Appunti per esame di Macchine e sist. Energetici

BILANCI ENERGETICI

2

( ) 2

v ( )

v

OUT

́ ́

Q+ L m h g z m h g z

¿

= ́ + + + ́ + +

• Forma termica ¿ ¿

OUT OUT

2 2

2 2

v −v

δP

∫ OUT ¿

l−l g z

( )

= + + −z

• Forma meccanica ¿

w OUT

ρ 2 δP

δh=TδS +

• La forma meccanica salta fuori dalla scrittura di considerando

ρ

TδS=q+ l e sfruttando il primo principio per scrivere

IRR δP

δU pδv →TδS pδv → δH

=TδS− =δU + =TδS + ρ

́ ́

Q che L

• Ricorda che sia hanno segno in base alla convezione adottata ed al tipo di

macchina

• La convenzione comunemente adottata vede lavoro e calore positivi se ENTRANTI

• Le potenze disponibili alle eliche o alle pale sono sempre potenze uscenti dal fluido

EULERO

• Si hanno due formulazioni del lavoro Euleriano: la prima discende dal bilancio del momento

della quantità di moto mentre la seconda è una conseguenza del teorema di Carnot

l=u v v

−u

• se maggiore di zero è entrante, al contrario se negativo

2 2 2 1

TG TG

2 2 2 2 2 2 2

w u v cos 90−α →=u v 2u v sin α →u v 2u v

( )

=u +v +2 + + + +

• e scrivendolo

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2TG

1 2

anche per il la velocità relativa in ingresso ( sottraendo a ) si ottiene

u

¿

2 2 2 2 2 2

( ) ( )

2 v w

(¿ −u ¿)+ −v + −w

1 2 1 1 2

¿ 1

2 2 2 2 2 2

w v u v v → l=

( )

−w =u −u + −v +2 −u ¿

1 2 1 2 1 2 2 2TG 1 1TG 2 u

• La direzione tangenziale positiva dipende dal verso della

• Gli angoli hanno segno e dipende dalla direzione di crescita rispetto l’ asse meridiano

( concorde o meno con la direzione tangenziale positiva )

• Ricorda che se usi l’ arcoseno per determinare un angolo, sarà senza segno. Lo aggiungo

io oppure uso la tangente.

SIMILITUDINE IDRAULICA

• Si definiscono i coefficienti adimensionali come segue

́

gH V l

ψ= ; φ= ; λ=

2 2 3 2 2

n D nD n D

• Due macchine sono in similitudine idraulica SOLO se sono in similitudine geometrica,

similitudine cinematica e dinamica ( la similitudine dinamica implica quella cinematica )

• Dire che due macchine sono in similitudine significa dire che hanno lo stesso rendimento

β =β

• La similitudine geometrica implica 2A 2B

• Quando due macchine sono in similitudine idraulica hanno similitudine nei triangoli di

velocità V u−w w tan β

( )

u

TG TG m

α =arctan =arctan =arctan +

V V V v

m m m m ́ 1

2

V

w

ψ φ D n =ω

• Da , ricaviamo e e si ottiene la scrittura di e di

s 3

4

gH

( )

1

4

gH

( )

D =D ́

s 1

2

V

• Noto il rendimento, la prevalenza e la potenza è sempre possibile ricavare la portata fluente

gH ́ ́

η → P ρ V l

= =

POMPA l LIFT & DRAG

• Le forze di lift e drag agiscono rispettivamente in direzione perpendicolare e parallela al

verso del fluido

• Si verifica la forza di lift quando il profilo palare NON è simmetrico è la differenza di

pressione tra superficie superiore ed inferiore genera PORTANZA ( vale la stessa regola se

0

la pala è simmetrica ma l’ angolo di incidenza diverso da )

POMPE

• Le equazioni per lo studio degli impianti di sollevamento idraulici sono sostanzialmente

due, il bilancio energetico in forma termica e quello in forma meccanica

• Ricorda che negli impianti idraulici ci sono delle perdite, queste si dividono in distribuite e

2 2

v L v

K

Y Y

=K =f

localizzate: dove è il coefficiente di perdita , con

LOC DISTR

2 D 2

f coefficiente di attrito ( ricavabile dall’ abaco di Moody )

• Si può sempre definire una CURVA DI IMPIANTO che si ricava dal bilancio dell’ energia

2 2

( ) ( )

p v p v

2 2 1 1

l−l Y g z g z

( )

= +Y + + + − + +

meccanica tra monte e valle w CONC DISTR 2 1

ρ 2 ρ 2

2 1

l −l w → gH=Y A

=H +

ricordo che (la differenza di quota cinetica è nulla in quanto

TOT

g ́ ́

2 2

( )

Y V → gH V A

=f =C +

mi sto riferendo ai serbatoi) a questo punto ( parabola

TOT

concavità positiva )

• La CURVA DELLA POMPA si ottiene invece valutando l’ andamento delle perdite, si avrà

́ ́

2

gH A V V : A

= +B +C <0

un’ espressione N.B. La curva del rendimento ha la stessa

gH l

espressione con costanti diverse in quanto divido per

• Ricorda che per adimensionalizzare una curva basta sfruttare i coefficienti

́

gH V

φ= ; γ=

2 2 3

n D n D δ H δ H

C P

>

• Si dimostra che il punto di funzionamento è stabile qualora ́ ́

δ V δ V

l=u v v

−u

• Il lavoro per un pompa centrifuga posso scriverlo come , ricordando

2 2 2 1

TG TG

v → v

=v =0

che ;

1 AX 1TG ́

V

2 2 2

l=u v u w tan β v tan β tan β

( )

=u +w =u +u =u +u =u +u

2 2 2 2 2TG 2 2 2m 2 2 2 2m 2 2 2 2

π D b

TG 2 2

• L’ ultima uguaglianza corrisponde all’ equazione di una retta con pendenza dipendente

β 0)

(β >

dalla tangente di infatti si possono suddividere le pompe in : pale AVANTI ,

2

2

β 0)

( < (β =0)

INDIETRO , RADIALI

2 2

• Le macchine con pale in avanti hanno una pendenza positiva ed il lavoro aumenta con la

l−l l=l

=…→ +…

portata, occhio che il lavoro di cui si parla è quindi considera

w w

anche le perdite per attrito. Infatti macchine con pale in avanti hanno rendimenti più bassi e

perdite maggiori ( velocità maggiori ) P −P

2 1

χ=

• Il grado di reazione per macchine operatrici idrauliche è definito come e lo si

ρgH

P −P

2 1

χ=

può riscrivere come ossia la variazione di pressione a cavallo del ROTORE

P −P

3 1

fratto la variazione di pressione a cavallo della MACCHINA

• A grado di reazione piccolo corrisponde salto pressorico al rotore BASSO ( pale AVANTI ),

χ 0.5

≅

per si hanno pale RADIALI mentre per grado di reazione elevato pale all’

χ 0.8÷ 0.9 → β °

≅ ≅−75

indietro ( 2

• Per adimensionalizzare una curva sarà necessario IMPORRE LA SIMILITUDINE tra le due

macchine e successivamente sfruttare i parametri

́

2 2

gH ψ n D V ́ 3

ψ= → H ; φ= → V D φ

= =n così da ottenere un ‘ espressione

2 2 3

g

n D nD ψ.φ

ψ=ψ φ

( ) . Ottenuta l’ espressione adimensionale, sostituisco alla scrittura di la

loro espressione in funzione dei parametri della seconda macchina in modo tale da ricavare

la nuova curva caratteristica.

• Puoi fare lo stesso con il rendimento MA questa volta si scrive solo la portata in funzione di

φ φ

per poi riscrivere in funzione dei parametri dell’ altra macchina.

• Quando viene richiesta la potenza di una o più macchine in similitudine ricordati che è

́

ρ V gH

́

P=ρ V l=

sempre vera la scrittura da qui sfrutto il fatto che sono in similitudine

η

ed il rendimento è lo stesso. 2

v

P ρ

=P+

• Ricorda che la pressione totale è definita come TOT 2

• E’ possibile esprimere il lavoro in funzione della portata a partire dalla formulazione di

́ ́

l=l( V η=η( V

) )

Eulero al fine di combinare la scrittura con quella di per ricavare

́

H V

=H ( )

l’ espressione di P P

• Quando cambio pompa ma il circuito rimane lo stesso, posso sfruttare l’ espressione della

H

prevalenza del circuito per ricavare portata e/o il valore di ( in base a cosa è noto )

{

H =H

P SISTEMA

V

• Due pompe in parallelo costituiscono un sistema tale che ricorda che la

SISTEMA

V =

P 2

scrittura che va uguagliata alla prevalenza del circuito è quella del SISTEMA

• N.B. Fai sempre attenzione all’ unità di misura in cui viene espressa la curva