Appunti Fondamenti di Fisica Sperimentale

FISICA SPERIMENTALE

CINEMATICA

• MOTO → CAMBIAMENTO DI POSIZIONE NEL TEMPO IN UN CERTO SISTEMA DI RIFERIMENTO

IL MOTO È UN CONCETTO RELATIVO

VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

RAPPRESENTAZIONE ESTRINSECA

x(t) = x(t)_x̂ + y(t)_ŷ + z(t)_ẑ

RAPPRESENTAZIONE INTRINSECA

y = β(x) (traiettoria)

s = s(t) (legge oraria)

VELOCITÀ MEDIA

VELOCITÀ MEDIA DELL'OGGETTO IN [t₁, t+Δt]

v_m[t₁, t+Δt] = ^{r(t+Δt) - r(t)}/_Δt   [m/s]

VETTORE SPOSTAMENTO   Δr = r(t+Δt) - r(t)

v_m[t₁, t+Δt] = ^Δr/_Δt

LA VELOCITÀ MEDIA NON TIENE CONTO DELLA TRAIETTORIA

• DA QUI NASCE LA NECESSITÀ DI

VELOCITÀ ISTANTANEA

v_i(t) = lim_Δt→0 v_m = lim_Δt→0 ^Δr/_Δt → v^⃗_i(t) = ^dr/_dt

COINCIDE CON LA TANGENTE DELLA TRAIETTORIA

x = x_x̂ + y_ŷ + z_ẑ

v^⃗_i = ^d/_dt[x_x̂ + y_ŷ + z_ẑ]

= dx^_x̂/dt + dy^_ŷ/dt + dz^_ẑ/dt + x^dx/_dt + y^dy/_dt + z^dz/_dt = 0

IN QUANTO I VERSORI SONO COSTANTI NEL TEMPO

v^⃗ = ^dx/_dtx̂ + ^dy/_dtŷ + ^dz/_dtẑ

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DELLA VELOCITÀ ISTANTANEA

Accelerazione Media

nell'oggetto in [t, t + Δt]

a_m (t, t + Δt) = (v(t + Δt) - v(t)) / Δt [ m / s² ]

Ma nel caso di intervalli troppo grandi a_m non viene percepita, allora prende:

Accelerazione Istantanea

\(\vec{a}(t)\) dv/dt

\[\int \vec{v} = \int \frac{d\vec{v}}{dt} \]

a = dv/dt

\[\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \]

Forma Parametrica

\(\vec{v}\) = dx/dt \(\vec{u}_x\) + dy/dt \(\vec{u}_y\) + dz/dt \(\vec{u}_z\)

\(\vec{a}\) = d²x/dt² \(\vec{u}_x\) + d²y/dt² \(\vec{u}_y\) + d²z/dt² \(\vec{u}_z\)

Forma Intrinseca

\(\vec{v} = \dot{s} \vec{u}_t = \frac{ds}{dt} \vec{u}_t \)

\(\vec{a} = \frac{d}{dt}(\frac{ds}{dt}\vec{u}_t) = \ddot{s}\vec{u}_t + (\dot{s})^2 \vec{u}_m \)

Equazione dell'Accelerazione

\(\vec{a} = \ddot{s}\vec{u}_t + (\dot{s})^2 \vec{u}_m \)

\[ a_n = \vec{a}_n \]

Direzione Normale (verso il centro della curvatura)

Direzione Tangenziale

_v = R [ω₀ + α(t - t₀)]_t̂ +

_a = R[ dω/dt + [ ω × r ] = d²θ/dt² ]_t̂

_a = d/dt ( ω × r ) = dω/dt × r + ω × dr/dt

α = dω/dt ACC. ANGOLARE

_v = dr/dt

_a = α × r + ω × _v → _a = α × r + ω × ( ω × r )

_{at an}

_a × ( b × c ) = ( a·c ) b - ( a·b ) c

- a offset = α × r + ω ( ω·r ) - r ( ω·ω ) → _a = α × r - r(ω²)

_{at an}

MOTO PERIODICO

MOTO ARMONICO SEMPLICE

ωt = ANGOLO DI FASE

α = ωt - α 2π = ωt PERCHÉ PERIODICO

2π = ( t - t₀ ) ω → T = 2π/ω [s] PERIODO

FREQUENZA V = 1/T = ω/2π [ s^-1 = Hz ]

PULSAZIONE DEL MOTO PERIODICO → ω = 2πV

x(t) = A cos (ωt + φ)

AMPIEZZA   d

PULSAZIONE

mg sin θ ≤ μ_s mg cos θ

tg θ ≤ μ_s   o θ ≤ arc⁣tg μ_s

QUANDO INIZIA A MUOVERSI

ma = mg sin θ - μ_daN

0 = - mg cos θ +N

a = g (sin θ - μ_d cos θ)

FORZE CENTRIPETE

a̲ = a_t ü_t + a_n ü_n

F̲ = ma̲ = ma_t ü_t + ma_n ü_n

F = m a_t = m d v² / dt

F_n = m an = m v² / ρ

F_c = m v² / ρ

F_A ≤ μ_dN  = μ_s mg

m v²/ρ  ≤ μ_smg

v ≤ √μ_s g R

massimo valore di V per rimanere in curva

FORZA GRAVITAZIONALE

F̲ = - γ m₁m₂/r² u̲₁₂

γ = 6,67 · 10^-11 m³ / kg s²

FORZA PESO

F̲ = γ m m_T/r²

F_T = m g

QUANTITÀ DI MOTO

p̲ = m v̲

F = * m a

CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA

TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA

- CONSIDERIAMO UN CORPO SOGGETTO A FORZE CONSERVATIVE

W_AB = -ΔU = E_p(A) - E_p(B)

W_AB = ΔE_K = E_K(B) - E_K(A)

→ E_K(A) + E_p(A) = E_K(B) + E_p(B)

DEFINIAMO ENERGIA MECCANICA E = E_p + E_K → E(A) = E(B)

PER UN OGGETTO SOTTOPOSTO A FORZE CONS., L'EN. MECCANICA È COSTANTE

- CONSIDERIAMO UN CORPO SOGGETTO A FORZE NON CONSERVATIVE

W_AB = W_ABC + W_ABNC DOVE W_ABC = E_p(A) - E_p(B)

- W_AB = E_p(A) - E_p(B) + W_NC

E_K(B) - E_K(A) = E_p(A) - E_p(B) + W_NC

E(B) = E(A) + W_NC

LA VARIAZIONE DI ENERGIA MECCANICA È PARI AL LAVORO DELLE N.C. E(B) - E(A) = W_NC

• FORZE NON CONS. = FORZE DISSIPATIVE → DIMINUZIONE ENERGIA MECCANICA
• FORZE CONSERVATIVE → MOTO PERPETUO (IDEALE) → EN. MECCANICA SI CONSERVA

ESERCIZIO DI APPLICAZIONE 1: PIANO INCLINATO LISCIO

TROVARE LA MASSIMA ALTEZZA RAGGIUNTA

• y_A = 0
• v_A = v₀
• EK(A) = ¹/₂mv²₀
• E_p(A) = 0

• y_B = h
• v_B = 0
• EK(B) = 0
• E_p(B) = mgh

1) Moto di trascinamento rettilineo uniforme

Trasla con V₀ costante → V₀ = costante → ā₀ = 0

ω = 0 perchè è solo traslatorio

v = v' + V₀ a_T = 0 a_C = 0

Le accelerazioni nei due sistemi di riferimento sono uguali

2) Moto di trascinamento rettilineo uniformemente accelerato

Trasla con a₀' costante → ā₀ = costante

ω = 0 perchè è solo traslatorio

a_T = a₀' v = v' + a₀t a = a' + a₀

3) Moto di trascinamento rotatorio uniforme

V₀ = 0 perchè è rotatorio

ω = costante

v = v' + ω × r' a_T = ω × (ω × r') a = a' + ω × (ω × r') + 2ω × v'

a_C = 2ω × v'

Principio di relatività galileiano

Relatività ristretta

x' = x - V₀t y' = y z' = z t' = t (tempo assoluto)

I principi della dinamica restano invariati nei sistemi di riferimento inerziali

Se si muovono di moto rettilineo uniforme tra di loro