Appunti per l'esame di Fisica I

11.4. CONSEGUENZE DELLA LEGGE DI STEVINO E APPLICAZIONI

11.4.1. Principio di Pascal: = +

Ogni variazione della pressione sulla superficie

di separazione si trasmette uguale in ogni

0

parte del liquido. ��⃗

��⃗

11.4.2. Vasi comunicanti: = −

Un liquido contenuto in due o più contenitori

comunicanti tra loro, in presenza di gravità, raggiunge

lo stesso libello dando vita ad un’unica superficie

equipotenziale. 197

11.4.3. Paradosso idrostatico:

L’indipendenza della pressione dalla forma del recipiente possiamo averla considerando

i tre recipienti in figura. Questi tre recipienti hanno la stessa base

e sono riempiti di uno stesso liquido fino

ℎ. legge di Stevino

ad un’altezza Dalla

segue che la pressione sul fondo è

uguale nei tre casi e quindi anche la forza

agente sul fondo assume lo stesso

valore.

11.4.4. Manometro a U:

Un’estremità del tubo è lasciata aperta all’atmosfera,

mentre l’altra è in collegamento diretto con l’ambiente di

misura.

Il liquido contenuto nel tubo si sposterà verso l’alto in uno

la differenza di

dei due rami della U di un valore tale che

peso tra le due colonne di liquido bilanci esattamente la

pressione (o depressione) presente nell’ambiente di

misura. Da Stevino segue che:

−

1 2

ℎ = Un tubo ad U permette di confrontare la densità dei

due liquidi, misurandone le diverse altezze.

Nei due rami del tubo vengono versati liquidi diversi.

Sempre per Stevino, si ha:

+ ℎ = + ℎ

0 1 1 0 2 2

Quindi, si ha che: ℎ

1 2

=

ℎ

2 1

Questo permette di misurare la densità di un liquido a

partire dalla densità di un liquido noto. 198

11.5. PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

Si consideri una porzione di fluido di volume delimitato da una

0

certa superficie su cui si esercitano forze di pressione e la forza

peso. Essendo in equilibrio statico, si ha:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

+ = + ⃗ = 0 = −⃗ = − ⃗



0

Se si sostituisce al volume di fluido un altro oggetto di identico volume, ma massa (′)

0 le forze di pressione rimangono le stesse, ma cambia

e densità (′) differente, si ha che

la forza peso. ⃗ ⃗ ⃗

′ ′

+ = − ⃗ + ⃗ =

0

Pertanto non si ha più equilibrio e la forza risultante su vale:

0

⃗ ′ ′

( ) ( )

= − ⃗ = − ⃗

0

′

- > ,

La forza risultante ha la stessa direzione e verso di quindi il corpo scende verso

il basso.

′

- < ,

La forza risultante ha verso opposto a quindi il corpo sale verso l’alto.

In ambedue i casi il corpo riceve una spinta verso l’alto pari al peso del volume di

fluido spostato Forza o spinta di Archimede

⃗ = −

0

N.B.: La forza di Archimede è applicata al centro di massa del fluido spostato. Il corpo

che si trova al posto del liquido spostato può avere il centro di massa in posizione

differente, per cui potrebbe generarsi anche un momento oltre alla spinta verso l’alto.

Esercizio: ,

Un’asta sottile, di lunghezza sezione e densità costante è incernierata nel suo estremo

O alla parete di un recipiente, mentre l’altro estremo è immerso in acqua. L’asta può ruotare

liberamente attorno ad un asse orizzontale passante per il punto O, che non è immerso in

acqua. Se all’equilibrio la parte di lunghezza dell’asta è fuori dall’acqua, determinare la

densità del materiale di cui è composta l’asta.

All’equilibrio, la somma dei momenti deve essere nulla. Si prenda il punto O come polo; il momento della forza

peso sarà:

La forza di Archimede è pari alla forza peso del liquido spostato (( − )).

La forza di Archimede è applicata in O’, centro della parte sommersa:

Il momento della forza di Archimede è:

L’asta è in equilibrio, per cui i due momenti devono equilibrarsi: 199

11.6. FLUIDODINAMICA

La fluidodinamica studia il moto di un fluido (per esempio all’interno di un condotto).

Il parametro principale del moto del fluido da determinare è la velocità del fluido in ogni

punto P(x,y,z) del condotto, in funzione della pressione esercitata sugli elementi di fluido.

Per descrivere il moto del fluido ci sono due possibilità:

1) Si prende in esame un elemento e se ne segue il moto dovuto alle varie forze

agenti, cioè analogo alla descrizione che si fa per il punto materiale (descrizione

Lagrangiana del moto);

2) Ci si pone in un punto P(x,y,z) del condotto e si cerca di determinare la velocità

Euleriana

v(x,y,z,t) degli elementi di fluido che passano nel punto P (descrizione

del moto).

11.6.1. REGIME STAZIONARIO

Se la velocità degli elementi fluidi, pur variando da punto a punto del condotto, rimane

= (, , ),

costante in funzione del tempo in ogni punto, ossia il moto del fluido si dice

in regime stazionario. In questo caso una descrizione euleriana è particolarmente

adatta.

11.6.2. LINEE DI FLUSSO (o di corrente)

Le linee che in ogni punto dello spazio hanno la direzione della velocità

linee di flusso. In un moto fluido in regime stazionario,

del fluido si dicono

dato che la mappa delle velocità non cambia col tempo, le linee di flusso

hanno una configurazione costante.

11.6.3. EQUAZIONE DI CONTINUITÀ (conservazione della massa)

∆ di un

La massa di fluido che passa nel tempo nella sezione 1

condotto (o tubo di flusso) è:

∆ =

1 1 1 1

dato che non ci sono perdite nelle pareti del tubo né sorgenti nel tubo stesso, la stessa

massa deve fluire nello stesso istante in ogni altra sezione del tubo, ossia:

=

1 1 1 2 2 2

Ossia la quantità =

Inoltre, se il fluido è incomprimibile:

= =

1 2 1 1 2 2

La velocità di un fluido incomprimibile in un condotto è inversamente proporzionale

alla sezione del condotto. 200

Esempio:

Il getto d’acqua che cade da un rubinetto si restringe perché, cadendo, la sua

02

2 = + 2ℎ)

velocità aumenta ( ma la portata deve restare costante!

= 0 0

Dalla misura delle 2 sezioni A e A e della distanza h si può ottenere la velocità:

0

2 2

2ℎ

0

02 2

2 �

= − 2ℎ = − 2ℎ =

0 2

2

2

−

0

11.6.4. EQUAZIONE DI BERNOULLI

L’equazione di Bernoulli esprime la legge di conservazione

dell’energia totale di un fluido ideale (cioè viscosità nulla,

quindi niente attrito e niente dispersione energetica) che

si muove in un condotto.

Le forze di superficie applicate al fluido contenuto nella

e

sezione di tubo sono le forze dovute alle pressioni 1 2

applicate agli estremi del condotto:

= =

1 1 1 2 2 2

Il lavoro meccanico infinitesimo fatto da queste forze nello

spostare un volume di fluido è: )

(

= − = − = −

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2

Il lavoro fatto dalla forza peso nello spostare il volume di liquido tra i livelli e è:

1 2

) ( )

( = − ⋅

= − ⋅ − −

2 1 2 1

Il lavoro totale fatto dalle forze esterne sul fluido è la somma dei contributi di forze di

volume e forze di superficie. ) ( )

( −

+ = − −

1 2 2 1

Ma, per il principio di conservazione dell’energia, si ha:

1 1 1

22 12 22 12 )

(

= + = = − = −

2 2 2

Pertanto, mettendo tutto insieme e separando i termini, si ottiene:

1 1

12 22

+ + = + +

1 1 2 2

2 2

In generale: 1 2

+ + =

2 201

Teorema di Bernoulli:

in un fluido ideale in moto in regime stazionario la somma della pressione, della

densità di energia cinetica e della densità di energia potenziale (gravitazionale) è

costante lungo il condotto, ovvero lungo un qualsiasi tubo di flusso.

11.6.5. APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI BERNOULLI

Tubo di Venturi:

è uno strumento che serve a misurare la

portata di un condotto: nota la sezione 1

in un punto, dal valore di pressione si

=

ricava la velocità e quindi la portata (

)

Teorema di Torricelli:

La velocità di deflusso di un liquido attraverso un foro in un recipiente dipende dal

dislivello tra il foro ed il pelo libero dell’acqua (deriva dall’equazione di Bernoulli).

Cioè il liquido si comporta come se fosse in caduta libera.

Sopra l’ala l’aria fluisce più

velocemente e la pressione è minore;

sotto l’al