Appunti Modellistica e simulazione dei sistemi meccanici

La trasformazione dal telaio al terminale

La trasformazione che va dal telaio verso il terminale può essere vista come la composizione di altre trasformazioni lungo la catena cinematica. Quello solitamente che si va a fare, è posizionare delle terne di riferimento locali sui corpi e delle trasformazioni intermedie che permettono di passare da una terna a quella immediatamente prossima.

Notiamo che questa matrice di trasformazione si compone con la logica delle post moltiplicazioni; quindi, la prima trasformazione sarà sulla sinistra e le altre vengono a seguire.

La matrice trasformazione complessiva trovata avrà le stesse proprietà delle altre; quindi, sarà una matrice di trasformazione omogenea, dove ci sarà una parte che sarà la matrice di rotazione, il vettore sull'ultima colonna sarà il vettore posizione, tre 0 ed un 1; però nella matrice complessiva ci saranno tutti i parametri a, b, c, Q e i.

parametri costanti della geometria.I meccanismi non sono sempre seriali. In presenza di la relazione precedente si# catene cinematiche chiusemodifica imponendo che il membro 0 ed il membro siano coincidenti (perché l’ultimo corpo coinciderà conil telaio stesso), ovvero:Û Éa , … , a Ê Û a Û a … Û a … Û a ÜR„2 Q„Q Q Q Ý×Ý2 R,Nelle catene cinematiche chiuse, non si possono attuare tutti i giunti (se ne attuano in numero pari ai gdl)altrimenti si avrebbe ridondanza e conflitto. Ci saranno quindi dei giunti attuati e altri passivi (mentre neimeccanismi seriali sono tutti attuati).aRI vari sono parametri liberi di giunto ma sono dipendenti tra di loro. Devo quindi estrarre il formalismocinematico dal quale estraggo l’informazione che mi dice come sono correlate le coppie passive con quelleattuate. (questo significa risolvere la cinematica di posizione nelle catene chiuse)Inoltre,

Non potrò ottenere tutte i movimenti ma solo un numero pari ai gdl, ad esempio, se ho un meccanismo con 2 gradi di libertà come il pentalatero, se posiziono i motori nelle due cerniere a telaio posso controllare unicamente la posizione x,y della cerniera in mezzo; mentre se posizionassi i motori in maniera differente potrei ottenere il controllo di una coordinata e della rotazione.

Guardando la relazione sopra di fatto matematicamente sono la stessa matrice, ma quella sulla sinistra rappresenta l'orientamento del terminale rispetto il telaio, mentre a destra trovo la composizione delle matrici.

Analisi di posizione: analisi diretta

Il problema cinematico diretto consiste nel determinare la posizione e l'orientamento del membro terminale del sistema meccanico (o di qualunque altro punto della struttura) in funzione degli spostamenti (noti) dei giunti: † Û Éa , … , a

Ê2Q Q,Il problema è risolto calcolando direttamente la formula precedente, che diventa un prodotto di matrici costanti; pertanto esso, che è già posto in forma esplicita, è facilmente risolubile e fornisce sempre una sola soluzione nel caso di strutture seriali (per strutture parallele la cinematica diretta presenta una complessità maggiore). … a Ûa Q , devo determinare complessiva – è un problema puramente algebrico)(conosco # 0.

La matrice che si ottiene sarà 4x4, dove a sinistra vi è la matrice di rotazione tra la terna e quella a destra sarà presente la posizione dell’origine della terna del terminale rispetto al telaio. La matrice ottenuta è un’invariante, però sappiamo che possiamo esprimere l’orientamento anche attraverso 3 variabili indipendenti che sono gli angoli; quindi, vi è uno step aggiuntivo da fare per passare dalla matrice di rotazione agli angoli.

posizione: analisi inversa Il problema cinematico inverso consiste nel determinare l'insieme di spostamenti dei giunti che portano il terminale del meccanismo in un dato punto con orientamento prefissato. Anche questo problema si risolve a partire dalle equazioni: † Û Éa , … , a Ê2Q Q, aR a partire dalla loro espressione contenuta nel membro di destra. Û a … aQ (conosco complessiva che assegno, devo determinare che mi permettano di ottenere quella trasformazione, sono spesso equazioni non lineari ed in certi casi non sono risolvibili in forma chiusa) Dal punto di vista pratico, la cinematica inversa è fondamentale per sapere come fare un certo movimento assegnata una certa configurazione cartesiana. Analisi di

posizione: formalizzazione

Il problema cinematico può essere efficacemente descritto in termini di applicazioni tra due spazi notevoli, a# Rcioè lo spazio delle (spazio dette coordinate variabili di giuntoa: dei giunti o delle coordinate interne), interne, raccolte nel vettore (questo vettore raccoglie le coordinate interne di giunto, cioè quelle attuate) aaa • €…aQe l’insieme delle 6 coordinate esterne (dipendono da cosa deve fare la macchina) che descrivono posizioneÞ: ed orientamento di un corpo nello spazio, raccolte nel vettore ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥? ⎢ ⎥š ⎢ ⎥ ⎣ ™⎦Þ Lo spazio di tutti i vettori è chiamato o o spazio dei compiti ed è al più spazio cartesiano spazio di lavoro uno spazio a 6 dimensioni.Þ Il vettore viene spesso chiamato nello spazio di lavoro, in quanto consente di esprimere vettore posizione la posizione (e l’orientamento) del dispositivo terminale di un manipolatore e

quindi anche di definirne il compito. (quando assegno queste 6 coordinate, sto dicendo come è configurato il corpo mobile nello spazio) A volte i compiti del manipolatore sono descritti con riferimento a spazi con dimensioni inferiori a 6, come per esempio nei manipolatori piani, per i quali il compito più generico è a 3 gradi di libertà. (non tutte le macchine devono per forza manipolare tutti i 6 gdl) Nel caso più generale, quindi, si fa riferimento ad un vettore posizione a 6 componenti (in cui è sempre <= 6). Con il numero di gradi di libertà dei giunti e con la dimensione dello spazio cartesiano. Se avessi 6 motori, avrei 6 (parlando di meccanismi seriali). In forma più generale, quindi il problema di posizione può essere formulato come: [immagine] a1, a2, ..., a6 Da una parte vi è la trasformazione legata a come voglio configurare l'oggetto nello spazio.

spazio e dipende da ,da quell’altra vi è la matrice prodotto di tutte le trasformazioni lungo la catena cinematica e che dipende dalle coordinate di giunto.

I problemi cinematici diretto ed inverso, quindi, sono formalizzabili come applicazioni non lineari fra due spazi vettoriali di dimensione diversa: (per le cinematiche parallele sarà più facile il problema inverso rispetto quello diretto)

Soluzioni Multiple

Solitamente il problema cinematico inverso per manipolatori seriali ammette soluzioni multiple. Per questo motivo il problema cinematico viene spesso identificato come analisi delle configurazioni in quanto occorre valutare quale delle soluzioni sia più adatta allo svolgimento del compito assegnato.

Per esempio, il più generico robot a 6 assi composto da sole coppie rotoidali ammette fino ad un massimo di 16 soluzioni.

Esempio: Puma Robot 4 diverse posture per un robot PUMA corrispondenti alla stessa posa nello spazio di lavoro

Alcune soluzioni fornite

che un robot è ridondante quando ha più gradi di libertà di quelli necessari per raggiungere una determinata posizione nello spazio di lavoro. In questi casi, esistono infinite soluzioni possibili per la cinematica inversa. Tuttavia, è importante notare che non tutte le soluzioni sono fisicamente realizzabili a causa delle limitazioni delle coppie di attuatori del robot. Ad esempio, le coppie prismatiche possono avere uno sfilamento finito, mentre le coppie rotoidali possono avere rotazioni limitate. Pertanto, alcune soluzioni potrebbero portare il robot in configurazioni non desiderate, come urtare contro ostacoli nello spazio di lavoro. Per risolvere questo problema, di solito si sceglie la soluzione più "vicina" alla configurazione di partenza o alla configurazione attuale del robot. Inoltre, viene adottata una metrica che assegna un peso differenziato ai vari attuatori, in modo da favorire il movimento degli attuatori più piccoli a discapito di quelli di dimensioni maggiori. In generale, nel caso della cinematica inversa di posizione, non ci si aspetta un numero infinito di soluzioni (a meno che il robot non sia ridondante). Tuttavia, ci possono essere soluzioni multiple ma finite.che unrobot è ridondante quando presenta un numero di mobilità superiore ai gradi di libertà del compito assegnato. (es: devo spostare una sfera tra due posizioni, se avessi un robot con 6 motori, avrei soluzioni, per via della ridondanza rispetto l'orientamento - mentre se considerassi un braccio robotico con 7 gradi di libertà avrei soluzioni) La ridondanza non è necessariamente legata a più di 6 motori, dipende da quella che è la dimensione dello spazio in cui mi muovo, se volessi fare un compito a 3 gradi di libertà, ho ridondanza se utilizzo più motori dei necessari. Evidentemente in questo caso la soluzione può essere scelta tra un numero infinito di alternative, per cui si ricorre spesso a tecniche di ottimizzazione che tengano in considerazione i vincoli del problema. Di fronte ad una ridondanza, mi trovo davanti a scegliere dei criteri che mi permettano di scegliere la soluzione più

Esistono alcune pose nello spazio di lavoro che risultano critiche per il funzionamento del robot (sono delle pose in cui la macchina perde dei gradi di libertà) e che per questo motivo devono essere evitate: tali pose si chiamano singolari.

Osserviamo il robot piano 2R in figura, composto da due rotoidali. Lo spazio di lavoro è quello compreso tra le due circonferenze rosse. Esistono delle configurazioni particolari, che sono quelle limite dove di fatto le due aste sono allineate (meccanismo richiuso e meccanismo totalmente esteso); queste configurazioni vengono dette singolari, in quanto la macchina perde gradi di libertà, guardando il caso di meccanismo esteso.