggetto di studio.

Popolazione Statistica -> Insieme delle unità statistiche

Campione -> Sottoinsieme della popolazione

Modalità/Intensità -> Manifestazione della variabile

Frequenza Assoluta -> Numero di volte che si presenta l'intensità considerata

Frequenza Relativa -> Percentuale di unità statistiche che presentano l'intensità considerata

Frequenza Cumulata _{(Assoluta/Relativa)} -> Numero di osservazioni con intensità non superiore a quella considerata

Caratteri/Variabili

• Qualitativi _{(Attributivi)}
  • Sconnessi: No ordine naturale (Sesso, Colore Occhi)
  • Ordinali: Misurabili (Età, Titolo Studio)
• Quantitativi _(Misure)
  • Discreti: Numerabili precisamente (N° Libri letti, N° Componenti Famiglia)
  • Continui: Modalità ad intervallo (Reddito da...a)

SOMMATORIA

La sommatoria Σ è il simbolo che abbrevia la somma di un certo numero di addendi.

Es. Σ_i=1ⁿ x_i = 1+2+3+4+5+6

Proprietà della sommatoria:

• Σ_i=p^q x_i ± Σ_j=p^q y_j = Σ_i=p^q (x_i ± y_i)
• Σ_i=p^q (k · x_i) = k Σ_i=p^q x_i con k ≠ 0
• Σ_i=p^q Σ_j=n+1^r x_j ≠ Σ_i=p^q x_i con p ≤ n ≤ θ
• Σ_i=p^q a_i/b_i ≠ Σ_i=p^q (a_i) / Σ_i=p^q (b_i)

PRODUTTORIA

La produttoria Π è il simbolo che abbrevia la moltiplicazione di un certo numero di fattori

Π_i=p^q a_i = a_p · a_p+1 · a_p+2 · a_r · a_q

• Π_i=p^q x_i · Π_j=r^s y_j = Π_i=p^q (x_i · y_i)
• Π_i=p^q k = (k)^q-p+1 con k ≠ 0
• log_a (Π_i=p^q x_i^n_i) = Σ_i=p^q (n_i log_a (x_i))

VARIANZA E SCARTO QUADRATICO MEDIO

La varianza è la media dei quadrati degli scarti dei singoli valori dalla loro media aritmetica.

σ² = N

_i=1∑(x_i - µ)²

es. studenti voto

• 5 5
• 5 6
• 2 8
• 4 7
• 1 6
• 1 10

σ = ([x_i-µ]²)

M ⁿ/N N

media aritmetica µ=6.7

• Varianza = 5 . (5 - 6.7)² + 7 . (6 - 6.7)² + (8 - 6.7)² + (7 - 6.7)²
• +1(10- 6.7)² = 38
• = 30 1.27

La ottuano in funzione dello scarto quadratico medio, o deviazione standard che risulta varianza

Deviazione Standard = 1.27 = 1.12

Varianza

N - 1

_i=1∑(x_i-µ)²

x trova la sua propria dimensioni

N - 1

σ

Devine x calcolare la varianza

σ²

ⁿ∑(x_i - µ)²

σ² = M(x) - M²

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

Attraverso questo indice di dispersione riesco a tener conto dell'ordine di grandezza delle variabili confrontate più di distribuzioni

cv= ^σ/_µ

cv > 0

σ

media

es. reddito reddito

• india italia
• 1 1001
• 2 1002
• 3 1003

σ_i =

Le frequenze congiunte... che soddisfano questa equazione sono

Es.

TABELLA SENZA INDI

x₁, y₁ 6,6 3,4 10 20

25 50 100

C_ij = n_i n_e

6,6 6,6 5

1,9 9,5 5

8,5 8,5 0

CONTINGENZE

χ² = 1

χ² perfetta (popul)

χ² = 0 perfetta (indep)

Cov(xy) = Media di questi prodotti

• b > 0: Cov(xy) > 0 (Prevale il segno (+))
• b = 0: Cov(xy) = 0 (Quando si compensano perfettamente)
• b < 0: Cov(xy) < 0 (Prevale il segno (-))

z = x + y   ⇒   ϖ(z) = ϖ(x) + ϖ(y)   ⇒   Var(z) = Var(x) + Var(y)

Var(x-y) = Var(x) + Var(y) - 2Cov(xy)

ρ = Cov(xy)/(σ_x σ_y)

Var(z) = Var(x) + Var(y) + 2ρ σ_x σ_y

Var(ax + by) = a²Var(x) + b²Var(y) + 2ab ρ σ_x σ_y

Esempi Tabelle

• X: 1, 5, 9
• Y: 10, 20, 30
• ρ² = 1
• M²_XY = 1
• M²_Y/X = 1

NB: ρ = 0 ⇒ M² = 0 ⇒ β² = 0   e   β² = ±1   ⇒ M² = 1 ⇒ χ² = 1

ρ² misura il legame lineare fra due variabili

M² è il rapporto di correlazione e misura la variabilità delle moduli coordinate

ρ² ≤ min( M²_Y/X ; M²_X/Y )