Appunti Statistica

Statistica 28

Probabilità Lezione 1

Esercizio 11 28-08-2016

Urna con 15 dadi, 5 regolari, 10 con solo facce pari (22, 44, 66).

Estraendo un dado a caso e lanciandolo:

1. P che esca il 6
2. P che esca il 6 e che il dado sia regolare
3. Dato che è uscito 6 quale è la prob. che il dado sia regolare
4. Se abbiamo estratto un dado regolare, quale è la P che estraendo un altro dado esca il 6

1. Individuo Eventi
   • S = { esce il numero 6 }
   • R = { il dado è regolare }
2. Relazione tra Eventi Influenze

In questo caso il fatto che esce 6 è influenzato dal dado che pesco

R influenza S

3. Albero Probabilità

• 1/3
• 5/15 R
• 10/15 R
• 5/6
• 5/6
• 1/6
• 3/6
• 6/90
• 20/90
• 60/90

4. Tabella Risultati

• P(R∩S)
• P(S)
• P(S)
• 5/90
• 25/90
• 20/90
• 30/90
• 65/90
• 1

a)

L'EVENTO ESCE IL 6, E' L'UNIONE DI 2 INTERSEZIONI DI EVENTI

S = (R ∩ S) ∪ (R̅ ∩ S)

P(S) = P(R ∩ S) + P(R̅ ∩ S)

P(S) = P(S | R) · P(R) + P(S | R̅) · P(R̅)

= 1/6 · 5/6 + 2/6 · 10/15

= 25/90 = 0.2778

b)

P(S ∩ R̅) = P(S | R̅) · P(R̅) = 2/6 · 2/3 = 5/15 = 5/90 = 0.0556

P(R̅ | S) = P(R̅ ∩ S) / P(S) = 5/90 / 25/90 = 1/5 = 0.2

d)

SE TOGLIE UN DADO REGOLARE QUALE LA PROB CHE ESCA IL 6?

• P(S) = P(R ∩ S) + P(R̅ ∩ S)
• = 4/84 + 20/84 = 24/84 = 0.2857

ESERCIZIO 2

10/07/2015

% LAUREATI IN ECONOMIA CON VOTO ≥ 100/110 E' 10%

TRA QUESTI IL DIRIGENTI D'AZIENDA E' DEL 20%

TRA I LAUREATI CON VOTO < 100/110 I DIRIGENTI SONO IL 3%

a)

SAPENDO CHE UNO E' DIRIGENTE QUALE E' LA PROB CHE IL VOTO SIA < 100/110?

b)

P CHE INDIVIDUO A CASO SIA DIRIGENTE E VOTO < 100/110?

EVENTI:

• L = {LAUREATO CON VOTO ≥ 100/110}
• D = {LAUREATO E' DIRIGENTE D'AZIENDA}

L INFLUENZA D

P(L) = 0.1 P(L̅) = 0.9 P(D | L) = 0.2 P(D | L̅) = 0.03

Esercizio

Un lampadario è costituito da 8 lampadine, di cui 3 difettose. Selezioniamo a caso 3 lampadine.

a) IP che le 3 selezionate siano tutte difettose

b) IP che la 2ª sia difettosa

c) IP che la 3ª sia difettosa dato che la 1ª lo era

d) IP che una sola sia difettosa

Eventi:

D = { Estraggo una lampadina difettosa }

 D = { Estraggo una lampadina non difettosa }

3 Estrazioni

• a) P(D₁, D₂, D₃) = P(D₁) · P(D₂) · P(D₃) = 3/8 · 2/7 · 1/6 = 6/336 = 0.0179
• b) P(D₁, D₂) ∪ P(D₁,  D₂) = 3/8 · 5/7 + 5/8 · 3/7 = 21/56 = 0.375
• c) P(D₁, D₂) ∪ P(D₁  D₂, D₃) ∪ P(D₁  D₂, D₃) = 60/336 + 60/336 + 60/336 = 0.5357
• d) P(D₃ | D₁) = P(D₃ ∩ D₁) = P(D₁ D₂ D₃) ∪ P(D₁ D₂ D₃) ∪ P(D₁ D₂ D₃) = (3/8 · 2/7 · 2/6 + 3/8 · 5/7 + 5/8 · 2/6) / (3/8) = 0.285

Esercizio 2

18/01/2012

Data la seguente variabile aleatoria bivariata

1. X e Y sono stocasticamente indipendenti?
2. Calcolare Var(z) con z = X - 3Y
3. Calcolare F_X|Y=2(x) e E(X|Y=2)
4. Calcolare P(X/Y > 1)

a) P(X ∩ Y) = P(X)⋅P(Y) ⇒ 0,128⋅0,106 ≠ 0,062

Non sono stoc. indip.

c) Trovo la distribuzione condizionata

P(X|Y=2) = P(X∩Y)/P(Y)

F_X|Y=2(x) =

• 0 x < 1
• 0,12 1 ≤ x < 2
• 0,12 2 ≤ x < 3
• 0,39 3 ≤ x < 4
• 1 x ≥ 4

Valore atteso

E(X|Y=2) = Σ_i=1⁴ P(x|y)⋅(5)_i = 1⋅0,12 + 0,2 + 3⋅0,28 + 4⋅0,6 = 3,36

d) P(X/Y > 1) = 0,066 + 0,097 + 0,211 = 0,374

LA NORMALE

X ~ N(μ, σ²)

1. STANDARDIZZARE LA NORMALE

Z = NORMALE STANDARDIZZATA

Z ~ N(0,1) DOVE z = (x - μ) / σ

2. TAVOLE

ESEMPIO: X ~ N(100, 20) DOMANDA P(x < 110)

P(x < 110) = P(z < (110 - 100) / √20) = P(z < 2,23) = 0,9871

PROCEDIMENTO INVERSO

P(z < z) = P(x < (x - μ) / σ)

ESEMPIO

QUANTILE DI ORDINE 0,025 DI UNA N(170, 64)

P(z < z) = P(x < (x - μ) / σ) → z = -1,96 → x - μ / σ = -1,96

CERCO 0,025 DENTROLA TAVOLA E VEDOA COSA CORRISPONDE

equals x - 170 / 8 = 1,96

thus x = 154,32

Boxplot

Simmetria: è data dall'ampiezza dei quartili e dall'ampiezza dei baffi

Distribuzione Asimmetrica

• Quando _0,5 < x̄ ⇒ Asimmetria Destra (Asimmetria Positiva)
• Quando _0,5 > x̄ ⇒ Asimmetria Sinistra (Asimmetria Negativa)

Esercizio 2 16/01/2015

Confronto prezzi case 2 città: A e B

2 campioni n_a = 89 n_b = 90

• X∼N(M_A,σ₁²) = Prezzo A
• Y∼N(M_B,σ₂²) = Prezzo B

x e y indipendenti

x̄₈₉ = 91,15 s_X² = 94,72

ȳ₉₀ = 89,19 s_Y² = 93,93

1. Esplicitare il modello statistico
2. Costruire un intervallo di confidenza bilaterale per M_A−M_B fiducia = 0,95
3. Verifica se con significatività = 0,05 si può dire M_A≠M_B

1. Modello statistico

X∼N(M_A,σ₁²) Y∼N(M_B,σ₂²) con σ² > 0 (ignota)

2. Intervallo:

x̄ − ȳ ± t_{n1+n2−2,1−α/2} s̄ ⋅ √(1/n₁ + 1/n₂)

Dove s̄² = ((n₁−1)s_X² + (n₂−1)s_Y²)/(n₁+n₂−2)

• = ((89−1)⋅94,72 + (90−1)⋅93,93)/(89+90−2)
• = 82,89

1−α = 0,95 → α = 0,05

• 91,15 − 89,19 + t_89+89,0,025−9,104⋅√(1/89 + 1/90) →
• 91,15 − 89,19 − t_89+89,0,025−9,104⋅√(1/89 + 1/90) → [1,292,9,62]

Esercizio 18 - 26/01/2015

Nelle città A e B sono estratti 2 campioni tra i residenti di età compresa tra i 18 e 34 anni. Tra n_A = 1852 e n_B = 2893, il numero di disoccupati è S_A = 759, S_B = 1165.

θ_A e θ_B tassi di disoccupazione

1. Costruire un intervallo di confidenza bilaterale al livello di fiducia 0,9 per θ_A - θ_B
2. Verificare se con l = 0,11 si possa affermare che θ_A ≠ θ_B

1. Ŷ_A - Ŷ_B ± z_1-α/2 √ [Ŷ_A(1 - Ŷ_A) / n_a + Ŷ_B(1 - Ŷ_B) / n_b]

Dove  Ŷ_A = S_A / n_a    Ŷ_B = S_B / n_b

0,40 - 0,40 ± 1,605 √ [0,4 (1-0,4) / 1852 + 0,40 (1-0,40) / 2893]

[-0,01, 0,03]

2. 1. H₀: θ_A = θ_B
   2. H₁: θ_A ≠ θ_B

TROVIAMO θ₀

θ₀ = S_A + S_B / n_a + n_b = 759 + 1165 / 1825 + 2893 = 0,407

z_0,05 = Ŷ_A - Ŷ_B / √ [θ₀(1 - θ₀) / n_a + θ₀(1 - θ₀) / n_b] = 0,49

Accetto H₀