Appunti lezioni Econometria finanziaria, parte 2

Lezione 16/10/2020

Esercitazione 5: La relazione consumo reddito

Bootstrap methods

La CDF ci dice la probabilità di avere un valore inferiore ad un determinato livello. Quando facciamo un test vediamo la CDF e andiamo a vedere con i valori critici a mettere una determinata area sotto una coda della distribuzione, nel caso del test a due code mettiamo una parte nella coda di destra e una nella coda di sinistra. Se il nostro test cade nell’area di rigetto (ad esempio con un valore critico di 1.96 in valore assoluto vuol dire di avere una statistica t < -1.96 o una statistica t di +1.96. Cioè se cade nelle code della distribuzione rigettiamo l’ipotesi nulla. Viceversa, se cade nell’area celeste non rigettiamo. Solitamente si mette 2.5% sulle code, 5% su una coda.

Valore critico

Lo si ottiene invertendo la funzione cumulata. Come leggo la funzione cumulata: guardo l'asse x, prendo +2 e vedo che corrisponde ad una probabilità di circa il 97%, sapendo che l’area totale è 1. Se devo leggere un valore critico allora devo fare l’opposto. Ad esempio voglio fare un test al 5%, quindi alfa è 5% applico formula: Sulle x abbiamo massa di probabilità, vado a cercare 97.5 e vado a vedere sulla curva invertita della cumulata il valore critico: ho invertito la funzione. Vedo che se voglio fare un test al 5% prenderà esattamente 2. Tuttavia il valore critico non dà molte informazioni, potrebbe essere più opportuno usare il:

P-value per test a due code

Ci dice qual è il livello minimo per cui noi rigettiamo la nulla. Andiamo a costruire il p-value come? Mettiamo il valore della statistica in valore assoluto, prendiamo la cumulata nel punto del nostro test statistico (φ). 1-φ Questo vuol dire che possiamo rigettare la nulla ma al 30%, significa che le evidenze contro l’ipotesi nulla sono deboli.

The Empirical Distribution Function

La legge dei grandi numeri ci permette di capire come si applica. Cos’è la legge dei grandi numeri? È un teorema che ci dice sotto quali condizioni possiamo sostituire un valore atteso con la media campionaria di una variabile, stimandolo consistentemente con la media campionaria quando la dimensione del campione tende a infinito. Quindi, se ho una variabile casuale fatta da n osservazioni, ne prendo la somma, divido per n, ho la media, sotto quali condizioni x^- converge a mu?

Questo può essere stimato attraverso questa media se ci sono determinate condizioni:

• Varianza della variabile casuale x sia finita
• La media sia definita

Sotto queste condizioni al crescere della dimensione del campione ad infinito x^- tende a mu. Questa legge è molto importante perché viene utilizzato nell’EDF. Cos’è EDF? È una versione empirica della distribuzione cumulata teorica vista prima (cerchio rosa), cioè ci dice che se noi abbiamo un campione che tende all’infinito come dimensione di osservazioni che vengono da una distribuzione di probabilità, ad esempio gaussiana, siamo in grado di costruire una cumulata con i dati del nostro campione che va pian piano a sovrapporsi alla cumulata teorica gaussiana. Difatti andiamo a pesare ogni osservazione 1/n (mettiamo un peso su ciascuna osservazione) e andiamo a contare quante osservazioni sono più piccole di una determinata soglia che decidiamo. Cioè nella cumulata di una distribuzione noi guardiamo quanto è la probabilità di avere un numero <1 data un std normal (prendo 1 lo proietto sopra e vedo che è l’80% circa), quindi noi costruiamo una successione di x, che possono essere le stesse di una cumulata, e andiamo a contare quante x presenti nel nostro campione sono inferiori a -1, 1, 2…

Questa è la cumulative distribution function: Cioè è una funzione I (sta per indicator function) che assume valore 1 se xt (dato presente nel nostro campione) < di una scala che ci siamo creati a priori (che può essere quella plottata prima per la CDF). La prima cosa che dobbiamo fare nel nostro campione è quello di ordinare le osservazioni dal valore più piccolo a quello più grande e poi contiamo, mettiamo accanto una scala e vediamo nel nostro campione se ci sono numeri più piccoli, in questo modo andiamo a costruire una cumulata empirica.

Grazie al teorema fondamentale della statistica (LGN) siamo in grado di dire che: L’empirica cumulata va a convergere alla cumulata teoria per n→ infinito.

Esempio

Abbiamo un campione di 25 osservazioni estratte da una gaussiana, sono stati messi in ordine e hanno contato quanti stanno sotto -1.5, -1, -0.5,… ponderando tutto in modo tale che la somma faccia 1. Mettiamo per ognuno pesa 1/n così quando facciamo la somma dobbiamo trovare 1 perché è una cumulata. Quello che ci dice la legge dei grandi numeri e l’EDF è che incrementando la dimensione del campione, i punti rossi (linea rossa è quella che ci stiamo costruendo, empirical) diventano sempre più stretti verso la linea nera (CDF di una std normale) e infatti quando arriviamo a n=200 siamo sovrapposti alla CDF.

Ma oltre alla gaussiana, funziona per altre distribuzioni di probabilità? Sì. Se infatti utilizzassimo una uniform (distribuzione uniforme) ossia numeri casuali estratti con una uniforme tra -2 e 2. La uniform dà la possibilità di avere un numero compreso nel nostro caso tra -2 e 2 e la caratteristica di avere ciascun numero infinito compreso tra -2 e 2 è esattamente la stessa, cioè è uniformemente distribuita la probabilità tra -2 e 2. Quindi non è sorprendente che abbiamo una retta a livello di distribuzione cumulata inclinata in questo modo.

Se avessimo una distribuzione di probabilità sconosciuta, possiamo sfruttare l’EDF che ci dice che qualsiasi sia la distribuzione di probabilità (ad esempio delle stat t) siamo in grado di costruire una empirica CDF di quella distribuzione t e questa al crescere del campione va esattamente a collocarsi nella distribuzione vera (che può essere una t no).

Come possiamo sfruttare questo CDF per le nostre analisi. Una prima cosa che possiamo fare è di immaginare con una simulazione di andare a generare un campione di dati in cui mettiamo i disturbi esattamente gaussiani o normali, con media 0 e varianza sigma quadro. Simuliamo la y (scegliendo a nostro piacimento le x e beta) in modo da calcolare y e poi regrediamo y su x2,3,4, stimiamo beta1,2,3,4 e avremmo poi dei residui della regressione. Questi residui come si distribuiscono? Come una gaussiana nel nostro caso. Come l’EDF ce li rappresenta? Sono esattamente sovrapposti alla distribuzione teorica cumulata reale dei nostri disturbi.

Quindi abbiamo visto che anche applicandolo ai residui della regressione siamo in grado di ricostruirci una cumulata dei veri disturbi che di solito non conosciamo. Questa linea rossa ci permette di ricostruire il p-value. (come facevamo prima sono che al posto di φ avremo φ^, cioè l’empirica).

Simuliamo p-value

Vediamo come possiamo utilizzare il bootstrap: Supponiamo di avere una statistica τ^. Immaginiamo di voler testare una hp0= β2=0. Cosa avremmo fatto? β2^/stand error= ad un numero >2 allora rigettiamo hp0. Quel 2 lo abbiamo preso dalla teorica std normal, perché sappiamo che la statistica t in grandi campioni si distribuisce approssimativamente come una std normal.

Quella statistica t ha una sua cumulata vera che non necessariamente è la std normal almeno in campioni di dimensioni ridotte. Quindi dobbiamo trovare il modo di generare tante statistiche t fake, con una caratteristica di soddisfare l’HP0. Quindi creiamo una serie di 1000 fake t. avremo quindi una distribuzione di valori della t tutte che soddisfino hp0. Quella distribuzione la possiamo utilizzare come cumulata. Cioè quella distribuzione di fake t ha in comune il fatto di soddisfare l’hp0 e la seconda caratteristica è che l’EDF al crescere della dimensione del campione va a convergere verso la vera cumulative distribution function sotto l’hp0.

Il bootstrap vuol dire andare a creare queste mille t false. False perché non sono quelle osservate ma vengono create dal pc per permetterci di fare inferenza e permetterci di calcolare il p-value. Il p-value quindi sarà calcolato come:

(1- L’EDF della nostra statistica creata artificialmente)

Questa è l’EDF della nostra statistica (per stimare p value): Dove B= numero campioni di dimensione n (abbiamo la scala di valori e contiamo quante volte la statistica fake è più piccola di questa scala di valori e quindi costruiamo una cumulata.) La stima del true P value diventerà: (τ*= statistica boostrappata, τ= statistica originale) Se τ* è un numero grande di volte più grande del τ allora ττ* non è estremo rispetto alla distribuzione di probabilità e quindi non rigettiamo. Se τ* è un numero piccolo di volte più grande del τ allora vuol dire che poche volte la statistica sotto hp0 è più estrema di τ quindi siamo portati ad avere un p value piccolo e rigettiamo la nulla.

Se il p-value lo vogliamo calcolare per un test a due code: Prendiamo il valore assoluto della statistica boostrappata > di quella originale Se la statistica non ha una distribuzione simmetrica, questo p-value empirico diventa:

Come si costruisce la metodologia Bootstrap?

Abbiamo due modelli:

• Un modello sotto hp0 = γ = 0
• Un modello sotto hpalternativa= γ diverso da 0

Se volessimo utilizzare un approccio tradizionale stimeremmo questo modello t test su gamma e a quel punto possiamo dire se accettiamo o meno l’hp0. Un F test invece lo avremmo potuto realizzare prendendo la somma dei residui a quadrato del modello ristretto e non, faccio la differenza / somma dei residui al quadrato del modello non ristretto il tutto scalato con R/n-k.

Vediamo come possiamo invece utilizzare il bootstrap parametrico: L’idea è stimare il modello 9, facciamo un t test e mettiamo da parte il valore della statistica t su questo coefficiente gamma, poi stimiamo il modello ristretto (10) che per definizione soddisfa l’hp che gamma=0. Quindi prendiamo i residui di questo modello e stimiamo la varianza dei disturbi sotto hp0. Quindi nel modello 10 andiamo a stimare σ^2 con lo stimatore solito s^2. Stimando il modello 10 otteniamo:

Queste informazioni ci permettono di calcolare un bootstrap DGP cioè un altro campione dei dati in questo modo: prendiamo gli errori stimati, ipotizziamo che abbiano una distribuzione gaussiana con media 0 e varianza S^2. Questa y* fake ci permette di soddisfare il modello vero ristretto. Questo ci permette di avere questa y* che calcoliamo come: Campione bootstrap: Prendiamo il primo numero casuale estratto dalla distribuzione gaussiana 11 ma con varianza stimata da noi con il modello ristretto e generiamo u1* (primo disturbo fake) + β tilda lo abbiamo stimato nel ristretto e X1 lo conosciamo. Stessa cosa possiamo fare con le altre y. Questa cosa ci permette di costruire un campione di n osservazioni esattamente uguale alla dimensione del campione originale. Successivamente utilizziamo la y e la regrediamo sui regressori originali ossia sulla X e Z della 9 perché a questo punto posso rifare un test t su γ e vedere che valore viene della statistica t. a questo questa statistica soddisfa l’hp0 perché nella y che sto utilizzando ho imposto la condizione che Z non ci fosse. Questo procedimento di creare queste y false e quindi una t boostrappate lo ripetiamo B volte. E alla fine vado a calcolare il P value con la formula 6 o 7.

Bootstrap non parametrico: Nel bootstrap parametrico ci siamo affidati ad un hp forte: i disturbi veri siano distribuiti come una gaussiana. Questa ipotesi può essere considerata molto restrittiva. Come possiamo smontarla? Passando al bootstrap non parametrico: continueremo a utilizzare β tilda ma anziché generare u* da una distribuzione che ipotizziamo noi li generiamo dai residui stimati.

Immaginiamo di aver un modello e di stimare i residui: I residui che stimiamo nel modello ristretto, u tilda, sono dei residui che stimano in modo consistente i veri residui del modello ristretto. Quindi ricampioniamo i residui del modello ristretto ossia prendere un box, inserire all’interno tutti i residui stimati nel modello ristretto, inserire la mano n volte cioè una per ogni osservazione che noi abbiamo nel campione ed estrarre casualmente uno di questi residui, grazie a questo possiamo andare ad utilizzare questi residui per ricostruire la variabile y*. Cioè di fatto noi anziché estrarre da una distribuzione conosciuta ipotizzata da noi gaussiana adesso ricampioniamo i residui stimati da qui risample dei residuals. Questo vuol dire che alcuni dei residui che produrranno la variabile y bootstrap potranno comparire più volte, altri potrebbero non comparire mai. È sufficiente avere una distribuzione uniforme compreso tra zero e n in modo tale da dirci quale residuo prendere e lo metti da parte, quel residuo servirà per generare la corrispondente y.

(nella slide 21 ci sono i passaggi) Esempio: supponiamo di avere n=10 e quindi avere 10 residui: supponiamo di prendere 10 numeri casuali da una distribuzione U(0,1): Gli indici che tiriamo fuori sono: prendiamo in posizione il 7imo residuo (che corrisponde a -2,03) e così via questi sono i residui boostrappati per generare la y boostrappata.

Lezione 30/10/2020

Panel data analysis

I modelli per dati panel sono dei modelli in cui oltre alla dimensione cross section abbiamo anche una dimensione time series quindi di fatto abbiamo una presenza di due tipologie di informazioni:

• Da un lato abbiamo studiato i modelli per dati in forma di cross section (sono più osservazioni tutte prese allo stesso tempo, nello stesso periodo)
• Dall’altro abbiamo le time series (dimensione di serie storiche, sono una famiglia osservata in un arco temporale più o meno lungo). Ad esempio 100 osservazione non riferite a differenti famiglie prese nello stesso tempo ma la stessa famiglia in un arco temporale più ampio.

Queste due dimensioni possono essere combinate nei modelli per analisi in forma di dati panel. È fondamentale che quando abbiamo analisi per dati panel abbiamo due indici, quindi quando raccogliamo delle osservazioni panel dobbiamo essere sicuri di avere nel nostro dataset due celle in cui è rappresentata in una l’istante temporale riferito a quelle osservazioni e nell’altra l’unità statistica a cui si riferisce quella osservazione.

Abbiamo in questa slide id che si riferisce all’unità statistica (1-2-3), year che si riferisce all’anno. In base a queste due informazioni vediamo il salario (es: 2.20 si riferisce al salario del tipo 2 nell’anno 88). Dobbiamo spiegare il salario di un individuo attraverso delle caratteristiche dell’individuo stesso: education, age, ecc.. Il modello più semplice per analizzare la relazione tra salario e caratteristiche dell’individuo è quello Pooled: è un modello in cui noi abbiamo inserito tutte le osservazioni in modo indistinto quindi di fatto non c’è una caratteristica specifica per l’individuo, viene trattato il modello come se si trattasse di un mega campione quindi si perde la peculiarità dei modelli panel cioè non c’è una differenziazione tra gli individui o tra le unità statistiche quindi nel nostro