Appunti matematica finanziaria

LEZIONE 1

CHE COS’È LA MATEMATICA FINANZIARIA?

La matematica finanziaria studia l’evoluzione nel tempo dei valori monetari, criteri per la

valutazione razionale di flussi, la cui disponibilità non coincide con l’istante della valutazione.

Il valore di una somma di denaro dovrebbe incrementarsi al passare del tempo

INVESTIMENTO = il flusso monetario in uscita precede quello in entrata

FINANZIAMENTO = il flusso monetario in uscita segue quello in entrata

LE OPERAZIONI FINANZIARIE

Le operazioni finanziarie sono accordi o contratti tra due parti che regolano lo scambio di flussi di

denaro riferite a epoche diverse

CLASSIFICAZIONE:

1. SEMPLICI —> due scadenze/due flussi con segno diverso

2. COMPLESSE —> più flussi di denaro con almeno un’entrata e almeno un’uscita

ASSE DEI TEMPI E GRANDEZZE FONDAMENTALI

ta

O ta Assedetempi

e cn

GRANDEZZE FONDAMENTALI

• C = investimento al tempo t 1

• M = montante che si trova ad un tempo t con t >/= t

2 2 1

ta ta

o INVESTIMENTO

c M

ta ta

O FINANZIAMENTO

M

C

ts.ee

tz dell'OPERAZIONE

dURATn

M C interesse

deii'operazione

• Va = valore attuale in t </= t

1 2

ta ta

o Va c

Va_Des

C sconto compensoanticipatacnecienedatachirichiedeaggittemporamicipatoliadisponibiliroidiurason

alta

che

avrebbedovuto

ricevere

REGIMI O LEGGI FINANZIARIE

• LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE ——> M(t)= F(C,t) con t= t - t

2 1

• LEGGE FINANZIARIA DI ATTUALIZZAZIONE ——> Va(t)= G(C,t) con t= t - t

2 1

capitalizzazione a

capitale interesse MONTANTE

valore capitale

attualizzazione

Attuale sconto

LE LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

POSTULATI:

FIC VC T

tc.IO

V

t

1 t

tre

20

aierini scadenzamassima

tra 20 con

e e e

FIO il

at

tre

t e

2 di è

O nono nono

un

capitale

montante

FIGO Vte

C

3 at Fica

Fica

0

4 E

E

t

Ecascaallora di

se durataetasso

di

parità

a interesse

FIC FIC

E

taCtz

5 te ta

allora

se

FIC FA

6 t

C

t è

paritàdi il

di alcapitale

durata

a direttamente

montante impiegato

proporzionale

impiego

FATTORE DI MONTANTE = montante al tempo t di un capitale iniziale unitario

di MIAcxp.lt

si

C It

hache FA

e

1

se p Fattore MONTANTE

PROPRIETA o.tt

te

V

Fit

1 dormita

2

NOI 1

3 alti

tacer pita la

la deve fits se

e e o

onora

funzione derivabile

anziane

esserenon

decrescente

INTERESSE E SCONTO

INTERESSE ——> I(t) = M(t) - C = C f(t) - C = C (f(t) -1)

SCONTO ——> S=D=C - Va

L’interesse e lo sconto sono in relazione rispettivamente con il capitale iniziale e il montante, un

modo da ottenere rispettivamente il tasso di interesse e il tasso di sconto

M1

il di

1

t I 1

pit interesse

tasso

di 1 di

sconto

tasso

cm

Hemp MIMI

M Circa

t siricavache dit

relazione

daiia 1 a

ftp.t

Quando t=1 si parla di tasso unitario di interesse e di sconto che può essere riferita all’anno, a una

i

qualsiasi frazione o multiplo dell’anno

b

i Ns

i 1

D dis 1

PERIODICITÀ DEL TASSO

Il tasso I’interesse è quindi l’interesse per unità di capitale e consente di capire la rapidità di

crescita del capitale.

Considerando K come il numero di periodi di uguale ampiezza nei quali viene suddiviso l’anno

• K=12 —> tasso mensile i

• K=2 —> tasso semestrale

• K=3 —> tassi quadrimestrale

ESEMPIO 1 vs

Fit at

It

Qual è il significato finanziario del parametro α ? ——> tasso unitario di interesse

di

fiatato

tra siha

di cui

da

te

Fletèrontare Flats unitario

tasso

o

montante per x INTERESSE

ESEMPIO 2

fittate

Ha

Qual è il tasso unitario di interesse?

ESEMPIO 3

Un investitore acquista un titolo ( a cedola nulla) al prezzo di 4566€, lo rivende dopo 7 mesi a

4873€

Calcolare:

• Tasso di interesse e di sconto relativo al periodo di durata dell’operazione

9 7

mesi 6,7

iltkm.j.asjg.gg 0,067236

4566 4873 dlti M

REGIMI FINANZIARI DI CAPITALIZZAZIONE

Un’operazione finanziaria nella quale si ha il differimento di una somma monetaria immediata si

dice capitalizzazione. Dalla capitalizzazione si analizza l’andamento del montante nel corso del

tempo; il tempo è la variabile indipendente e vengono dati il capitale iniziale e il tasso unitario di

cflh

interesse.

Ogni regime di capitalizzazione è descritto da un fattore di montante f(t).

1. FUNZIONI AFFINI ——> f(t)=1+ ht con h>0 ——> regime di capitalizzazione semplice

2. FUNZIONI ESPONENZIALI ——> f(t)= e^ht con h>0 ——> regime di capitalizzazione composta

3. FUNZIONI IPERBOLICHE ——> f(t)= 1/1-ht con h>0——> regime ad interessi anticipati

h

int fitte

1 h O

O Fit

con h 0

con con

Nh Nh Nh

t t t

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSE SEMPLICE

CARATTERISTICHE

• Fattore di montante è una funzione affine del tipo f(t)=1+ht con h>0

• L’interesse maturato al tempo t è direttamente proporzionale al capitale iniziale e al tempo

trascorso, il fattore di proporzionalità è il tasso di interesse ——> I(t)=Cit per cui

M(t)=C+I(t)=C+Cit=C(1+it)

• I(t)=Cit è una retta passante per l’origine

• M(t)=C(1+it) è la retta parallela a I(t) Mit fittasi

Ice

ESEMPIO 1

Si determini il tasso di interesse semplice per il quale il montante fra un anno di €2000 sia di €2110

DATI

C

2000

Mls 1110

ii 5,51

2110.2T 0,055 modo

110 primo

joe

2000 daaii

cit IY modo

0,055

Ile 5 secondo

Mf.se oj

ESEMPIO 2

Quanto occorre affinché ....

DATI

1 i

Craddoppi tasso

al 20

ZGCPCHeccsto.lt

E 5anni

te

1 0,2 I

ESEMPIO 3

Determina il tasso di un sputale fra 10 mesi di un capitale di 72000 €

DATI

C 72.000

74400 t.IO

MAO mesi

i Fit i

74400

Mit son

72000 0,04

74400

i 4

74400

72000 72000

72000

gg

60000

PROBLEMI INVERSI

Partendo dalla definizione di montante M=C(1+it)

• Noti M,i,t come si trova C? C

Matia

• Noti M,C, i come si trova t? s.it

t t.me

atit

M sm io

ESEMPIO 1

9 i

f 0,025

te

6300

5000 e tt 1Oanni.Amesi

t

6300 a

0,025 1 0,025 dO

500011 off 63o.s xofozs 24gg

310 Arnesi

ANNI

10,1 0,4 12 4,8

30 24

0,8 giorni

ESEMPIO 2

430

2 ie

gao i 7

800 1564,50 1 i

1600 71

Me80011

10,072 15

800

1564,5 0,014 1

ti.bz 12

600

ESEMPIO 2 18

mesi 6C

M.it

i i i

716C

5000 L i

1

50005000 fasti 7

stiff Gettasi

II

f

ESEMPIO 3

c

i 6,8 81090

E

Cit 530000

81090

E 0,068.2712

DURATA INTERA E FRAZIONATA

• Il tempo va misurato nella stessa unità in cui è espresso il tasso unitario di interesse

• La durata di un’operazione può essere espressa in mesi, giorni, anni

C impiegato per m con m <12 ——> I= C i (m/12)

◦ C impiegato per g con g < 365 - 360 ——> I= C i (g/365)

(anno civile) (anno commerciale)

◦

ESEMPIO 2

Tizio ha impiegato una certa somma per 2 anni e 8 mesi al tasso i=6% ; l’interesse maturato supera di 500€ l’interesse

prodotto dai 3/5 della stessa somma impiegata per 3 anni e 4 mesi allo stesso tasso di interesse; determina l’importo

delle 2 somme

ta szi

2 srsz.az

6iIa

c.i.ts c 0,0632122

t 4012

3 6122 CI

Isaia cioè c 54.90619012 500

3

1500 soo

0,0632122 fa

perni Esigo.gg

sg

soo

risulta eeqindics.es

che s.izsoo

cj azsoo 7sooe

TASSI VARIABILI NEL TEMPO

ta

O ta I ta.td

is.es Io.ci

c

p Mittettattascicistatcialtatateccatistatiritata

m

ESEMPIO 1

Ho un capitale C=3000€, lo investo a un tasso trimestrale pari a 1,5% per il primo trimestre e poi per i successivi 3

trimestri il tasso passa a 1,6%. Quanto vale il montante ?

C3000 in

1ns.si ia.s.co.il

trimestre

MHT 3ssaE

3

iso.oas o.org

3OOOG

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSE COMPOSTO

CARATTERISTICHE

• Fattore di montante è una funzione esponenziale del tipo f(t)= e^ht con h>0

• Il capitale impiegato incorpora gli interessi maturati (vengono capitalizzati anche gli interessi)

MIO

0 e

3

f 4

f Mistasti Misciatinatiteccatile

i p itts

dati iI

mbt.ci cia

iPMlnI

ClatitIlnl n

C i

Cla

Mlnl

• Non è più proporzionale al tempo

CMlsO

ESEMPIO 1

Calcolare il montante ad interesse composto di un capitale C=340€ al tasso i=6,15% per 10 anni

061577340.12006251761756

CIAO

ESEMPIO 2

Ho un capitale C=3000€, lo investo a un tasso trimestrale pari a 1,3% per 6 mesi; calcolare il montante e l’interesse I

alla scadenza

o.ossfIl2I

MKK3ooo.la D

o.oa3Y

3ooota

CONFRONTO TRA I 2 REGIMI ——> tempi non interi

• Nell’intervallo tra 0-1 la retta del regime

semplice è sempre sopra la curva esponenziale

ciò significa che nell’anno è più conveniente la

crescita lineare

CONVENZIONE ESPONENZIALE

parte

se EIIIEonam

t.n zrn.F

r.n.in

r

clstiln ccatilt

MItt IIH c.cfs.tl

MIH

CONVENZIONE LINEARE

SE t.n

r.MIL

iYl1tiF Cflstilnlstir

sIlH C

MltI

Cls

O TCIstitlstihzcls.it

danno

stiYC

ESEMPIO

E3oooia s3x

Mdoposannietnesie

t.s intraimestri

ijdurn.tn

Misano

1 stadio lineare

ascosa convenzione

Mescolato.cat convenzioneesponenziale

33ao

aza

FATTORE DI MONTANTE NEL REGIME COMPOSTO

M.clstilt.cc ln

d Intaneadi

Mt dove

Ati i di intendere.is

PER

cui Forza interesse

TASSI EQUIVALENTI

DEFINIZIONE

Due tassi si dicono equivalenti quando producono a parità di durata e a parità di capitale

impiegato lo stesso montante ossia gli stessi interessi

Qual è la relazione fra tasso annuo in capitalizzazione semplice e tasso annuo in capitalizzazione

composta? stiate

is.tl

MItkclsi ic.FI

stia daaiis.cat 1

croaciatassicandoiartrostist s

oppure

sapendo

RELAZIONE TRA TASSI EQUIVALENTI IN REGIME SEMPLICE

Sia i il tasso annuo e i il tasso espresso in 1/k frazione di anno. Una durata di capitalizzazione pari

k

a t anni corrisponderà a t = kt periodi

k

ccstitl clstinktldacni

MItl k.in

esempio

t.is

anni ire is

confrontare iisb ia6H

Catia.cat s

lati i3

se s

RELAZIONE TRA TASSI EQUIVALENTI IN REGIME COMPOSTO

Sia i il tasso annuo e i il tasso espresso in 1/k frazione di anno. Una durata di capitalizzazione pari

k

a t anni corrisponderà a t = kt periodi

k

t stint

i in

stin

sti da

C

Mlt C 1

ai s

anche

e

1

esempio

iz.si i i

Dato trova s

annuo sto.org

o.oooaesEMpiO2Datoia iettata

stiateper

i Catia ai

22se trova

TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE k volte all’anno (J )

k

jk K.in tasso intassonominale

deve convertito

che

Fittizio sempre

essere

ESEMPIO 1

Calcolare quale capitale impiegato per 9 anni al tasso del 7,5% annuo convertibile semestralmente genera un

montante di 2500€

E io

7,5 i 0,03 tassoerrenivo

semestrale

ao3asYdaaic

cl

ai 2500 s2ss

per as

BENE

NOTA latini stracciati

i i

Jn i Kin

stiri

Kin

lati.nl s cioè

se innati

s

cioè Skin

TASSI VARIABILI NEL TEMPO IN CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA isfls

is ia

MItt.cl

fa

p

at µ

o

periodo

tasso

applicato

nel

la c

datata

nel

periodo

tasso

applicato

TASSI MEDI

DEFINIZIONE

Tasso costante equivalente alla sequenza dei tassi variabili, che consente quindi di ottenere lo

stesso montante

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

DaMita stistatiatta ii

ta Cistite Aritmetica

MEDIA

tè iate.at

ottengo

CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

pilaf

DA cestiste Cistisi Cia

cisti

aii'Fatisffatirtereste

latina

Mita perni

ottengo

stia stia 1 MEDIA

GEOMETRICA

ESERCIZIO

Dopo aver calcolato in regime di capitalizzazione composta il montante di un capitale C=5000€

Alla fine del quinto anno sapendo che i tassi effettivi annui 2,90% - 3,05% - 3,40% -3,30% si

determini il tasso effettivo annuo equivalente di tutta l’operazione

P

l

C

5000 anni cacao

OSSERVAZIONE SUI TASSI MEDI IN REGIME COMPOSTO

iid.cat

etsenis

DA

Isaia tata

en È

zia esta

di a

conseguenza

totale

è

siria Estate

dacci media

aritmetica

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSE ANTICIPATO

CARATTERISTICHE

• In questo regime l’interesse è chiamato sconto

• Fattore di montante è una funzione iperolica del tipo f(t)= 1/(1-dt)

C iniziare

capita

0 e

f 4

f P int

Macapitaredisponibile

i

i p detassodisconto

1 I

Mt M.ec de

s.de

s.ae i

L vddaaiicsI d

t

M iltt.PIH.se dt

s.sIjft

a a.at

de ae sia

C Dit

MIA

Dit CMit

tdltt.dmu.tt

MIA il

dlti Mit at

de i

MINA dim

e proprio

perni fattore

ottengo

tifa

1 di dica

Oc

Per Fit DI verificola

che

verificare proprietà

sia MONTANTE

FATTORE

s.ae

V te

1 fa

2 Plots

3 FAI o j.to f.aer

dei

LEGAMETRA

i stiamo d

D 1

M 1 ne È

E soglia

c sii

m

i

1 L

E

d 1 1

11

a

M ad

CONFRONTO TRA I 3 REGIMI

Rcs

R.CA

Rc.c etc

PER 0 Ma

s Mca

Mos

e PER Mac

t e Mca

1 Mas

FORZA DI INTERESSE (intensità istantanea d’interesse)

Il a.fm t

t.t at

MaI

il test Miti t.at

P Fit

t MIA Fit

il

di t Fit

test L

P

INTERESSE test

INTENSITA at NH

at d

il

di t

figo ME

INTERESSE t.tt at con

INTENSITA dirrerenziabile

ISTANTANEA fa

se

di at

di

crescita nell'intervallo

di considerato

interesse

rapidità tempo

DAL REGIME FINANZIARIO ALLA FORZA DI INTERESSE

REGIME

SEMPLICE dal e

tempo

dipende

JLH.FI sti

ln dal

REGIMEcomposto JLH.fiIt tempo

nondipende

FAI d dal

REGIMEanticipato JLH.fiIt e

tempo

dipende

ott

a

FAI

DALLA FORZA DI INTERESSE AL REGIME FINANZIARIO

JTsds

dsjf

Sls lnr It

lnf f

flnNsft

fdsdac.no

Isis pit

da e

SCINDIBILITÀ

Consideriamo la possibilità di interrompere anticipatamente l’operazione di investimento e

immediatamente riprenderlo alle stesse condizioni alla stessa durata valutandone gli e finanziari

Ma b

i r

to t

C Mi Map

i

i r

la

to t

ESEMPIO (regime composto)

i

C E2

3000 1,2 MRI os2f

3O72

3oools.io

as2t 73060,2A

2sM

s 3oooiso.os2

f Mo M zelato 3072

121.3060 32

2

to 2 MKL.mil

sVsciNdiBilEMl2KM

ESEMPIO (regime semplice)

MHb SCINDIBILE

NON

1t2B

ESEMPIO (regime anticipato)

MI SCINDIBILE

NON

MIL 3

MINUS

DEFINIZIONE

Diciamo che una legge è scindibile se il montante di un capitale C , impiegato fino a un t ad un tasso

assegnato i, non varia se l’impiego viene interrotto in t con 0<t<1 e il montante ottenuto in t v