Preparazione all'esame di GAL - Ingegneria Informatica

- GAL (11-03-2019) -

- Sistemi parametrici

Kx + 2y - z = 1-x + y - 2z = 0x - y + 2z = ky - z = 0

m = 4    m = 3

A = ( k   2   -1 )| -1   1   -2 || 0   1   -1 |( 1   -1   2 )

A' = ( k   2   -1   1 )| -1   1   -2   0 || 0   1   -1   0 |( 1   -1   2   k )

compatibile ⇔ ∃ soluzioni- se   p = m ⇒ ∃! sol.- se   p < m ⇒ ∞^m-p sol.

rg (A) ⊆ 3

|A'| =             ( k   -1   1     |    k   2   1 )| -1   -2   0    |   -1   1   0 || 1   2   k      |      1   -1   k )= - ( -2k² -2 + 2 - k )- ( k² -     k + 2k ) == k² - k = 0    ⇒    k (k - 1) = 0k = 0    ∨    k = 1

se   k ∈ ℝ - {0,1}   ⇒   rg (A) ⊆ 3   e rg (A') = 4  ⇨ incompatibile

se   k = 0     o   k = 1   ⇒ rg (A) = rg (A') = 3  ⇨ compatibile

CASO I: k = 0A = ( 0   2   -1 )| -1   1   -2 || 0   1   -1 |( 1   -1   2 )

rg (A) ≡ rg (A') = ρ = m      ρ = mρ = 3         m = 3        ∃! soluzione

A_u,b = ( 0   2   -1 )| -1   1   -2 |( 0   1   -1 )

⇒ { 2y   - z =                         ∃!  x - y + y -2z = 0 ⇒       x = -1  y - z = 0               y = z = 1

CASO II:    k = 1

A = ( 1   2   -1 )| -1   1   -2 || 0   1   -1 |( 1   -1   2 )

|A_1,3| = ( 1   2   -1 )| -1   1   -2 |( 0   1   -1 )

= -1 + 1 + 2 - 2 = 0⇒ rg (A) = 2

proviamo con la 4^a riga ed esce 0

- GAL (11-03-2019) -

- Sistemi parametrici

• kx + 2y - z = 1
• -x + y - 2z = 0
• x - y + 2z = k
• y - z = 0

m = 4 m = 3

compatibile ⇔ ∃ soluzioni

• se ρ = m ⇒ ∃1 sol.
• se ρ < m ⇒ ∞^m-ρ sol.

A = {

• k 2 -1
• -1 1 -2
• 0 1 -1
• 1 -1 2

A' = {

• k 2 -1 1
• -1 1 -2 0
• 0 1 -1 0
• 1 -1 2 k

rg (A) ≤ 3

|A'| = -{

• k -1 1
• -1 -2 0
• 1 2 k

= -(-2k² -2 + 2 - k) - (k² + k(-1 + 2k))

= k² - k = 0 ⇒ k(k - 1) = 0

k = 0 ∨ k = 1

se k ∈ ℝ - {0,1} ⇒ rg (A) ≤ 3 e rg (A') = 4

⇨ incompatibile

se k = 0 o k = 1 ⇒ rg (A) = rg (A') = 3

⇨ compatibile

CASO I: k = 0

A = {

• 0 2 -1
• -1 1 -2
• 0 1 -1
• 1 -1 2

rg (A) = rg (A') = ρ = m

ρ = m

ρ = 3 m = 3

∃! soluzione

A_u,b = -{

• 0 2 -1 1
• -1 1 -2
• 0 1 -1

⇒ {

• 2y - z = 1
• x - y + 2z = 0
• y - z = 0

⇒ x = -1

y = z = 1

CASO II: k = 1

A = {

• 1 2 -1 2
• -1 1 -2
• 0 1 -1
• 1 -1 2

|A_1,3| = {

• 1 2 -1
• -1 1 -2
• 0 1 -1

= -1 + 1 + 2 - 2 = 0

⇒ rg (A) ≥ 2

proviamo con la 4^a riga ed esce 0

rg(A')−3 ⇒ essendo rg(A) ≠ rg(A') il sistema è incompatibile (nessuna soluzione)

Prova in itinere (anno 2018)

x₁ + x₃ − h x₄ = 0h x₂ + (1+h) x₃ = 0h x₂ − x₃ = 0

Omoseneo ⇒ compatibile è lineare

m = 3 m = 4 m (incognite) = n (equazioni)rg(A) ≤ 3∃∞^m-p soluzioni

A_12,13 =    | 1 0 |   | 0 -1 | = -1 (≠0)

A_123,124 =    | 1 0 1 |   | -h 0 1+h |   | 0 h -1 | = -h | -h 1+h | = -h (1 - 1-h) = -hTroviamo il "rango" con le righe e le colonne 1, 2, 3.

A_{1,1,4 1,2,3} =    | 1 1 -h |   | -h 1+h 0 |   | 0 -1 0 | = -h      | -h 1+h | | -1 | = -h² ← "rango" con righe 1, 2, 3 e colonne 1, 2 e 4.

se h = 0 ⇒ rg(A)=2 ⇒ ∃∞^m-p soluzioni ⇒ ∞² sol.se h ≠ 0 ⇒ rg(A)=3 ⇒ ∃∞^m-p sol. ⇒ ∞¹ sol.

Caso I: