Appunti Fondamenti di Ricerca Operativa

Fondamenti di Ricerca Operativa (prof. Enrico Malaguti)

• Introduzione

  Per affrontare i problemi studiati dalla ricerca operativa si adotta un approccio modellistico:

  • Def: Modello -> rappresentazione semplificata della realtà che ne cattura ed enfatizza alcune caratteristiche.

  Una tipologia di problemi affrontati dalla R.O. sono quelli dei problemi di ottimizzazione. In questi problemi è richiesto di trovare la soluzione “ottima” mediante la massimizzazione o minimizzazione di una funzione definita f. obiettivo.

  • Def: Funzione obiettivo ->f: ^N+ → ^R

  → Nella programmazione lineare la funzione obiettivo è anche F. lineare ed in ogni caso vale le seguenti proprietà:

  1. f(x+y) = f(x) + f(y)   ∀ x, y ε ^R
  2. f(αx) = α f(x)   ∀ x ε ^R, α ε ^R

  La soluzione della funzione obiettivo sarà data da un vettore 1-dimensionale ottenuto mediante la massimizzazione/minimizzazione di essa. Si avrà una soluzione quando ad ogni variabile che costituisce il vettore è assegnato un preciso valore.

  Partendo dalla funzione obiettivo molto spesso i problemi di ottimizzazione richiedono che siano imposti dei vincoli su uno o più parametri in ingresso alla fun. obiettivo. Tali vincoli vanno anch’essi espressi tramite funzioni:

  g_j: ^N+ → ^R t.c. g_j(x) ≤ b_i con j = 1,2,..., n

  * Oss: nei problemi di programmazione lineare la funzione di vincolo sarà sempre una costante quindi i vincoli saranno dati da equazioni o disequazioni lineari.

  I generici problemi di ottimizzazione saranno espressi da:

  • Def: Generico Problema di Ottimizzazione

  Dati S; ^N+ → ^R, funzione obiettivo:

  • 1. max f(x)
    2. g_j(x) ≤ b_i   con i = 1,2,...,n

  Visto e considerato che le funzioni obiettivo ammetterà in ingresso n parametri di rotta esprimere tale funzione in forma matriciale:

  [c₁ c₂ c₃ ... c_n] [x₁x₂x₃...x_n ]

  Lo stesso varrà per i vincoli:

  [a₁₁ a₁₂ a₁₃ ... a_1m] [x₁] [b₁][a₂₁ a₂₂ a₂₃ ... a_2m] [x₂] ≥ [b₂][a₃₁ a₃₂ a₃₃ ... a_3m] [x₃] [b₃]...[x_n] ≥ [b_n]

Fondamenti Di Ricerca Operativa (prof. Enrico Malaguti)

• Introduzione

Per affrontare i problemi studiati dalla ricerca operativa si adotta un approccio modellistico:

• Def: Modello → Rappresentazione semplificata della realtṳ che ne cattura ed enfatizza alcune caratteristche.

Una tipologia di problemi affrontati dalla R.O. sana quella dei problemi di ottimizzazione. In questi problemi ṳ richiesto di trovare la soluzione “ottima” mediante la massimizazione o minimizzazione di una funzione definita f. obiettivo.

• Def: Funzione Obiettivo

f(x):ℕⁿ → ℝ

→ Nella programmazione lineare la funzione obiettivo ṳ anche f. lineare ed ḟonioṡe due delle seguenti proprietã:

1) f(x+y) = f(x) + f(y)   ∀ x,y ϵ ę

2) f(αx) = α f(x)   ∀ x ϵ ę, ∀ α ϵ ℝ

La soluzione della funzione obiettivo ṳğ sana̳d̻ dato da un vetore n- dimensionale ottenuto mediante la massimizzaiuṡę/n minimizzazione di essa. Si aty una soluzione wanneer ad ogni variabile che costituisce il vetore enye assegnaűto un preciso valore.

Partendo dalla funzione obiettivo molto spesso i problemi di ottimizzazione richiedono che Ạano imposti dei vincoli su uno o piū parametri in ingresso alla funz. ớbiettivo. Tali vỉůkuli sono rappresentati tradivern 'uflf ğ/x)

• Ṝ → Ɍ f.c. ệ/d/x) b c i = ൩,d .... n

* Oss: Nei problemi di programmazione lineare la funzione di vinvolo sanà per enère una costante, quindi i vincoli sannanio dati da equazioni o disequazioni lineari.

I generici problemi di ottimizzazione sannosno espressi da;

• Def: Generico Problema di Ottimizzazione

Datu ḕ ; Ἤⁿ → R , funzione sitcarara:

{ max f(x)

g_i(x) ≤ b_i     i = 1,2...n.

Vistg è Considerato che le funzione obiettivo ammetterą un insieme input prendisu di rotto reso Da inniere in su umare marina ghiaccio Vere drag respont trang funzione :

• S: Eⁿ → ɼ

c₁ₗ₁ + c₂ₗ₂ + ... + cₙₗₙ ≤̂

• [ c₁   c₂   c₃ ...   cₙ]

•   &