Appunti Statistica

STATISTICA

28

PROBABILITA Lezione 1

ESERCIZIO 11 28-08-2014

Urna con 15 dadi: 5 regolari, 10 con solo facce pari (22,44,66).Estraendo un dado a caso e lanciandolo:

1. P che esca il 6
2. P che esca il 6 e che il dado sia regolare
3. Dato che è uscito il 6, qual è la prob. che il dado sia regolare
4. Abbiamo estratto un dado regolare, qual è la P che estraendo un altro dado esca il 6

1. Individuo eventiS = {esce il numero 6}R = {il dado è regolare}
2. Relazione tra eventi → InfluenzaIn questo caso il fatto che esce 6 è influenzato dal dado che pescoR → S
3. Albero probabilità

1/6 S

5/15 R ↑ R 10/15

S 1/6 ↑ 5/6 S ↑ 1/6

• 5/90
• 25/90
• 20/90
• 60/90

1. Tabella risultati

• R | S
• R | S
• 25/90
• 65/90
• 60/90
• 30/90

Statistica 28

Probabilità Lezione 1

Esercizio 11 28-08-2014

Urna con 15 dadi, 5 regolari, 10 con solo facce pari (22,44,66).

Estraendo un dado a caso e lanciandolo:

1. P che esca il 6
2. P che esca il 6 e che il dado sia regolare
3. Dado che è uscito il 6 qual è la prob. che il dado sia regolare
4. Abbiamo estratto un dado regolare, qual è la P che estraendo un altro dado e esca il 6

1. Individuo eventi

   • S = { esce il numero 6 }
   • R = { il dado è regolare }

2. Relazione tra eventi → Influenze

   In questo caso il fatto che esce 6 è influenzato dal dado che pesco.

   R ⇒ S

3. Albero probabilità

4. Tabella risultati

   P(R ∩ S)

a)

L'evento esce il 6 e' l'unione di 2 intersezioni di eventi

S = (R∩S) ∪ (R∩S̅)

P(S) = P(R∩S) + P(R∩S̅)

P(S) = P(S|R) · P(R) + P(S|R̅) · P(R̅)

= ¹/₆ · ⁵/₁₅ + ²/₆ · ¹⁰/₁₅ = ²⁵/₉₀ = 0.2778

b)

P(S ∩ R̅) = P(S̅|R) · P(R) = ¹/₆ · ⁵/₁₅ = ⁵/₉₀ = 0.0556

P(R|S) = ^{P(R ∩ S)}/_P(S) = ^5/90/_25/90 = ¹/₅ = 0.2

d)

Se tolgo un dado regolare qual'è la prob. che esca il 6?

Unione di 2 intersezioni

P(S) = P(R∩S) + P(R̅∩S)

= ⁴/₈₄ + ²⁰/₈₄ = ²⁴/₈₄ = 0.2857

Esercizio 2

10/07/2015

% Laureati in economia con voto ≥ 100/110 e' 10%

Tra questi i dirigenti d'azienda e' del 20%

Tra i laureati L con voto < 100/110 i dirigenti sono il 3%

1. Sapendo che uno e' dirigente qual'è la prob. che il voto sia < 100/110?
2. P che individuo a caso sia dirigente e voto < 100/110?

Eventi:

• L = { Laureato con voto ≥ 100/110 }
• D = { Laureato e' dirigente d'azienda }

L influenza D

P(L) = 0.1, P(L̅) = 0.9, P(D|L̅) = 0.2, P(D|L) = 0.03

ALBERO PROBABILITÀ

TABELLA

a) P(_L|_D) = P(_L∩_D) / P(_D) = 0.027 / 0.047 = 0.5745

b) P(_L∩_D) = P(_D|_L) . P(_L) = 0.027

DIFFERENZA TRA CONDIZIONATA & CONGIUNTA

CONDIZIONATA = DATO CHE (_L|_D)

caso a

CONGIUNTA = P CHE 2 EVENTI SI VERIFICHINO ENTRAMBI (_L∩_D)

caso b

Binomiale & Ipergeometrica

Elementi di calcolo combinatorio

Binomiale

(Con reinserimento)

Struttura del testo:

• n Tentativi
• P Probabilità
• x Successi

Urna con 81 palline

• 54 verdi
• Estraggo 8 palline
• Qual è la P che tra le 8 palline estratte, 7 siano verdi?

→ n = 8   x = 7   P = ?

Formula:

P(X = x_c)=ⁿC_x · p^x · (1-p)^n-x

→ ( ⁸C₇ · (54/81)⁷ · (1 - 54/81)^8-7 )

= 0.156

N.B. → nella calcolatrice

→ 8 nCr 7

Ipergeometrica

(Senza reinserimento)

Struttura del testo:

• Generalmente ho i colori

N "Neri presenti"

n "Neri estratti"

B "Bianchi presenti"

b "Bianchi estratti"

17 palline

• 9 nere = N
• 8 b