Appunti per gli esercizi di fisica del prof. Li Voti

ELETTROSTATICA

1)

Per il calcolo del vettore campo elettrico generato da una carica Q equivalente distribuita su una semicirconferenza, iniziare per prima cosa a studiare il contributo di una carica infinita^m d^q posta su una porzione della semicirconferenza.

Data la simmetria dello schema possiamo calcolare d_Ex come:

d_Ex = d_Eo cos θ

E_x = ∫d_Eo cos θ = ∫₀^π/2 cosθ λd^l / 4πε_o R²

cosθ λ ^dθ / 4πε_o R² = λ / 4πε_o R

E_x = λ / 4πε_o R [sin θ]₀^π/2 = λ / 4πε_o R + λ / 4πε_o R = 2Q / 4πε_o πR

2)

Su ciascuna sfera agiscono 3 forze: forza peso, tensione, forza elettrostatica

P = mg

F_E = 1 / 4πε_o q₁q₂ / (d/2)²

All'equilibrio la somma vettoriale si annulla

R̅ - P̅ + F̅_E = T̅ → F_E = Ptg α → Q = √((4 / 4πε_o) 2L²mg sin² α) / cos α

3)

d_E = 1 / 4πε_o λdz / (z+y)²

∫₀^L λ dz / (z+y)²

Campo elettrico su A:

∫₀^L λ d^l cos θ / 4 πε_o

Campo elettrico su B:

E_B = E_o cos θ = E.^J

Sfera non uniformemente carica

ρ = K·r³

Essendo una superficie chiusa bisogna applicare il principio di Gauss per E_int r < R e per E_ext con r > R

φ = ∫ E_o dS = Q_int/_εo → E_o (4πR²) = Q_int/_εo

Esendo una distribuzione non uniforme:

Q_int = ∫∫∫ dq = ∫∫∫ ρ dv = ∫₀^r ρ (4πr² dr) = 4πK ∫₀^r r⁵ dr = 4/6 πKr⁶

Combinando: E_o (4πR²) = 4/6 ηKr⁶/_εo → E_int = Kr^u/_6εo per r < R

φ = ∫ E_o dS = E_o (4πR²) = Q_int/_εo

Questa volta però cambio estremi di integrazione per Q:

Q_int = ∫∫∫ dq = ∫∫∫ ρ dV = ∫_R^R ρ (4πr² dr) = 4/6 ηKr⁶

Combinando: E_o (4πR²) = 4/6 ηKr⁶/_εo → E_ext = 4πKr⁶/64π²_εo r² = Kr⁶/_6εo r²

Cilindro infinito non unif. carico

ρ = K·r³

φ = ∫ E_o dS = Q_int/_εo → E_o (2πrh) = Q_int/_εo

Q_int = ∫∫∫ dq = ∫∫∫ ρ dV = ∫_R³ (2πrh) dr = 2/5 ηKr⁵ h/_εo

E_o (2πrh) = 2ηKr⁵ h/5_εo → E_int = Kr⁴/5_εo

φ = ∫ E_o dS = Q_ext/_εo → E_o (2πrh) = Q_int/_εo

Non applicabile a simmetria finita perché avrei effetti di bordo

Q_int = ∫∫∫ dq = ∫₀^{R (2πrh) dr = 2/5 ηKr5 h}

E_o (2πrh) = 2πKr⁵ h/5_εo → E_ext = Kr⁵/5_εo r

3

SFERA UNIFORM. CARICA HA DIPOLO DISTANTE X_A DAL CENTRO.

LA FORZA SUL DIPOLO È DIPENDENTE DAL CAMPO ELETTRICO INTERNO ALLA SFERA.

E_INT = ^Q/_4πε0R³

LA FORZA AGENTE SUL DIPOLO

F = -∇U_DIPOLO = -∇(-p Ē₀)

F_r = ^QP/_4πε0R³ (!! FORZA INDIPENDENTE DA X_A )

!! SE DIPOLO FOSSE STATO ESTERNO AVREI CALCOLATO

E_EXT = ^Q/_4πε0r² , POI

Fⱼ = ∇(pĒ₀) = ∇(^QP/_4πε0r²)

TENENDO CONTO CHE r = X_B (PUNTO ESTERNO)

4

Circuiti Capacittivi

¹

E_J = U₀^1uM - U₀^1uM e^-2t/γ

Scarica tutto quindi

E_J = U₀^1uM

Su R_U viene dissipata una frazione di E_J:

E_RU = E_J (^R_U/_{RU + 2R})

Dalla calorimetria: Q = E_RU = cH_2O M(T_F - T_i)

²

La perdita di energia segue la legge

E_J = ¹/₂ Q²/_C - ¹/₂ Q²/_C e^-2t/γ

³

C_II = C₁ + C₂

R_II = ^{4R · 4R}/_{4R + 4R} = 2R

A t=0 interruttore viene chiuso → inizia processo di ricarica condensatori con γ = R_tot C (costante tempo carica/scarica totale)

La carica nel condensatore segue la legge:

q(t) = q₀ e^-t/RC + FC(d - e^t/τc)

⁴

Quando T₁ viene chiuso il C si scarica t = t₁ su R₄ con γ₁ = (R₁ + R₃) C

q(t₁) = q₀ e^-t/γ

Successivamente T₁ viene aperto e T₂ chiuso, così C si caricherà grazie a

E si scaricherà di ciò che aveva

γ₂ = (R₂ + R₃) C

q(t₂) = FC (1 - e^-t₂/t₁) q₀ e^-t₂/γ₂ e^-t/γ₁

3

UNA SPIRA ESAGONALE È PERCORSA DA CORRENTE I₁ IN SENSO ANTIORARIO. IL VETTORE CAMPO MAGNETICO È USCENTE DAL FOGLIO. UNA SPIRA CIRCOLARE È CIRCOSCRITTA È PERCORSA DA I₂ IN SENSO ORARIO. I₂ AFFLIGHE B₀ NULLO. NEL CENTRO. INDUIZIONE PER FILO B₀ = (μ₀ I₁) / (4π d) ⋅ (sin β + sin α) = = (μ₀ I₁) / (4π R) ⋅ (sin β + sin α) B₀ = μ₀ I₁ / 8√3π R PER I 6 LATI: B_E = 6 B₀ = 2μ₀ I₁ / 3√3π R IL CAMPO DELLA SPIRA CIRCOLARE HA VERSO OPPOSTO ⊗ B_s = μ₀ I₂ / 2R PER ANNULLARSI IN C: B_E = B_s

4

QUADRATO DI LATO a CON FILI AI VERTICI SI CALCOLI, INTENSITA', DIREZIONE E VERSO DELLA FORZA PER UNITA' DI LUNGHEZZA SUL FILO DI I₁

LUNGO ASSE XdF₁₄ / dl = μ₀ I₁ I₄ / 2π adF₁₃ = μ₀ I₁ I₃ / 2π a√2 ⋅ (√2 / 2)dR_1x / d = μ₀ I₁ (I₃ - 2I₄) / 4π a

LUNGO ASSE YdF₁₂ = μ₀ I₁ I₂ / 2π adF₁₃ = μ₀ I₁ I₃ / 2π a√2 ⋅ (√2 / 2)dR_1y = μ₀ I₁ (I₃ - 2I₂) / 4π a

R₁ = √(R_1x² + R_1y²)