Appunti Metodi quantitativi per il Management

Metodi quantitativi per il management

Lo scopo è fare previsioni su dove e come investire i soldi aziendali. La prima parte del corso è quella statistica-manageriale e vedremo:

• Analisi dei dati
• Regressione (lineare, semplice, multipla ecc.)

Decisioni aziendali

Nella seconda parte vedremo due tipologie di decisioni. Nella maggior parte dei contesti in cui un'azienda deve decidere se lanciare un nuovo prodotto o no, guardando al mercato, si analizzano decisioni in un contesto rischioso, in condizioni di incertezza; le distribuzioni di probabilità sui prodotti ci aiutano a prendere la decisione. Oltre alle decisioni in un contesto rischioso, abbiamo le decisioni in un contesto non rischioso che sono problemi di ottimizzazione.

Materiale didattico e strumenti

Su e-learning, sul materiale didattico generico (comune a tutte le classi) dobbiamo guardare i software e i dati. Tra i software ci sono k-stat e bstat (riguarda la logistica). Nella seconda parte poi useremo Excel come risolutore o solver. Su e-learning ci saranno anche esami ed esercizi passati oltre a degli homework. Entro venerdì bisogna rispondere al questionario.

Esame e ricevimento

L'esame è scritto e in aula informatica, dovremo interpretare i dati forniti dai software. Le 8 domande della prova intermedia riguardano gli homework e gli esami passati. Il ricevimento è il mercoledì dalle 14 alle 15 nell'edificio a cubi ufficio 3.d1.06.

Caso Autorama

(cap. 3 del Klibanoff)

Ci sono:

• Statistica descrittiva: quella che noi osserviamo
• Statistica inferenziale: non la osserviamo e cerchiamo di studiarla tramite la statistica descrittiva

Noi siamo interessati a quanti iPhone al mese riusciamo a vendere, per capire quanta merce tenere in magazzino. Tramite la statistica descrittiva (ciò che osserviamo) guardiamo i dati delle vendite dell’iPhone e cerchiamo di dire qualcosa sulle vendite iPhone generali, non solo del nostro negozio → statistica inferenziale (ciò che non osserviamo). Nella statistica descrittiva noi abbiamo a che fare con un campione di ampiezza n (il numero di osservazioni presenti) e poi attraverso distribuzioni di probabilità riusciamo a dire qualcosa sulla popolazione.

Es. Altezza media degli studenti management del primo anno. Si guarda l’altezza media della classe che diventa così il campione che ha una determinata ampiezza (osservazioni = 90 persone), si fa la media e poi, tramite le distribuzioni di probabilità, si fa inferenza e si fa la media della stima della popolazione (tutto il corso di management).

Distribuzioni di probabilità

Ci son varie distribuzioni di probabilità, le più importanti:

• La distribuzione normale: ha forma a campana ed è caratterizzata da due parametri:
  • μ = media = 25
  • δ = deviazione standard = 5

Calcoliamo la probabilità tramite Excel. In Excel ci sono due funzioni:

• Distribuzione normale: digito +distrib.norm; questa funzione ci consente di tirar fuori l’area a sinistra di un punto. Noi dobbiamo inserire, il punto, la media e sigma e il cumulativo (1). Inseriamo 30; 25; 5; 1. Otteniamo come probabilità l’84%.
• Un’altra funzione di Excel ci consente di fare l’operazione inversa: digito +inv.norm() data una determinata probabilità ci dice qual è quel punto alla cui sinistra c’è tale probabilità. Dobbiamo inserire (probabilità; media; deviazione standard).

Da ogni distribuzione normale possiamo ricavare la distribuzione normale standard, attraverso il processo di standardizzazione. La normale standard si indica con Z ed è caratterizzata da:

• μ = media = 0 sempre
• δ = deviazione standard = 1 sempre

Quando dobbiamo confrontare grandezze diverse dobbiamo rapportarle tutte a una stessa unità di misura. Noi, con la standardizzazione, riusciamo a paragonare due variabili espresse in termini diversi. Con Excel basta inserire nella normale standard media 0 e standard deviation = 1.

Distribuzione t-student

Il motivo perché si usa t-student è che noi analizziamo i dati di un campione ma cerchiamo di dire qualcosa sulla popolazione, c’è molta variabilità, molto errore. La distribuzione T è simile alla normale standard ma ha le code spesse, c’è tanta probabilità di eventi estremi, maggiore variabilità. La distribuzione riesce a catturare meglio l’elevata variabilità. È caratterizzata dai gradi di libertà: un parametro che ci dice che tanto più bassi sono i gradi di libertà tanto più le code sono spesse. Per somigliare di più a una normale standard i gradi di libertà devono essere più alti. Al diminuire dei gradi di libertà (GL) le code diventano più spesse.

Come si tirano fuori i valori da una distribuzione t-student? La distribuzione t-student è simmetrica come la normale standard. Noi siamo interessati alla probabilità che la nostra variabile assuma valori superiori al punto 1. Excel ci consente di trovar quest’area. Funziona però in modo diverso dalla normale. Digitiamo: + distrib.T(X; GL; code); con la normale ottenevamo l’area alla sinistra, ora invece abbiamo l’area alla destra del punto che fissiamo. Dove X = 1 (il punto scelto); GL = 20; code = 1 (analizziamo infatti solo l’area destra)). Otteniamo che l’area alla destra di 1 è il 16,4%. Se vogliamo invece entrambe le aree basta inserire 2 e quindi + distrib.T(1; 20; 2) cose e otteniamo infatti il 32,9%.

Digitiamo ora la funzione inversa: + inv.t che ci chiede probabilità, gradi di libertà. Questa funzione ci fa ottenere il punto alla destra del quale troviamo metà dell’area che specifichiamo. + inv.t(33%; 20).

Ritorniamo al caso Autorama

Noi vogliamo aprire una concessionaria di automobili. Vogliamo capire quante auto tenere in magazzino e quale tipologia di auto. Da cosa può dipendere la spesa in auto? Dal reddito, all’aumentare del reddito aumenta la spesa in auto, c’è una correlazione tra le due variabili: esiste? Di che tipo è? Lineare? Il modello è significativamente robusto o no?

Noi abbiamo i dati di una concessionaria simile per zona che ci dicono:

• Spesa = price
• Reddito = income

Noi della nostra zona conosciamo invece:

• Le percentuali di clienti in una certa fascia di reddito: il reddito relativo.

Se siamo in una zona residenziale ci conviene tenere in magazzino macchine costose e viceversa. Usiamo k-stat. Dobbiamo importare dei dati. Componenti aggiuntivi; statistics; import data; file; data klibanoff; chapter 3; autorama; vediamo come si fa una statistica uni variata: statistics, univariate statistics: ci calcola la statistica uni variata; dal punto di vista statistico noi abbiamo un campione di ampiezza n = 100 che ha:

• La media di quanto viene speso in macchine: 19.552. x col trattino sopra (la media campionaria) = quasi 20.000 euro. noi non conosciamo la media della popolazione μ, non la osserveremo mai, ne abbiamo solo uno stimatore (x trattino sopra).
• Deviazione standard = s = deviazione standard del campione; è uno stimatore di δ, la deviazione standard della popolazione che noi non osserveremo mai.

Noi stiamo studiando la variabile spese in macchina (price). Noi stiamo analizzando solo un piccolo campione della popolazione. Se andassimo in un’altra concessionaria la media campionaria come sarebbe? Non sarebbe più 19.552, un altro campione avrà una media diversa, è vero che la media campinaria è uno stimatore della media della popolazione però la media campionaria è una variabile aleatoria, causale, che assume valori diversi a seconda del campione. Questa variabile si distribuisce come una normale con media μ e deviazione standard δ. (deviazione standard della distribuzione campionaria).

Vediamo ora l’errore standard della media: s = s/√n = 575,9 nel nostro esempio = 5759,3/10 = 575,9.

Se facciamo statistics; graphics; scatterplot; in plot inseriamo Price (variabile dipendente che aumenta all’aumentare del reddito) e come variabile indipendente il reddito: otteniamo un grafico con dei punti, i punti sono 100 come il nostro campione. Noi vogliamo capire se c’è una relazione. Noi clicchiamo col tasto destro su un punto e facciamo aggiungi linea di tendenza, scegliamo la lineare. Compare così una linea nel grafico. Vediamo così che c’è una correlazione positiva tra prezzo e reddito. Noi stiamo assumendo che nella popolazione versa la spesa sia uguale a un’intercetta + coefficiente per il reddito: spesa = βo + β1*reddito. Noi stiamo assumendo che la spesa dipenda dal reddito in maniera lineare.

Kstat ci da ora:

• Constant = il coefficiente bo, una stima di βo (intercetta).
• Income = b1, una stima di β1 (pendenza retta).

Perché abbiamo questa retta e non un’altra? Per minimizzare gli errori. La nostra retta ci dice ad esempio che per un reddito di 10.000 abbiamo una spesa di 15.000 mentre il punto è più in alto, 17.000 (grafico 5). L’errore è inevitabile ma kstat minimizza la somma degli errori al quadrato, la somma della distanza dei punti dalla retta.

Analisi della regressione lineare semplice

Noi per un po’ di lezioni saremo focalizzati sulla regressione lineare semplice. Avevamo iniziato a vedere il caso Autorama. Noi dobbiamo supportare ogni teoria con dei numeri.

Dati utilizzabili

• Un altro venditore Rapporto Reddito del cliente / Prezzo dell’auto acquistata
• Area territoriale di riferimento (10000 abitanti) % di persone in ogni fascia di reddito
• Dati nazionali % di persone che comprano una nuova auto in un anno qualsiasi per fascia di reddito

Se noi assumiamo una relazione lineare dell’intera popolazione tra spesa e reddito. Usiamo K-stat. Importo i dati di Autorama. Andiamo su statistics e regression e impostiamo come variabile dipendente il prezzo e come indipendente income. Noi stiamo assumendo che ci sia una relazione lineare tra spesa e reddito in cui abbiamo come coefficienti Bo e B1 che rappresentano rispettivamente l’intercetta e la pendenza della retta. Spesa = βo + β1*reddito.

Calcolo dei coefficienti

Usando i dati ottenuti con K-stat:

• La cella c3, constant è una stima di βo (bo) = 5787,9 + 0,228, stima di β1 (b1).

Bo = intercetta. Noi nell’espressione troviamo solo Bo quando il reddito =0; ci dice il valore medio della spesa (variabile dipendente) quando il reddito è nullo. B1 = coefficiente, pendenza della retta e ci dice di quanto varia la spesa se incrementiamo il reddito di una unità.

Spesa = 5787,9 + 0,228 (1.000) = 8063,32. Vediamo di quanto cambia la spesa se il reddito aumenta di un’unità, questa si deve incrementare esattamente del coefficiente: 5787,9 + 0,228 (1.001) = 8063,52. La differenza tra i due risultati è 8063,52 - 8063,32 = 0,22, il coefficiente angolare.

→ Tipica domanda dello scritto è interpretazione del coefficiente angolare. Abbiamo visto che all’aumentare di un’unità di reddito la spesa aumenta di 0,22.

Prima domanda

La relazione tra reddito e spesa è significativa? Dopo aver fatto la regressione tra reddito e spesa ci interessa vedere l’intervallo in cui varia la stima del coefficiente, il nostro B1. Se il coefficiente è zero si annulla la retta e si annulla la relazione tra reddito e spesa.

Verifica delle ipotesi

Facciamo una verifica di ipotesi:

• H1 : B1 diverso da 0; nell’ipotesi alternativa mettiamo quello che vogliamo trovare.
• Ho : B1 = 0; tutto il resto. Il segno uguale va messo sempre nell’ipotesi nulla.

Il nostro obiettivo è rifiutare la nulla in favore dell’alternativa.

Parentesi sulla verifica di ipotesi:

Esempio: media campionaria di vendite 290,55, abbiamo 35 GL e l’errore standard è 8,84. Noi ci chiediamo se la media della popolazione sia superiore a 275:

1. Creiamo le ipotesi:
   • H1 : μ > 275
   • Ho : μ < o uguale a 275
2. Dopo aver costruito le ipotesi creiamo la statistica test: t=(stimatore – valore H DS valore dello stimatore)/ == 290,55 – 275 / 8,84. Noi otteniamo come valore 1,75.
3. L’area alla destra di 1,75 è il p-value. Il p-value ci dice: se l’ipotesi nulla fosse vera, qual è la probabilità di osservare valori più estremi di quello osservato (statistica test). A noi il p-value vale basso perché ci dice la probabilità di osservare che il campione provenga da una popolazione con la nulla vera (quella che vogliamo rifiutare). Il p-value può essere interpretato come l’errore che noi commettiamo non rifiutando l’ipotesi nulla. Quanto basso dev’essere il p-value per valutare la nulla?
4. Di solito c’è un valore di significatività α. L’errore dev’essere inferiore al massimo sopportabile α di solito uguale 5%.

Se p-value < α rifiutiamo Ho in favore di H1. Nel nostro esempio l’area alla destra di 1,75, l’area rossa è 4,3% < 5%. Per calcolare l’area su excel digitiamo distrib.t mettiamo il nostro valore; i GL; le code (1,75; 35; 1).

Torniamo al caso Autorama.

Risposta alla prima domanda

Il nostro statistica test è b1 – 0 / deviazione standard (s ) = 0,227 / 0,25 = 9,07.

Il p-value è indicato con significante ed è 0 < 5% quindi rifiutiamo Ho. Possiamo star tranquilli che la relazione tra spesa e reddito esiste, il coefficiente non sarà mai uguale a 0. Se il reddito salisse a 60.000 avremmo un valore diverso.

Seconda domanda (slide Autorama)

Se il reddito è 40.000 qual è la spesa media d’auto? La spesa è uguale a 5787,9 + 0,228 (40.000) = 14.888. Questa è la spesa media.

→In realtà anche la spesa è una variabile casuale che si distribuisce come una normale. La seconda assunzione sottostante il modello di regressione quindi è che l’errore standard, la deviazione standard, anche se le media cambiano, dev’essere sempre lo stesso. Noi chiamiamo l’errore come errore standard di regressione: “standard error of regression” (riga 9 excel).

Terza domanda

Se il reddito è 40.000 quale percentuale di persone comprerà una macchina con un prezzo compreso tra 12.000 e 14.000. Se il reddito è 40.000 la spesa media è 14.888:

Dobbiamo calcolare l’area rossa: P (Y < 14.000 ) – P (Y<12.000). Faccio distrib.norm e inserisco: (x = 14.000; media = 14.888; dev standard = 4266,85; 1) = 41,8%. Facciamo poi lo stesso calcolo col valore X = 12.000 e otteniamo = 24,9%.

Poi 41,8% - 24,9% = 16,9%. Questa è l’area. Solo il 16,9% dei clienti è interessato a comprare auto tra 12.000 e 14.000 euro.

Studio degli intervalli di confidenza

Noi vogliamo capire quali sono gli estremi dell’intervallo.

Domanda 4

L’idea è capire qual è l’intervallo di confidenza tale che siamo confidenti al 95% che β1 cada effettivamente in quell’intervallo. Vogliamo determinare gli estremi di tale intervallo.

Noi abbiamo b1, la stima di β1. Gli estremi dell’intervallo sono:

• Il minimo (intervallo sx ) b1 – t * s
• Il massimo (intervallo dx) = b1 + t * s

dove α = livello di significatività = 0,05. E n-2 = le osservazioni meno 2 variabili.

Come si calcola t? t è un punto. Scriviamo +inv.t e inseriamo probabilità e grado di libertà. ciò ci dà il punto alla cui destra si trova metà dell’area inserita quindi inseriamo * 2 = 5%. T = 1,98.

Quindi abbiamo:

• Il minimo (intervallo sx ) b1 – t * s = 0,228 - 1,98 (0,025) = 0,178
• Il massimo (intervallo dx) = b1 + t * s = 0,228 +1,98 (0,025) = 0,277

[0,178; 0,277] Ovviamente maggiore è l’intervallo più i nostri dati perdono potere.

Capitolo 4: caso Newspaper

(fare a casa l’altro caso del capitolo 4).

Valori attuali: 100 oggi = 100. 100 tra un anno: valore attuale = 100/1+r2. 100 tra 2 anni: valore attuale = 100/(1+r). VAN (valore attuale netto) = NPV = 0. VAM = 260.000. questo è il nostro break-even point. Qual è il numero di copie da vendere per avere VAM > 0?

Le nostre vendite giornaliere sono 190.000. Noi vogliamo capire il rapporto tra vendite durante la settimana e vendite domenicali. Noi vogliamo vedere se c’è una relazione tra i 2. Usiamo Kstat dati newspapers. Facciamo la regressione e mettiamo come variabile dipendente Sundey e indipendente Daily.

Abbiamo che le vendite domenicali sono 24,7 + 1,35 (vendite daily) = 24,7 + 1,35 (190) = 281,27. Il nostro break-even point era 260.

Facciamo un test: le vendite domenicali devono essere superiori a 260.000. Creiamo un intervallo di confidenza sul valore previsto medio. Il valore previsto viene indicato nel testo come Y soprassegnato: Ŷ.xŶ 190

Intervallo: (1 – α) = 90%. Noi dobbiamo determinare l’intervallo tale che siamo confidenti al 90% che le vendite domenicali medie di settore, data X = 190, ricadano in tale intervallo.

Com’è l’intervallo di confidenza qui?

• Il minimo (intervallo sx ) Ŷ – t * s