Appunti Statistica + Esercizi svolti e spiegati

Lezione 1

Statistica Descrittiva

Defin. ha lo scopo di sintetizzare i dati attraverso i suoi strumenti grafici e indici che descrivono gli aspetti salienti dei dati osservati.

Si basa su caratteri

• Quantitativi

  (sono quelli espressi in numeri)

  • Discreti

    sono numeri interi

    • es. n° figli
    • n° goal
    • voto laurea

  • Continui

    sono intervalli

    • es. peso

• Qualitativi

  (sono quelli non espressi in numeri)

  • Nominali

    non si possono ordinare

    • es. tipo lavoro
    • religione
    • nazionalità

  • Ordinali

    possono essere ordinati

    • es. grado militare
    • grado istruzione

LA DISTRIBUZIONE DEI DATI

per ciascun ppg:

esempio compiti di laurea

UNITÀ

elencazione delle modalità di ciascun carattere

87, 92, 101, 103, 105, 97, 95, 90, 89, 103

FREQUENZE

Se esprime il numero di volte in cui la modalità di un carattere si presenta

• MODALITÀ: 18, 21, 22, 23, 26, 28, 30

• MI: 26

Esempio compiti di laurea

• FREQ. ASSOLUTE: mostra il numero delle volte in cui la modalità si è verificata
• FREQ. RELATIVE: nascono da una divisione fra freq. assolute e totale dell'unità stat.
• FREQ. CUMULATE: nascono dall'addizione le frequenze relative
• CUMULATE RELATIVE: nascono da una divisione fra freq. cumulate e totale dell'unità stat.

CLASSI

È preferibile se la variabile statistica presenta molte modalità:

• 0-10: 7
• 10-15: 5
• 15-20: 8
• 20-22: 2
• MI: 20

BOX PLOT

Come si costruisce?

Q₁ = 10

He = 15

Q₃ = 19

lim inf = Q₁ - 1.5 (Q₃ - Q₁) = 10 - 1.5 (9) = -3.5

Non c’è limite inf

lim sup = Q₃ + 1.5 (Q₃ - Q₁) = 19 + 1.5 (9) = 32.5

Lim inf: 2 × Min

Lim sup: 2 × Max

Lim inf: L × Min

Lim sup: L × Max

VERIFICA L’ESISTENZA DI UNA RELAZIONE

DA SEGUIRE SEMPRE!!!

Contro H₁: P_ij ≠ P_i x P_j

α = 0,05

gradi di libertà (riga-1) x (colonne-1) = g.l. = 1

poi si vede sulla tabella che corrisponde 3,81

1,036 ≤ 3,81 QUINDI SI ACCETTA

ANALISI DELLA CORRELAZIONE

• L’indice della correlazione consiste nel valutare l’intensità della relazione che c’è tra le variabili: è quindi ritenuta una misura del grado di concordanza/discordanza.
• Una misura della concordanza/discordanza è la covarianza = (co (x, y))/n
  • Se co (x/y) = 0 INSIP. CORRETTIVA
  • Se co (x/y) > 0 CONCORDANZA
  • Se co (x/y) < 0 DISCORDANZA
• INOLTRE: x e y sono statisticamente indipendenti se co (x/y) = 0, ma non x forza dei (indeterminato)

RICORDA TUTTI I TIPI D'INDIPENDENZA SONO:

• INSIP. STATISTICA
• INDIP. ASSOLUTA
• INDIPENDENZA CORRETTIVA

ESERCIZIO SULLA REGRESSIONE

m=10

^∑x_i=378

^∑y_i=187

^∑x_i²=17092

^∑y_i²=921.9

^∑x_iy_i=928.8

x̄=^∑x_i/m=378/10=37.8

ȳ=^∑y_i/m=184/10=18.7

Dev(x) = ^∑x_i²-n_x² = ^∑17092-10(37.8)²=2803.6

Dev(y) = ^∑y_i²-n_y² = ^∑4215-10(18.7)²=833.1

Cov(xy) = ^∑x_iy_i-n_xy = ^∑898.0-10(37.8)(18.7)=1524.8

B₀ = ȳ-B₁x̄ = 18.7-0.50342*37.8=-0.329

B₁ = ^Cov(xy)/_Dev(x) = ^1524.8/_2803.6=0.50342

SST = 883.4

SSE = SST-SSR = 1456.2

SS_R = B₁²*Dev(x)=710.5211

VERIFICA RELAZIONE

H₀: β₁=0 contro H₁≠β₁≠0

MSE = SSE/(m-2) = 11.562/8 = 1.445

Test t = ^B₁/_{√(MSE/Dev(x))} = 0.50342/√(1.445/2803.6) = 22.17

C(X) = m·p = 8,0,3₂

Var(X) = m·p·q = 8,0·4,0,6,5_4,9

Variabile Casuale Normale

La distribuzione normale si applica a quei fenomeni che possono essere gen. da un gran numero di cause che agiscano in modo addittivo o indipendente.

È possibile rappresentarla graficamente con un grafico a campana (Curva di Ga) ed è simmetrica rispetto alla media.

Ciò che bisogna calcolare è l'area tra a e b, dove è possibile usare gli integrali matematici trasformiamo tutte le variabili normali in variabili standardizzate (con l'uso della tabula).

- Formula di standardizzazione ⇒

- Formula inversa ⇒

-->

Metodo Diretto (esercizi) - Dato conosci Z, calcola la probabilità

Supponendo che i quozienti di indipendenza siano distribuiti normalmente con media H=100 e σ=15, calcolare la probabilità che sia minore di 90.

Standardizzare

Z a sinistra di 0.2546

Quindi se coincide è 0,950-0,2546=0,0254

Esercizio

Calcola l'intervallo di confidenza al 95% sapendo che x̄=22 σ=2,5 n=10

Siccome la σ è nota utilizzo

x̄ - z_α/2 σ/√n ≤ μ ≤ x̄ + z_α/2 σ/√n

22 - (1,9). 5/√10 ≤ μ ≤ 22 + 1,9 . 5/₁₀

1 - α = 0,95

α = 0,05

α/2 = 0,025

Esercizio

Calcola l'intervallo di confidenza per studiare media delle vendite con 1-α=0,99

n = 105, σ = ? x̄ = ?

σ² non nota (ma m ≠ 736), approssimiamo

x̄ = 25 . 35 + 85 . 70 / 105 = 65

Dev(x) = 25² . 35 + 85² . 70 - 105 (65)² = 84

s² = 84/105 = 0,8 correz. dev(x) = 81/104

s = 0,89 ≈ correz. √s² = s² - 0,89

1-α=0,99

α=0,01

α/2 = 0,005

Esercizio Proporzione

p = 80% n = 200

̂p = 160 200

α = 0,01

H₀: P₁ = P₀ Contro H₁: P₁ ≠ P₀

Test Z = ̂p - p₀ √p₀(1-p₀) m

Z = 0,8 - 0,9 √0,9(1,09) 200

= -0,14

0,01                                         0,01

-2,4          -0,04          2,4

Si accetta