Appunti lezioni Econometria finanziaria, parte1

Econometria finanziaria

Lezione 11/09/20

Regression models

I modelli di regressione sono una realtà virtuale. Che cosa è il DGP? Data generating process, ossia il meccanismo che genera i dati del nostro modello. Come si arriva a questo DGP? Analizziamo regressione: sul lato sx abbiamo la variabile dipendente e sulla dx le variabili indipendenti. “T” è l’indice, indica l’istante temporale. “Y” è la variabile dipendente. “X” è la variabile esogena indipendente (o regressore).

tß1 e ß2 sono due coefficienti costanti e sconosciuti a noi ma stimabili. Modello semplice perché abbiamo solo 1 regressore. “U” è il termine di errore o disturbo che è appunto una variabile casuale che rappresenta l’imprevedibilità dei comportamenti umani. Il termine di errore deve avere una caratteristica particolare: valore atteso pari a 0 (E(u)=0).

La variabile casuale X può essere di tipo discreto (se assume valori finiti 1 2 3 4) oppure continua (valori infiniti, definiti all’interno di un sottoinsieme dei numeri reali). Ci sono poi degli eventi a cui vogliamo assegnare probabilità e in questo modo andiamo a selezionare e caratterizzare le nostre variabili casuali.

Uno strumento molto importante per definire una variabile casuale, ad esempio nel continuo, è la funzione di distribuzione cumulata: ci dice qual è la probabilità che la variabile casuale che stiamo analizzando assuma un valore ≤ a un particolare valore a cui siamo interessati. (esempio: qual è la probabilità che la normale standard assuma un valore negativo? Pr(X ≤ 0)

• Tutte le probabilità sono comprese tra 0 e 1
• Il set nullo ha probabilità 0 e il set pieno ha probabilità 1
• La probabilità di due eventi disgiunti è la somma delle probabilità di ogni singolo evento.

Poiché “u” è una variabile casuale allora anche “y” lo è.

Tre proprietà della distribuzione cumulata di probabilità

Funzione di densità: Standard Normal. Relazione tra una funzione di densità Pdf e la cumulata cds: le due funzioni devono essere collegate perché una è la derivata dell’altra. Esistono poi delle variabili casuali di tipo discreto ma sono meno frequenti nei modelli di regressione.

Momenti di una distribuzione

È il valore atteso della distribuzione stessa. Ed il valore atteso è la tendenza ad assumere un determinato valore se l’esperimento è ripetuto più volte. Valore che tendenzialmente assumerà quella variabile casuale. Una volta che la variabile casuale si è manifestata noi lo abbiamo quel valore. Il disturbo non lo osserviamo invece.

Caso di valore atteso con distribuzione di probabilità discreta: La funzione dei momenti però è generalizzabile, quindi anche momenti di ordine superiore al primo. Viene definito momento non centrato. Il k rappresenta il momento che stiamo rappresentando. Talvolta è più utile lavorare con i momenti centrati perché cambia che vado a sottrarre il valore atteso di quella distribuzione dalla variabile che stavo considerando.

Secondo momento centrato: la varianza

Che cos’è? Momenti di una distribuzione di una popolazione. La stima della standard dev è lo std error. La kurtosis ci dice quanta quantità di probabilità è presente nelle code della distribuzione. Perché è importante sapere questo? Perché ci aiuta a capire quanto sia possibile osservare outliers ossia valori anomali. Ad esempio: nei rendimenti di un titolo può essere maggiormente presente la probabilità di avere valori estremi rispetto ad altri titoli.

È misurata = 3 allora normale se > code spesse. Se sostituiamo al posto di sigma mettiamo 1 e di µ mettiamo 0 allora troviamo la densità che abbiamo visto prima. Che cosa è importante sottolineare? Che la varianza deve essere un numero positivo ed è per questo che la troviamo indicata con sigma al quadrato.

Distribuzioni multivariate

Spesso non siamo interessati ad una singola variabile casuale ma a più variabili casuali analizzate congiuntamente. Quindi ci interessa sapere come si comportano le variabili casuali congiuntamente. Che cosa ci da la funzione cumulata di distribuzione? Ci dice la probabilità che una variabile assuma un determinato valore e l’altra un altro: La formula si complica:

Se le due variabili sono completamente scollegate, indipendenti tra di loro, allora la distribuzione di probabilità congiunta può essere spezzata in due, fattorizzata, dove queste parti hanno come nome funzione marginale di distribuzione:

Probabilità condizionata

Se io so che è successo un determinato evento che cosa succede all’altra variabile casuale? Cioè se io so di una posso sapere dell’altra. Esempio: se ci sono i lampi, cielo grigio, la probabilità che piova è alta. Quindi la variabile pioggia è influenzata dal fatto che so quelle informazioni.

Legge delle aspettative iterate

Togliamo la parte deterministica rispetto all’aspettativa condizionale:

Specificazione del modello di regressione

Per capire a cosa serve il modello di regressione dobbiamo guardare la specificazione. Cioè, quando noi specifichiamo il modello di regressioni mettiamo le variabili rilevanti per spiegare il comportamento della variabile dipendente. Ma nel concreto che cosa stiamo guardando? Stiamo guardando un’aspettativa condizionata, cioè stiamo andando a dire: assumiamo che il valore atteso di “u” dato “x” sia 0 questo si traduce:

Cioè quando analizziamo il modello di regressione, i coefficienti che mettiamo nella regressione cosa ci dicono? Ci dicono come si comporta la “y” condizionatamente ai valori assunti dalla “x”. Quindi è un valore atteso, un comportamento medio che noi ci possiamo attendere sia assunto dalla variabile “y” dato un determinato atteggiamento della variabile “x”. Implicitamente anche 0. Questo significa che la “u” deve necessariamente essere indipendente dal regressore.

Informazioni sul set

Quando noi condizioniamo come abbiamo fatto nell’espressione 15, condizioniamo rispetto al set informativo ossia dobbiamo cercare di inserire nel nostro modello variabili esogene rispetto al modello (valore determinato fuori dal modello). Quando noi facciamo la regressione dobbiamo condizionare rispetto a variabili esterne al modello perché se per assurdo x è endogena (x trae il suo valore dal modello che abbiamo, quindi dipende da y ma anche y dipende da x, quindi non si capisce chi dipende da chi) è importante quindi condizionare rispetto a variabili esogene.

Nell’esempio legato alla funzione consumo: se il consumo dipende dal reddito e il reddito dipende dal consumo faremmo confusione. Invece la funzione del consumo indica in modo preciso che il consumo è la variabile dipendente e il reddito indipendente.

Error terms

Che caratteristiche ha? È necessario specificarle per determinare insieme ai parametri il DGP.

• Ha media 0 (altrimenti non c’è la identificabilità del modello).
• Ogni “u” è indipendente dalle altre “u” (u1 è indipendente da u2..).
• Tutte distribuite nello stesso modo, stessa density. In questo caso (ipotesi forte) il termine di errore viene definito IID (indipendenza e tutte la stessa distribuzione). Questa ipotesi cade però quando si ha a che fare con le serie storiche, perché i termini di errore o le osservazioni sono altamente correlate le une con le altre, in questo caso dire che sono indipendenti è errato. Quindi se i dati sono in serie storica si parla di correlazione seriale tra le osservazioni. Quando c’è correlazione seriale non possiamo più dire che i termini di errore sono IID perché cade l’indipendenza.
• Alcuni termini di errore delle volte hanno varianza maggiore rispetto agli altri (eteroschedasticità) quindi anche in questo caso non sono IID perché cade la I di IDENTITY.

Nelle serie storiche che andremo a studiare troveremo situazioni in cui si presenta sia eteroschedasticità che correlazione seriale. In questo caso la matrice varianza-covarianza viene chiamata HAC.

Interpretazione dei coefficienti

I coefficienti che stimiamo rappresentano l’impatto che si ha sulla variabile dipendente data una minima variazione sulla variabile indipendente. Il beta 2 = variazione che si ha su “y” data una piccola variazione di “x”. Se abbiamo log y e log x allora in quel caso il beta è l’elasticità. Altrimenti no è una semplice variazione indotta.

Simulare un modello econometrico

Come facciamo?

• Fissiamo una dimensione del campione, n
• Scegliamo il valore di due parametri beta1 e beta 2
• Otteniamo i valori della x.
• Calcoliamo i successivi valori della funzione di regressione beta1+beta2xt
• Scegliamo una distribuzione di probabilità per il termine di errore.
• Utilizziamo un generatore di numeri casuali, n, per i termini di errore ut.
• Infine, mettiamo tutto insieme e otteniamo la nostra variabile dipendente yt.

Come si traduce questo in R?

La prima riga vuol dire che il campione prende 1000. Creiamo la “x” con variabile gaussiana ossia estraiamo i valori della x dalla normale con il codice “rnorm”. Dobbiamo ora generare le “u” e infine mettere tutto insieme, come? Dobbiamo prima creare un vettore y dichiarandolo da 1 a 1000 e in ciascuno di questi cassetti metto 0. Ultimo passaggio: ciclo for per i che va da 1 a 1000. Quindi in automatico incrementa di 1 tutto quello che troviamo nelle graffe e che ha all’interno una “i”, fino ad arrivare a 1000. “Eps” è la “u”, il termine di errore.

Come si traduce questo in Python? “Import” vuol dire importare la libreria “numpy” (ossia una library che permette di effettuare calcoli di algebra lineare) come “np”. “Np” lo inventiamo. Cioè tutte le volte che python trova all’inizio la scritta “np” sa che si riferisce alla library numpy. Genero matrice “x” fatta da tutti 1 (sono due vettori: 100 orizzontale e 2 verticale) Riempiamo la “x” con ciclo for in un range da 1 a 100. A differenza di R si parte da 0. Quindi il primo vettore è di 1 che vuol dire una costante. La seconda cassettiera contiene le “x” vere e proprie che le va ad inserire generando numeri casuali nell’intervallo -3,12. Print (x) ci fa vedere il contenuto di x, cioè se corrisponde effettivamente da una matrice.

Vettore “y” fatto da cento 0. Beta _1=0,8 Beta_2=3 Mu=0 Sigma=1 U=… Matrice [i,0]→Vettore Y[i]

Lezione 18/09/20

Serie storiche

Giustificazione al modello di regressione con le serie storiche: La serie storica è una successione di variabili casuali indicizzata dal tempo. Quindi tante osservazioni ognuna delle quali è indicizzata dal tempo e tutte sono equi spaziate, cioè tutti con stessi dati di frequenza (annuale, giornaliera ecc..) cioè bisogna rispettare sempre la stessa cadenza della prima osservazione.

Due serie storiche del tutto generali: tasso di crescita reale degli USA e serie storica del tasso di disoccupazione. La caratteristica principale delle serie storiche che la differenzia dal modello di regressione classico è la forte dipendenza di una osservazione con quella che la precede (correlazione tra osservazione precedente e quella successiva). Mentre una delle caratteristiche del modello lineare classico legata alle ipotesi sul termine di errore è che questo sia IID, e quindi esclude la possibilità di avere dati in forma di serie storica perché l’indipendenza degli errori implicherebbe che le osservazioni tra un istante e l’altro siano indipendenti ma non è vero perché c’è correlazione.

Esempio di regressione del tasso di disoccupazione rispetto al tasso di disoccupazione in un istante precedente: correlazione molto alta. Quindi trattare questi dati come se fossero la manifestazione di variabili causali indipendenti le une dalle altre è un errore.

Autoregressive (AR) model

Quindi per tenere conto di questa autocorrelazione introduciamo i modelli autoregressivi:

Per t=1, …, T and Questi modelli non hanno a che vedere con le funzioni esplicative del modello di regressione, cioè non spiega quali sono i fattori rilevanti per la variazione della variabile indipendente ma l’unica finalità di questi modelli è prevedere.

Quindi abbiamo un modello dove “u” dipende da un termine di disturbo “Epsilon” che è IID, ossia c’è omoschedasticità e non c’è correlazione seriale. Viene definito white noise. E completa il modello una parte deterministica dove il valore corrente della “u” viene fatto dipendere dal suo valore immediatamente precedente grazie ad un valore “rho”. Tale “rho” dobbiamo ipotizzare essere in valore assoluto <1. Questo modello autoregressivo è di ordine 1 perché abbiamo un lag nella dx dell’equazione, il numero uno indica il numero max di lag presenti. (AR(1))

La condizione di “rho” in valore assoluto < 1 è chiamata condizione di stazionarietà: caratteristica che ipotizziamo avere per la serie storica perché se così non fosse l’apparato tradizionale del modello di regressione non funzionerebbe. La stazionarietà significa che, applicandola alla “u”, significa avere una aspettativa incondizionata sulla “u” e una varianza incondizionata sulla “u”, che siano esistenti, quindi definite e che sia indipendenti dal tempo, cioè nell’istante in cui stiamo osservando.

Quindi se io calcolo il valore atteso dell’equazione 18 questa dipende dal momento specifico in cui io mi sto mettendo a fare il calcolo? Se dipende allora la serie non è stazionaria e non posso maneggiarla perché è troppo arbitrario il punto in cui io mi metto ad analizzare la serie e questo poi ha un’incidenza sul calcolo del valore atteso o della varianza della seria affinché io possa trattarla statisticamente.

Quindi la stazionarietà ci dice che se la serie storica è partita talmente tanto tempo fa che ormai si è stabilizzata e che quindi in qualsiasi istante io la osservi osserverò caratteristiche stabili (media e varianza). Questo mi può permettere di prevederla.

Qual è l’ipotesi contraria? Immaginiamo di osservare le vendite di automobili in agosto e faccio la previsione su settembre. Poi faccio la stessa cosa a gennaio. Ossia osservo a gennaio e faccio previsione a febbraio. I risultati sono completamente diversi poiché se prendo i dati di agosto magari non si immatricolano molte macchine perché ci sono le ferie. O consideriamo se avessimo osservato il periodo di lockdown dove non si poteva uscire. Quindi la previsione non è corretta. Se uno fa l’analisi in questo modo non prevede bene perché la serie non è stazionaria e non posso usare lo strumento del valore atteso perché è tutto influenzato dal momento in cui faccio previsione.

Quindi prima di effettuare una analisi dobbiamo essere sicuri che la serie non abbia effetti di stagionalità. Ma la stagionalità non è l’unica fonte di non stazionarietà. Ad esempio, gli effetti di stagionalità: le vendite a dicembre aumentano per Natale a gennaio no. Quindi è fondamentale avere dei dati che rispettano questa condizione di stazionarietà.

Come si traduce la condizione di stazionarietà nel modello auto regressivo? Ipotizzando valore assoluto di “rho”< di 1. Per essere precisi la definizione di stazionarietà prevede che il valore atteso, la varianza, le covarianze, (autocovarianze nel caso di serie storiche) siano tutte indipendenti da t.

Come si comporta la serie nel tempo? La serie nel tempo, al trascorrere di t, si presenta come segue: Prendiamo “u” come nella espressione 18: “u” sarà uguale a “rhou + “epsilon”

Moltiplichiamo per “rho” quel “u” trovato lo sostituiamo e scopriamo di avere una somma infinita in base a quanto è distante u=0 e di disturbi. Otteniamo quindi la successione dell’espressione. Se noi prendiamo l’aspettativa di questa serie = 0.

Per calcolare la varianza del processo autoregressivo di ordine unico il procedimento è analogo: per sostituzione: dobbiamo calcolare il valore atteso di questa quantità al quadrato: Grazie all’ipotesi di stazionarietà la varianza non dipende dal tempo quindi abbiamo una serie geometrica convergente. Quindi fino ai tre punti abbiamo la serie geometrica convergente, per i prodotti incrociati abbiamo l’ipotesi di essere White noise che ci dice che “epsilon” è indipendente da “epsilon” quindi tutti i prodotto incrociati sono tutti uguali a 0. Quindi rimane:

Autocovarianza

Autocovarianza della serie storica: Abbiamo una sola serie storica calcolata in più istanti temporali e questo ci permette di calcolare la covarianza della serie storica al suo interno. Quindi qual è la covarianza di “u” e “u”?