Appunti Metodi quantitativi per il Management

ANALISI DI SENSIBILITA’

Noi abbiamo fatto assunzioni forti, le aziende non possono conoscere in anticipo i ricavi, ricavi e

costi sono stime approssimative che dipendono da p*q = ricavo.

Facciamo l’ANALISI DI SENSIBILITA’: un’analisi che ci permette di capire come variano gli

output al variare degli input. Se i ricavi in caso di successo fossero maggiori di 500.000 la

decisione sarebbe lanciare il prodotto a maggior ragione. Ma se i costi fossero superiori che cosa

faremmo? Dipende da quanto aumentano ci sarà un punto critico in cui la decisione sarà non

lanciare. I nostro input son costi, ricavi e probabilità, noi abbiamo dato dei valori ma nella realtà

queste stime possono avere un margine di variabilità e dobbiamo capire quanto possono variare.

se i costi variano in un intervallo che va da 50.000 a 200.000 è difficile decidere se lanciare o no.

noi vogliamo capire se variano i ricavi in caso di successo, come mi varia l’output, il valore atteso?

Se i ricavi sono 0 il valore atteso è -30.000 ecc, i risultati per fare la retta li ottengo sostituendo al

posto di 500.000 0, 250.000 ecc e trovo i vari livelli di valore atteso. Dai vari punti otteniamo una

retta che mi dice come varia il valore atteso in funzione dei ricavi. Se non sviluppiamo abbiamo

300.000, questo valore non varia al variare dei ricavi, è una retta orizzontale. La retta sviluppare

aumenta all’aumentare dei ricavi e la qua equazione è

Y=0,7 (ricavi – costi) + (0,3*180.000) = (ricavi – 120.000) + (0,3*180.000)= 0,7 ricavi -30.000

Diamo i ricavi per noti, dobbiamo capire come varia il valore atteso dei ricavi. All’aumentare dei

ricavi il valore atteso dei ricavi aumenta. 59

valore atteso

400 sviluppare

300 non sviluppare

200

100 100k 200k 300k 400k ricavi

-30

14.11.13

Ripartiamo dall’esempio dell’altra volta Successo

0,7 380.000 (500.000-120.000)

sviluppare no successo

0,3 180.000 (300.000-120.000) 60

Sviluppare perché 300.000

Dopo aver determinato probabilità e payoff partiamo dalla fine dell’albero e andiamo a ritroso, ogni

nodo deve avere un valore. Il nodo evento cerchio non ha attualmente un valore, il modo per

assegnargli un valore è calcolare il valore atteso ponderando i due profitti per le relative

probabilità: 320.000.

Noi dobbiamo semplificare il problema per decidere.

A occhio il valore atteso ci dice di sviluppare il prodotto. Usare il valore atteso significa che

abbiamo un portafoglio di decisioni e in media la situazione è il valore atteso.

Noi possiamo fare solo delle stime sui ricavi e basiamo queste stime dal passato. Vediamo quanto

spesso in passato il prodotto ha avuto successo (70% delle volte).

Essendo una stima il valore può variare, se varia troppo qual è l’impatto sulla nostra decisione, sul

valore atteso? Noi in caso di successo avevamo 380.000 ma se 380.000 varia qual è l’impatto sul

valore atteso?

Studiamo l’analisi di sensibilità.

Quanto deve essere il ricavo nel caso di lancio e successo in maniera tale che la decisione non

cambi? Qual è il valore dei ricavi in caso di sviluppo e successo in maniera che la decisione non

cambi, che preferisco comunque sviluppare il prodotto?

Avevamo calcolato la funzione: Y= (ricavi – 120.000) + (0,3*180.000)= 0,7 ricavi -30.000

Avevamo poi disegnato la retta. Se i ricavi son 0 il valore atteso è -30.000, abbiamo così tracciato

la retta. il valore che rappresenta la retta in caso di sviluppo dev’essere maggiore o uguale di

300.000. qual è il valore minimo dei ricavi in maniera tale che continuiamo a decidere di lanciare il

prodotto?

0,7 * ricavi -30.000 > 300.000

0,7*ricavi>330.000

Ricavi>471.428

In corrispondenza di 300.000 tracciamo la retta non lancio (rossa) che interseca quella di lancio

(blu) in corrispondenza di 471.428.

Valore atteso Lancio 61

300.000 No lancio

471.428 ricavi

-30.000

Per valori superiori a 471.428 siamo alla destra del punto di intersezione e abbiamo un valore

atteso maggiore di 300.000 e lanciamo e viceversa:

• Ricavi > 471.428 → lancio

• Ricavi < 471.428 → non lancio

• Ricavi = 471.428 → indifferenti

A noi piacerebbe che la retta del lancio fosse più piatta o più pendente? Vediamo l’ipotesi della

retta verde: per piccole variazioni di ricavo il valore atteso varia molto. Una pendenza maggiore

della retta rappresenta una maggiore variabilità che può andare a nostro favore se la variazione è

positiva ma a nostro sfavore se la variazione è negativa. La sensibilità del valore atteso è

maggiore, c’è un rischio maggiore che può giocare a nostro favore o sfavore. Se una variabile è

per noi critica magari possiamo sviluppare più pubblicità. Un’azienda ha risorse limitate, capire se

quale variabile è importante è cruciale.

Ora facciamo l’opposto, ci domandiamo qual è il valore minimo della probabilità di successo in

maniera tale che decidiamo comunque di lanciare il nuovo prodotto.

Successo = (P)

Non successo = (1-p)

P(380.000) + (1-p) 180.000 > 300.000 → p>0,6

La nostra probabilità di successo era 0,7 e il valore soglia è 0,6, non è una decisione netta. 62

IL VALORE ATTESO DI UN’INFORMAZIONE

Il valore atteso di un’informazione può essere perfetto o imperfetto.

Esempio di valore atteso di un’informazione perfetta:

dobbiamo decedere se giocare o meno 80 euro o prendere 30 a seconda che esce testa o croce.

La probabilità è uguale nei due casi ed è del 50%. Il valore atteso è 80*0,5 -30*0,5 = 25.

Giulia lancia una moneta e sa se è uscita testa o croce, l’informazione che ha giulia è rilevante.

testa

0,5 80)

gioco croce

0,5 30

Non gioco 300.000

Se Giulia dovesse dire che è uscito testa io giocherei. Se invece Giulia dicesse che è uscita croce

non giocherei. La probabilità che Giulia ci dica testa è del 50% il valore atteso ocn l’informazione è

0,5(80) + 0,5(0) = 40.

No info 25 Gioco 80

giulia dice testa

0,5 no gioco 0 63

Con info 40 Gioco -30

0,5

Giulia dice croce Non gioco 0

All’inizio il valore atteso era 25, sono disposto a pagare Giulia. Il valore atteso senza info è 25,

quello con info 40. Quello che viene definito come valore atteso dell’informazione perfetta

(qualsiasi cosa Giulia si dice si avvera e da la possibilità di decidere dopo l’incertezza). Prima

avevamo nodo decisionale e nodo evento ora abbiamo prima nodo evento e poi nodo decisionale,

decidiamo dopo! La differenza tra valore atteso con info e senza info pari a 15 rappresenta il valore

atteso dell’informazione perfetta. È il valore massimo che siamo disposti a pagare per

l’informazione perfetta che si avvererà in ogni caso. Se il costo è inferiore a 15 compriamo

l’informazione, altrimenti no. 64

Qual è il valore atteso dell’informazione perfetta nel caso del lancio di un nuovo prodotto?

Con info se il test dice che il prodotto ha successo lanciamo il prodotto e otteniamo 380 e se non

lancio 300, scelgo di lanciare.

Se il test dice che il prodotto non ha successo la decisione cambia, se lancio prendo 180 e se non

lancio sempre 300.000 e tra i due scelgo 300.

No info lancio 320.000 Lancio 380.000

Il test dice che il prodotto ha successo

0,7 Non lancio 300.000

Con info 40 lancio 180.000

0,3

Il test dice che il

prodotto non ha successo No lancio 300.000

Il valore atteso con l’informazione è 0,7(380.000)+0,3(300.000)=356.000

Il massimo che siamo disposti a pagare per l’informazione è 356.000 – 320.000 = 36.000

Il valore atteso dell’informazione perfetta al netto del costo è 36.000 – 30.00 = 6.000

VALORE ATTESI DELL’INFORMAIZONE IMPERFETTA

Nella realtà non esistono informazioni perfette, ci sono informazioni attendibili ama non al 100%.

L’esempio è sempre quello del lancio. La probabilità che il prodotto abbia successo P(S)=70%

quindi la probabilità che non abbia successo è P(Ssegnato)=30%.

Stiamo valutando la possibilità di introdurre un test che in passato è stato abbastanza affidabile.

Indichiamo con:

• T= test dice successo 65

• T segnato: non successo

Ogni volta che il prodotto ha avuto successo il test ha risposto positivamente nell’80% dei casi.

L’altra informazione è l’attendibilità al negativo, quando il prodotto non ha avuto successo ilt est ci

ha detto che non avrebbe avuto successo nel 90% dei casi:

P(T|S) = 80% → P(T|Ssegnato) = 20%

P(Tsegnato|Ssegnato) = 90% → P(T|Ssegnato)=10%

Quanto siamo disposti a pagare per l’informazione imperfetta?

Costruiamo un albero dove sappiamo che senza info se lanciamo otteniamo 320.000. se invece

decidiamo di acquistare l’informazione bisogna vedere cosa dice il test. T= test dice successo; T

segnato: non successo. Se il test ha detto che il prodotto ha successo questa volta non possiamo

decidere subito di lanciare come prima, possiamo lanciare o non lanciare. Se lanciamo l’evento

può avere successo o no.

Se invece il test mi dice che il prodotto non ha successo posso lanciare o no. anche ora se lancio

posso avere successo o non successo. S

380.000 No info lancio 320.000 0,949

Lancio369.820 S segnato

T 0,051

180.000 0,59

S 380.000

Con info 40 Non lancio 300.000

lancio 0,41 300.000

S segnato 66

T segnato

180.000 No lancio 300.000

Nel caso di lancio e successo possiamo attendere 380 e nel caso di lancio e non successo 180:

Noi abbiamo la probabilità che il prodotto abbia successo dato che il test ha detto che il prodotto

avrebbe avuto successo: P(S|T). Dobbiamo calcolare questa probabilità:

Applichiamo il teorema di Bayes:

P T S P S

∣ 0,8∗0,7

( ) ( )

P S T

∣

( )= = =0,949 dove P(T) = P(T|S)*P(S)+(T|

0,8∗0,7+ 0,1∗0,3

P T

( )

Ssegnato)*P(Ssegnato) = 0,59

P(Ssegnato|T)=1 – P(S|T) =1-0,949 = 0,051 è la probabilità che il prodotto non abbia successo

anche se il test aveva detto che avrebbe avuto successo.

P Tsegnato Ssegnato Ssegnato

∣ 0,9∗0,3

( )∗P ( )

P Ssegnato Tsegnato

∣

( )= = =0,66 questa è

0,41

P Tsegnato

( )

l’attendibilità del test nel caso in cui il prodotto non abbia avuto successo. A noi interessa qual è la

probabilità che il prodotto abbia successo dato che il test ha detto che non avrebbe avuto

successo. Quindi 1-0,66 = 0,34:

P(S|Tsegnato)=0,34

Procediamo a ritroso e vediamo q