Appunti Modellistica e simulazione dei sistemi meccanici

CINEMATICA

Cinematica del punto

ramo della fisica che studia il moto dei corpi da un punto di vista puramente descrittivo,

Cinematica:

prescindendo dalle cause che lo hanno provocato.

corpo di dimensioni trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui può muoversi o degli

Punto materiale:

altri corpi con cui può interagire.

Il punto materiale possiede 3 componenti (coordinate cartesiane) rispetto a un sistema di riferimento nello

spazio euclideo SE(3).

Posizione del punto materiale

⃗ , ,

Ogni vettore , con origine del sistema di riferimento di versori , può essere quindi

rappresentato come: ̂ ̂

⃗ , , la loro distanza relativa

Un sistema di punti materiali è detto corpo rigido se dati due punti qualsiasi

rimane costante nel tempo:

⃗ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ → !"#!$

(essenzialmente il modulo al quadrato è il prodotto scalare, lo possiamo scrivere anche come il trasposto per

il vettore iniziale) → !"#!$

% & % & % &

Il moto di un punto materiale è determinato se è nota la sua posizione in

funzione del tempo in un determinato sistema di riferimento, ad esempio se

! , ! , !

sono note le sue coordinate in un sistema di riferimento

cartesiano.

Il luogo dei punti occupati nel tempo dal punto materiale in movimento viene

definito traiettoria. , , !

La rappresentazione parametrica della curva continua, con e parametro in un intervallo reale,

è data da: !

!

' !

Tale traiettoria può essere descritta intrinsecamente, prescindendo dalla variabile temporale, se fissato un

punto su di essa e un verso positivo di percorrenza, si definisce con ovvero la distanza

l’ascissa curvilinea,

misurata lungo la traiettoria:

tra un punto generico della curva e

Velocità del punto materiale

Si definisce del punto lungo la traiettoria la derivata

velocità scalare

di rispetto al tempo: ( ! )

!

* + ; ; ; -

La rispetto al sistema di riferimento fisso

velocità del punto

è invece: ⃗

( ! ) ̂ ) ̂ )

! !

La velocità del punto P rispetto ad può essere determinata anche in

funzione della velocità scalare ⃗ ⃗ !̂

( ! )

!

!

!

Dove rappresenta il alla curva nel punto ovvero:

versore tangente ⃗ ℎ ⃗

⃗

!̂ lim ℎ

1→2

Quando l’ℎ tende a 0, queste due grandezze tendono ad essere alla stessa distanza (il segmento diventa

come l’arco), è per questo che il limite tende al versore tangente (in quanto ha modulo unitario).

Accelerazione del punto materiale

*

Si definisce rispetto al sistema di riferimento

+ ; ; ; - accelerazione del punto

il vettore: !̂ !̂

!̂ !̂ !̂

(⃗ ! ) 4 ) 4

"⃗ ! ! ! ! !

! !̂

La derivata del versore rispetto ad è data da:

!̂ !̂ !̂ 6

ℎ 5

lim ℎ 7

1→2 !̂

#8 !̂

Il versore è ortogonale al versore (modulo costante) e diretto verso il centro di rotazione. Il piano

#8,

passante per , contenente i versori ed viene definito piano osculatore.

9 1/9

!̂/

Il termine viene definito e il rapporto La curvatura rappresenta il

raggio di curvatura curvatura.

modulo del vettore :

!̂ |! | |! |

ℎ ! ℎ ! Δ? 1

< < lim lim

|ℎ| |ℎ|

Δ? 9

1→2 1→2

Se vado a fare la differenza tra i due versori a differenti ascisse curvilinee si ottiene il

ℎ → 0, Δ? → 0,

vettore differenza in blu. Quando ovvero quando se faccio la

differenza tra i due versori che hanno angolo nullo tra di loro, di fatto, vado a prendere

#8).

la componente normale a quei due versori (direzione

Δ?/|ℎ| ℎ → 0 1/9

Per quanto riguarda il modulo mi accorgo che per non è altro che in quanto si può

ℎ

confondere con l’arco e di conseguenza viene rispettata la definizione di raggio di curvatura (o curvatura).

Nel primo termine invece, si ha che l’arco è rappresentato dalla differenza dei due versori (segmento blu) e

1.

dal momento in cui il raggio è unitario (i versori hanno modulo unitario), il loro rapporto tenderà ad

|! |

A"BB angolo "A 1 ∙ Δ? ℎ !

L’accelerazione del punto assume quindi la forma: )

!̂

" ! 4 #8

9

Dove si riconoscono il contributo e dell’accelerazione.

tangenziale normale

H !̂

G #8,

Definendo il versore ottenuto dal prodotto vettoriale di ed si ottiene la (triedro di

terna intrinseca

Frenet) alla curva nel punto P: ⃗

⃗

!̂ !̂

#8 J × #8

⃗

<I I<

ES: supponiamo di avere un robot che deve fare una lavorazione meccanica su un oggetto, la traiettoria va

pianificata tramite le equazioni di posizione, velocità e accelerazione attraverso l’ascissa curvilinea (quindi

conoscendo i versori tangenti, normali e binormali). Questa terna intrinseca nel punto prende il nome di

terna di Frenet e si definisce sulla traiettoria nel punto.

Quindi tutto questo è un modo alternativo di trattare velocità e accelerazione dei punti, invece delle solite

derivate delle coordinate. Spostiamo l’attenzione verso la traiettoria e l’ascissa curvilinea.

Coppie Cinematiche

La principale caratteristica dei sistemi meccanici è quella di essere costituiti da più corpi (membri), che

tipicamente consideriamo rigidi, collegati fra loro in modo opportuno. In conseguenza di tali legami (vincoli)

risultano ossia il numero dei

limitate le possibilità di movimento di ciascun membro relativamente agli altri,

del singolo membro e di tutta la macchina.

gradi di libertà

Gradi di Libertà

Nel moto generale fra due corpi NON reciprocamente vincolati sono possibili tre traslazioni e

relativo rigido

tre rotazioni, corrispondenti a 6 gradi di libertà. I vincoli hanno lo scopo di garantire il corretto moto relativo

fra i corpi.

(si sta parlando di moto relativo, se sono un osservatore che sta su un corpo 1 e voglio sapere dove sta il

corpo 2, mi servono 6 informazioni; ma se ho due corpi nello spazio non mi bastano 6 informazioni, devo

sapere prima dove sta il primo corpo e altre 6 per sapere come è posizionato il secondo corpo – questo è

importante poiché spesso il meccanismo viene valutato non solo nel suo comportamento complessivo, ma

anche nel comportamento relativo tra un corpo e l’altro)

Nel moto relativo fra due corpi non reciprocamente vincolati, ma vincolati a stare su uno stesso piano (o su

piani paralleli) sono possibili due traslazioni e una rotazione. Pertanto, in questo caso, i gradi di libertà del

moto relativo sono 3.

Coppie cinematiche: definizione

Si definisce se tra di essi esiste un movimento

coppia il sistema formato da 2 membri contigui collegati:

relativo (cioè il sistema ha almeno 1 g.d.l.) si ha una coppia cinematica.

Le coppie sono caratterizzate essenzialmente dallo spostamento relativo dei membri a contatto, che dipende

dalla forma delle superfici che sono in contatto durante il moto: tali superfici sono dette superfici coniugate.

Uno stesso spostamento relativo fra i membri può essere ottenuto con differenti coppie di superfici

coniugate: la ecc.

forma costruttiva ha influenza sulla trasmissione delle forze, l’usura, l’ingombro,

Geometria del contatto

i due corpi sono vincolati a mantenere un punto in contatto. Il

Contatto puntuale:

corpo 2, quindi, è impossibilitato a traslare in direzione ortogonale al piano.

Il corpo 2 resta libero di traslare nelle altre direzioni e di ruotare restando in contatto

con la superficie 1.

(5 gradi di libertà) il corpo 2 è vincolato a mantenere il contatto con il piano 1 su tutti

Contatto di linea:

i punti di una linea. È impedita la traslazione ortogonale al piano e la rotazione attorno

ad assi non paralleli alla linea.

Il corpo 2 resta libero di traslare nelle 2 direzioni parallele al piano e di ruotare attorno

alla linea di contatto ed attorno alla direzione ortogonale al piano

(4 gradi di libertà)

il corpo 2 è vincolato a mantenere il contatto con il piano su tutti i

Contatto d’area:

punti di un piano. È impedita la traslazione ortogonale al piano e la rotazione attorno

ad assi giacenti sul piano 1.

Il corpo 2 resta libero di traslare nelle 2 direzioni parallele al piano e di ruotare

attorno alla direzione ortogonale al piano.

(3 gradi di libertà)

Quando si introduce un vincolo si ha una riduzione dei gradi di libertà e un aumento dei gradi di vincolo;

quindi, la somma dei g.d.l rimasti per il moto relativo e dei gradi di vincolo introdotti porta sempre 6.

Dal punto di vista realizzativo si distinguono:

• (es: perno cilindrico in sede cilindrica) questi vincoli sono anche detti

accoppiamenti di forma

accoppiamenti bilaterali.

• (es: bloccaggio di un pezzo in una pinza) anche detti accoppiamenti unilaterali.

accoppiamenti di forza

I vincoli introdotti dal contatto fra elementi geometrici appartenenti a corpi rigidi è

(come la direzione verticale di movimento in figura)

monolaterale.

I vincoli devono essere ottenuti come effetto della presenza di più vincoli

bi-laterali

unilaterali (come la direzione orizzontale di movimento in figura).

(è importante conoscere se l’accoppiamento è di forma o di forza, poiché dal punto

di vista analitico la differenza è che in un caso l’accoppiamento è rappresentato da

uguaglianze e in altri casi da disequazioni. Esempio: dato la figura, considerata la

direzione orizzontale, quella della freccia bilaterale e la direzione verticale, si ha

0, L 0)

che:

Classificazione

Si indica come di una coppia cinematica il numero di gradi di libertà nel moto relativo.

classe

Le coppie che lasciano 1 solo grado di libertà, sono dette di classe 1, vengono classificate come o

elementari

Le coppie elementari sono realizzabili solo tramite contatti di superficie: le superfici coniugate sono

inferiori.

rigide, identiche e combacianti.

Sono dette coppie tutte le coppie cinematiche non classificabili come inferiori.

superiori

Coppie con contatto superficiale

Esistono solo 6 coppie che possono essere realizzate con elementi cinematici in contatto superficiale.

Coppia rotoidale – R (revolute Coppia prismatica – P Coppia elicoidale – S (screw)

joint) (prismatic joint) 1 g.d.l. relativo fra i membri

1 g.d.l. relativo fra i membri (rototraslazione lungo l’asse

1 g.d.l. relativo fra i membri della coppia)

(traslazione lungo l’asse della

(rotazione attorno all’asse coppia)

della coppia) I due moti sono collegati da

Δℎ ΔM

passo dell’elica.

Coppia piana – F (flat joint) Coppia sferica – B (ball joint)

3 g.d.l. relativi fra i membri 3 g.d.l. relativi fra i membri

Coppia cilindrica – C

(cylindrical joint) (traslazioni sul piano e (3 rotazioni attorno ad assi

2 g.d.l. relativi fra i membri rotazione attorno all’asse indipendenti passanti per il

perpendicolare ad esso) centro della coppia)

(rotazione e traslazione

indipendenti attorno all’asse

della coppia)

Coppie elementari o inferiori nel piano

1 g.d.l. relativo fra i membri (rotazione

Coppia rotoidale – R (revolute joint)

attorno all’asse passante per il centro della coppia e perpendicolare al piano)

1 g.d.l. relativo fra i membri (traslazione

Coppia prismatica – P (prismatic joint)

lungo l’asse della coppia, che deve giacere nel piano)

Coppie superiori

Si definiscono le coppie cinematiche che non sono inferiori; esse NON sono in alcun modo

superiori

realizzabili tramite contatti di superficie ma esclusivamente tramite contatti lineari o puntiformi.

Tutte le coppie tra membri non rigidi sono anche esse classificate come superiori (per es. accoppiamento

puleggia-flessibile; fluido-condotti di turbina).

Camma piana

2 g.d.l. relativi fra i membri

(traslazione tangente alle superfici in contatto e rotazione relativa;

impedita la traslazione normale alle superfici)

La coppia camma piana ha un accoppiamento lineare (o puntuale se non

avessero profondità)

Comportamento relativo: se sono un osservatore nel corpo 1 (lo immagino fermo), il corpo 2 grazie alla

camma piana ha impedito unicamente la traslazione nella direzione di contatto.

Quindi i due corpi tra di loro possono tranquillamente strisciare e rotolare (come una ruota a terra che può

solo ruotare o strisciare).

Se aggiungessi anche il vincolo di puro rotolamento, ovvero che nel punto di contatto la velocità istantanea

è nulla; questo significa che rotazione e traslazione sono collegati tra di loro (mentre prima non lo erano) e

quindi il sistema avrebbe un solo grado di libertà.

Ricordiamo che nel caso di puro rotolamento e di rullo che si muove a velocità costante, il punto di contatto

non è stazionario, è vero che ha velocità nulla, ma ha velocità centripeta diversa da 0. Dire velocità costante,

significa che l’accelerazione centripeta è data dalla velocità angolare al quadrato diviso il raggio. Quindi anche

se il rullo si muove a velocità costante, ha comunque una componente di accelerazione, quando si muoverà

nell’istante dopo, acquisisce una velocità perché nell’istante prima aveva accelerazione; è chiaro che è

cambiato il punto di contatto, il nuovo punto di contatto sarà il nuovo centro di rotazione avrà sempre

velocità nulla e accelerazione diversa da 0.

Caratterizzazione matematica dei vincoli

ℛ, O , … , O

Q

Dato un sistema materiale i cui punti materiali sono indicati con , il sistema si dice libero quando

altrimenti il sistema è detto vincolato.

tali punti sono liberi di assumere qualunque posizione nello spazio,

O S O

R R

Chiamiamo vincolo ogni dispositivo che limita le posizioni e le velocità dei punti del sistema

meccanico; pertanto, la presenza di un vincolo tra due membri distinti riduce la mobilità relativa dei membri

stessi.

I vincoli possono essere espressi analiticamente mediante relazioni fra le coordinate e le velocità di punti del

sistema: T O ,…, O , S O , … , S O , ! ≥ 0

Q Q

Esempio: supponiamo di avere due aste collegate tra di loro nel piano tramite una cerniera. L’estremità

dell’asta due deve essere quindi sempre collegata all’asta 1. Dal punto di vista delle equazioni sto dicendo

che le coordinate dell’estremità di giunzione coincidono.

→ 0 0

V W V W V W V W

Questo vincolo è bilaterale in quanto è scritto sotto forma di equazione e sottrae gradi di libertà al sistema.

Un vincolo è detto:

• se le restrizioni imposte al sistema si rappresentano tramite sole equazioni (es: punto vincolato

bilaterale

ad una linea, corpo con un punto fisso);

T O , … , O , S O , … , S O , ! 0

Q Q

• se compare almeno una disequazione, quello che comporta, non è una eliminazione dei gradi

unilaterale

di libertà, ma è una limitazione del range del movimento. È solitamente un accoppiamento di forza. (es:

corpo appoggiato ad un piano o vincolato a stare all’interno di una sfera).

, … , O , S O , … , S O , ! L 0

T O Q Q

(un punto costretto a stare all’interno di un cerchio è rappresentato da una disequazione, quindi, è un vincolo

unilaterale, mentre un punto costretto a stare sulla circonferenza è bilaterale)

Un vincolo è detto:

• o se la relativa equazione del vincolo non contiene esplicitamente

indipendente dal tempo scleronomo

il tempo: T% O , … , O , S O , … , S O ≥ 0

&

Q Q

• o se la relativa equazione del vincolo contiene esplicitamente il tempo:

T O , … , O , S O , … , S O , ! ≥ 0

dipendente dal tempo reonomo Q Q

X!)

Es: asse di un motore che si muove a velocità costante (M

(attenzione la dipendenza dal tempo deve essere esplicita e diretta; se ad esempio avessi un vincolo 1

generico che dipende indirettamente da un altro vincolo reonomo 2, anche il vincolo 1 dipenderebbe

indirettamente dal tempo, ma non viene classificato come reonomo in quanto non è una dipendenza

esplicita).

Un vincolo è detto:

• o o se limita direttamente solo le posizioni del sistema, e quindi non

olonomo geometrico di posizione

compare nella sua espressione la dipendenza dalle velocità.

T O , … , O , ! ≥ 0

Q

Nella definizione vi è una disuguaglianza, ma nella meccanica delle coppie cinematiche questo la maggior

parte delle volte è un vincolo bilaterale, quindi con un’uguaglianza, di conseguenza stiamo sicuramente

sottraendo gradi di libertà. (es: due aste vincolate da una cerniera)

• o o se limita anche le velocità dei punti.

T O , … , O , S O , … , S O , ! ≥ 0

anolonomo cinematico di mobilità Q Q

Sono descrivibili sia tramite un’uguaglianza che una diseguaglianza, ma in questo caso, anche se ci

trovassimo nella condizione di uguaglianza, il vincolo anolonomo non sottrae gradi di libertà.

N.B. Perché un vincolo risulti effettivamente anolonomo occorre che la sua equazione di vincolo (alle

derivate prime rispetto al tempo) risulti cioè non riconducibile ad un vincolo

non integrabile, di

posizione.

Esempio: vincolo olonomo

In generale il rullo, se vincolato a rimanere a contatto con il piano,

ha 2 gradi di libertà, lo strisciamento e il rotolamento (coppia

camma piana).

Si impone il vincolo di puro rotolamento, che è un vincolo sulle

velocità, viene introdotta la corrispondente equazione di vincolo

S 0,

Y per cui: M)

S S X× [ \ → ) ]

Z Y Z

Quindi questa relazione lega le velocità e si potrebbe pensare che

sia un vincolo anolonomo. La velocità di avanzamento del rull