Appunti lezioni Econometria finanziaria, parte1

HIGHER ORDER AR PROCESSES

“P” è un coefficiente che ci dice che “rho ” si riferisce al collegamento che c’è tra il valore dellapdisoccupazione “p” lag fa e il valore presente (p può essere 3 anni fa ad esempio). Il termine di errore resta sempre un termine di tipo white noise. Quindi la epsilon è IID.

Quando si ha a che fare con i processi auto regressivi di ordine superiore al primo spesso c’è lanecessità di rendere trattabile la formula e quindi utilizziamo un operatore che si chiama lag eviene rappresentato da “L”.

Qual è la proprietà di L? Che se applicato ad una variabile ne restituisce il valore ritardato di un lag. Possiamo adesso scrivere AR(p) come:

“L” è un operatore ritardo non è una variabile quindi per studiare le caratteristiche di questooperatore ritardo si usa rimpiazzare L con la variabile z per capire quali siano le caratteristiche.

cherendono questa serie stazionaria. Prima bastava guardare “rho” per vedere la stazionarietà. Con lag di ordine maggiore di 1 non basta. Dobbiamo guardare come si evolve l’intero polinomio. Quindi possiamo definire “rho” in funzione di z:

Stiamo parlando di un processo autoregressivo di ordine “p”, dato che ho più di un lag, sotto quali condizioni il processo è stazionario? E’ stazionario se il processo ha radici esterne al cerchio unitario ossia maggiore strettamente di 1.

Prima di capire cosa siano queste radici di questo polinomio analizziamo il processo autoregressivo nel momento in cui andiamo ad inserire una costante.

Il processo autoregressivo di ordine “p” può essere esteso: l’autoregressivo di ordine 1 è un caso particolare in cui p=1, epsilon è il white noise. Ipotizziamo che il processo sia stazionario in covarianza (ossia la varianza e le autocovarianze non dipendono da t).

chiederci quando esistono questi denominatori.

Quando esistono questi denominatori? Se è 0 non esiste. Quindi dovremmo domandarci in che rapporto stanno "rho" e "rho" nella eq di "D" per far si che non risulti 0.

Altro aspetto che dobbiamo sapere dalla 35 è che le autocorrelazioni non sono "rho" e "rho".

Nella AR(1) "Rho" invece era così. Nella correlazione di Yule invece sono diverse.

Se moltiplichiamo entrambi i lati dell'eq 31 per "u" per i ≥ 2 e prendiamo le aspettative t-1 otteniamo formula generica che ci permette di trovare tutte le autocorrelazioni: 14

Abbiamo detto che dobbiamo essere sicuri che esistano queste autocorrelazioni e per farlo dobbiamo assicurarci che "D" sia diverso da 0. Questa condizione si riflette esattamente in questa matrice 3x3 e occorre sempre (dato che stiamo parlando di varianze e le autocorrelazioni dipendono dalle varianze).

assicurarci che le radici del polinomio caratteristico associate al modello autoregressivo siano tutte più grandi di 1 in valore assoluto. Il polinomio è quello della (26) fatto da "p" termini. Mentre in "L" non ha senso di parlare di radici poiché è un lag operator, ha senso per una variabile generica "z" di ordine "p" esattamente come avevo di ordine "p" il polinomio il "L". Questo polinomio scritto nella forma 26 deve avere "p" radici tutte maggiori di 1 in valore assoluto. Questa è la conclusione pratica che ci serve. Potremmo anche avere anche radici di tipo non definito nell'insieme di numeri reali. I numeri immaginari contengono anche la radice quadrata di meno 1. Anche se avessimo delle radici che cadono nei numeri complessi dovremmo assicurarci che sia una radice in valore assoluto maggiore di uno che ci garantisce che siamo di fronte ad un processo.

mobile per rappresentare non la variabile ma il suo quadrato, quindi per andare a vedere la volatilità.

Abbiamo quindi la formula 37 dove “u ” quindi è una media ponderata di successivi disturbi “epsilon ”.

t(COV E VAR DEMO MIN 1:28) 16MA(q),

Il processo MA (1) può esser esteso da MA(1) a in questo caso aumentano i coefficienti alfa e aumenta la lunghezza del segmento di shock passato che vado a considerare:

Utilizzando il lag operator possiamo definire:

Cioè L mi permette di esprimere tutto in funzione di epsilon per raccogliere l’epsilon e avere una notazione più compatta.

Sotto quali condizioni è stazionario il processo MA1 e MAq?

Il processo MA è sempre stazionario per qualsiasi valore di alfa 1. Questo perché i white noise del processo MA sono stazionari e quindi per definizione anche il processo MA lo è.

È un processo che dipende da due white noise, il white noise è stazionario per definizione.

Quindiu dipende da epsilon t più alfa1 epsilon t-1:La stessa cosa vale per MA(Q), cioè per definizione sempre stazionario:Nell’autoregressione la differenza che abbiamo è che u dipendeva da u cioè dipendeva da set t-1stesso cioè ho un effetto di memoria di accumulo. Nel caso di AR1 se rho=1 allora u =u + shockt t-1quindi vado ad accumulare tutti gli schok passati e aggiungerne sempre uno nuovo nondimenticando quelli vecchi.Ho perciò bisogno di imporre la condizione di rho< 1 per smorzare questo problema, cioè dopo unpo' perdo memoria.Nel MA(1) non ho sul lato dx qualcosa legato alla storia di u ma semplicemente legato al massimotad un lag di epsilon o a q lag di epsilon. 17OPERAZIONEE’ possibile passare da un processo MA ad un processo autoregressivo attraverso l’DI INVERSIONE: si può fare solo se il polinomio caratteristico associato rispetta le condizioniviste per un processo autoregressivo cioè

MA(q) è invertibile se il polinomio caratteristico associato all'MA(q) presenta radici esterne al cerchio unitario. Un processo MA è sempre stazionario ma non è detto sia sempre invertibile. Un processo autoregressivo AR se è stazionario è sempre invertibile. Le autocorrelazioni possono essere calcolate dividendo ogni espressione della 41 per la 40 (normalizziamo) e quindi otteniamo l'autocorrelazione di ordine j. Dovremmo ipotizzare che l'MA(q) sia di ordine infinito e quindi l'espressione si semplifica: 18. Qualsiasi processo autoregressivo può essere rappresentato come MA(INFINITO) se stazionario. CONDIZIONE DI INVERTIBILITÀ DI UN PROCESSO AUTOREGRESSIVO. In generale se noi scriviamo un processo autoregressivo di ordine p: Allora esiste una rappresentazione a media mobile di ordine infinito MA(inf). Qual è il passaggio tra la 44 e la 45? Andiamo a dividere per