Appunti fisica tecnica

A L

PPUNTI DALLE EZIONI DI

F T A

ISICA ECNICA MBIENTALE

Prof. L. Laurenti

TRASMISSIONE DEL CALORE

Il calore viene definito nei corsi di Termodinamica come una forma di energia (Primo Principio) che transita

spontaneamente da un corpo a più elevata temperatura verso un corpo a più bassa temperatura (Secondo

Principio).

Attraverso una superficie il calore si trasmette da un corpo ad un altro. Condizione necessaria e sufficiente

affinché si verifichi uno scambio di calore é che esista una differenza di temperatura tra due corpi o tra i

punti di uno stesso corpo.

L’unità di misura del calore, indicato in genere con la lettera Q, è il Joule (simbolo J), un tempo si misurava

in calorie.

L'energia termica non è esattamente definibile, allora nella termotecnica si fa riferimento all'energia termica

nell'unità di tempo: potenza (watt) = J/s. Per le apparecchiature termotecniche (es caldaia) Q [J]: quantità di

calore dQ

Q → = q [w]: potenza termica (in analogia con potenza meccanica) o Flusso termico

d 



L E MODALITÀ DI SCAMBIO TERMICO

Un qualsiasi processo di scambio termico può essere ricondotto ad una sovrapposizione di tre meccanismi

indipendenti: conduzione, convezione, irraggiamento.

1 : meccanismo attraverso il quale il calore si trasmette all'interno dei corpi continui ed è tipica

CONDUZIONE

dei solidi (per es. Sbarra metallica) Si ha quando le particelle del corpo sono in quiete

2 : si ha quando sono in presenza uno dell'altra una superficie solida e un fluido, che però devono

CONVEZIONE

essere in moto relativo e a differenza di temperatura. Non si può come meccanismo puro perchè ci vuole

movimento relativo e differenza di temperatura (per es. Il vento con le pareti esterne, acqua nel tubo,...) il

movimento del fluido può essere naturale (nasce per cause naturali , come la differenza di temperatura:

termosifone) o artificiale (indotto): ci si mette una macchina che induca il fluido a scorrere sulla superficie

(ventilatore per l'aria, pompe per l'acqua), allora si parla di convezione forzata.

3 : (meccanismo puro perchè ha bisogno solo di differenza di temperatura) meccanismo di

IRRAGGIAMENTO

scambio termico di corpi non a diretto contatto tra loro, ma che si vedono. Avviene grazie all'energia

raggiante e questo flusso di energia cresce con la temperatura. Per spiegare la natura di questa energia ci

sono 2 teorie

a) elettromagnetica: energia formata da onde elettromagnetiche che si propagano per traiettorie rettilinee a

velocità altissime

b)corpuscolare: l'energia raggiante è formata da uno sciame di corpuscoli energetici (fotoni che si propagano

per traiettorie rettilinee con velocità della luce nel vuoto). Ogni corpo emette energia, l'energia del primo

cade sul secondo e viceversa. Poiché i corpi sono dotati di proprietà di assorbimento una parte la assorbono,

un'altra la riflettono.

Per risolvere il problema di scambio di calore:

schematizzo il problema da un punto di vista geometrico (analizzo la geometria del sistema);

• facciamo ipotesi schematizzando il sistema;

• individuo le leggi fisiche (conduzione, convezione, irraggiamento) che descrivono il fenomeno;

• soluzioni;

• arrivati al risultato dobbiamo controllare la soluzione. Se non è ragionevole modifico le ipotesi e

• riprocedo.

Meccanismo adduttivo: conduzione + irraggiamento.

C : corpi i cui elementi sono in quiete.

ONDUZIONE

I risultati che vogliamo ottenere:

1. distribuzione all'interno del corpo in funzione del punto: distribuzione dal campo termico T. T= f(x,

y, z, τ). se distribuzione cambia nel tempo: regime variabile;

per un corpo bidimensionale T= f(x, y, τ)

per un corpo bidimensionale T= f(x, τ)

2. calcolare il flusso di calore attraverso una qualunque superficie all'interno del corpo.

R : tutto rimane immutato nel tempo ( le grandezze sono indipendenti dal tempo)

EGIME STAZIONARIO

: la temperatura è funzione del punto e del momento in cui vado a calcolare.

VARIABILE

P F (postulato perchè non è dimostrabile, è dimostrato indirettamente dai risultati)

OSTULATO DI OURIER

Studio della conduzione del calore: procedimento di J Fourier.

Se prendiamo una superficie piana infinita e immaginiamo che la temperatura di

una faccia sia fissa T e che anche l'altra: T sia fissa, ma diversa da T .

1 2 1

q procede dalla temperatura > a quella <

la superficie è ( tutti i punti stessa temperatura)

ISOTERMA

se la seconda superficie ha tutti i punti alla stessa temperatura sarà una seconda

superficie ISOTERMA

anche la superficie interna parallela alle 2 sarà isoterma. La direzione precisa del flusso

termico ( oltre a essere dalla T > a T< ) è perpendicolare. Il flusso può essere trattato come un

vettore e può essere scomposto nelle 2 componenti.

Zero perchè la temperatura è uguale quindi è per forza perpendicolare e

non può essere obliqua.

Fourier misurò la quantità di calore che si trasmetteva da T a T :

1 2

T1−T2

Q= S 

s

Q è proporzionale alla superficie e direttamente proporzionale alla differenza di temperatura (T1 – T2) o ΔT

e lo spessore s si comporta in maniera inversamente proporzionale. Il calore dipende anche dalle

caratteristiche del materiale λ (natura del materiale).

Se stringo la lastra la quantità di calore diminuisce.

dT

dQ= dS d

Se diventa infinitesima: 

ds dQ dT d dT



dS dQ=− dS

se divido primo e secondo membro per dτ. →

=

d ds d ds

 

flusso di calore che attraversa una qualunque superficie.

Perchè segno negativo:

q>0 derivata negativa q<0 il flusso di calore segue l'andamento.

(dT7ds)< 0 (dT/ds)>0 delle temp. Decrescenti

λ si definisce conducibilità o conduttività termica ( capacità che ha il corpo di lasciarsi attraversare da calore

in presenza di differenza di temperatura)

[ ]

[ ]

Qs Jm W

= = =

2

s T mK

  m Ks

I valori più alti della conducibilità li hanno i solidi (in particolare i metalli)

vie di trasmissione del calore: vibrazione del reticolo cristallino;

elettroni liberi

Nel caso dei liquidi la conduzione dipende dalla mobilità delle particelle. Gli aeriformi hanno un valore di

conducibilità ancora più basso: la conduzione è un trasferimento di energia cinetica. A seconda dello stato del

fluido la probabilità di urto non è grande.

Bisogna calcolare il campo termico T. T= f(x, y, z, τ). e il flusso

Prendiamo un corpo generico e isoliamo un elementino qualsiasi che sarà

interessato da un flusso qualsiasi dq.

dq= dq + dq + dq

x y z

 

2 2 2

T T T

  

dq= dV  

2 2 2

x y z

  

i due flussi non sono uguali in entrata e in uscita T

dqx=− dydz x



 

2

T T

 

dqxdx dydz dx

=−  2

x

 x

 2 2 2 2

T T T T

   

dqx= dydzdx dv dv dv

flusso totale : = = =

2 2 2 2

x x y z

   

condizione necessaria affinchè ci sia flusso d calore è che esista una differenza di temperatura.

[ ]

W Flusso generato da sorgenti di calore all'interno di un volume.

3

m

dqv = qv dv

 

2 2 2

T T T

  

dv calore presente all'interno di un corpo.

   qdv

2 2 2

x y z

  

La somministrazione di energia interna determina un riscaldamento del tipo :

 

2 2 2

dT T T T

  

dvc dv il flusso di calore complessivo è eguagliato alla derivata

 =   qdv

2 2 2

dt x y z

  

dell'energia interna dQ

c=

dv si semplifica, divido tutto per λ, il calore specifico è: dt

 diffusione termica

= c

  

2 2 2

qv T T T

qv 1 T   

 2

2 T T

equazione generale della conduzione

∇   ∇  =  

2 2 2

    x y z

  

1 T



2 T

se qv = 0 → E F

∇ = Q OURIER

 

T qv

 2 T

se → E P

=0 ∇  =0 Q DI OISSON

 

T

 2

se e qv=0 → E L (assenza di sorgenti)

=0 T

∇ =0 Q DI APLACE



La condizione iniziale è tipica dei problemi in regime variabile e non stazionario.

C → conoscere il campo termico allo stato iniziale

ONDIZIONE ITALIANA DEI PROBLEMI TERMICI

condizioni al contorno → il contorno è la superficie che delimita il corpo, le condizioni al contorno sono

l'insieme dei vincoli termici sulla superficie che delimita il corpo.

Condizioni al contorno di tipo 1: consiste nell'imporre un valore assegnato alla temperatura

sulla superficie limite, eventualmente funzione del tempo.

Condizioni al contorno di tipo 2: con il quale è imposto il valore del flusso termico per

unità di superficie sul contorno del sistema

Condizioni al contorno di tipo 3: le superfici sono a contatto con fluidi di temperatura nota.

Le condizioni al contorno sono la conoscenza di Tf1/Tf2 e K1/K2

K= coefficiente di scambio termico per x=0 Tf1, K1

per x=1 Tf2, K2

q= K1 S (Tf1 T')

q= K1 S (T'' Tf2)

Condizioni al contorno di tipo 4: (caso dell'isolante) continuità e uguaglianza dei flussi

termici nel passaggio da un corpo all'altro.

Esempio lastra piana omogenea condizioni al contorno di tipo 1

Condizioni al contorno: per x= 0 T= T1

per x=s T= T2

lastra piana omogenea. E' Un regime stazionario, non ci sono condizioni iniziali.

2

dT dT

→ prima integrazione

=0 =a

dx

2

dx seconda integrazione

T Ax× B

=

utilizzo le condizioni al contorno: per x= 0 T1=B T2−T1

A=

per x=s T2= A*s+B= A*s + T1 s

T2−T1

T xT1

= s

A

NDAMENTO DELLA TEMPERATURA T2−T1

dT

dQ=− dS q=− S

Flusso di calore: s

ds

T1−T2 

q= S = T1−T2=cS T1−T2

s s



c= Conduttanza (rapporto tra spessore e superficie del corpo)

s

S S

T1−T2 T1−T2

q= 1

= 

ri= resistenza interna o di conduzione

=

1 ri c s

c

parallelo con elettrica esempio

condizioni al contorno :

per x= 0 T= T1

per x= Σs T= T4

T1−T2

q= S flusso 1° strato

s1

1

il flusso del primo e secondo strato è = 0 perchè il regime è

stazionario e quello che entra deve essere uguale a quello che

esce. Se q è diverso vuol dire che c'è una differenza di

temperatura e il calore in eccesso rimane all'interno.

T2−T3

q= S flusso 2° strato

s2

2



T3−T4

q= S flusso 3° strato

s3

3



riscrivendo nella forma:

s1

q =T1−T2

S 1

s2

q =T2−T3

S 2



s3

q =T3−T4

S 3



 

s1 s2 s3

q   =T1−T4

1 2 3

   1

H = H = trasmittanza ( inverso somma resistenze)

 

q= H S 1 si 1

Tf1−Tf2 ∑

 

K1 i K2



Lastra piana composita con condizioni al contorno di primo tipo

T0−Tn

q=  

s1

∑ 1



I l campo termico avrà un andamento lineare, cambierà la pendenza nei vari strati. Dove la conducibilità è

maggiore la pendenza è minore.

T0−Tn q Pendenza

s1 n



C

ASO CON SORGENTE INTERNA DI CALORE q P

2 EQ OISSON

T

∇  =0



2

d T qv

 =0

2 

dx 1 qv

T AxB

 =

2 

 

1 qv andamento parabolico

2

T x Ax B

=− 

2 

per x = 0 → T1= B 1 qv 2

T2= AsT1− s

per x = s → 2 

T2−T1 1 qv 2

A= s



s 2 

     

T2−T1 1 qv 1 qv T1−T2 1 qv

2

T x sxT1− x x− x x− s

= =T1−

s 2 2 s 2

  

il flusso di calore si calcola usando il postulato di Fourier

   

  T1−T2 1 T1−T2 s

dT T1−T2 v 1 qv q= v x− qvs= v x−

q=− s Tf1 q q

=− − −q  S 2 S 2

dx S 2

 

al centro della lastra le sorgenti non producono flusso

E

QUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA CONDUZIONE PER COORDINATE CILINDRICHE

2 2 2

qv 1 T T T T qv 1 T

    

2 T che derivata

∇  =    =

2 2 2

      

x Y Z

  



diffusività = c



2 2 2

T 1 T 1 T T qv 1 T

    

    =

r r

2 2 2 2

     

r r r

   

se le 2 superfici sono isoterme anche quelle interne parallele alle 2 lo sono. La superficie cilindrica differisce

dalle altre solo per R. la temperatura varia al variare di R, per una struttura cilindrica, note le condizioni al

2

d T 1 dT

contorno: T = f ® ci interessa una sola coordinata monodimensionale, l'equazione diventa:  =0

r d r

2

d r

; la temperatura non dipende né da né da z.



Campo termico:

dT

poniamo: e lo sostituiamo nell'equazione differenziale.

=u

dr

du u (eq. Diff. Da 2° a 1° ordine)

 =0

dr r ur

differenz. Du prodotto risostituiamo a u la sua equazione: →

=A

ur=d

rduudr ur =0

=0

dT dr

∫ ∫

A dt= A

separiamo le variabili

=

dr r

sono note le temperature delle 2 facce: r= R1 T= T1

T A ln B T1= Aln R1 B

= r  

r= R2 T= T2 T2= Aln R2B



R2

T2−T1= Aln B

sottraggo membro a membro :  

R1

T2−T1

A=

Prima costante: R2

ln  

R1

T2−T1

B=T1− ln R1

seconda costante R2

ln  

R1

T2−T1 T2−T1

T ln rT1− ln R1

=  

campo termico R2 R2

ln ln

   

R1 R1

T2−T1 r T2−T1 r

T ln ln

=T1  =T1−  

R2 R1 R2 R1 campo termico della struttura cilindrica (non è più lineare

ln ln

   

R1 R1

come nella lastra piana, ma l'andamento è logaritmico.

Se è possibile ricavare il campo termico e il flusso, il problema della conduzione è

risolto, quindi calcoliamo il flusso:

dT il flusso termico procede in forma radiale

dq=− dS du dT T1−T2 1

q=− 2 2 r

r = 

dT

q=− S du R2 r

T1T2 ln

dr  

R1

la temperatura non varia, allora la temperatura entrante è uguale a quella uscente.

T1−T2 T1−T2 T1−T2

q= 2  = =

ln R2/ R1 ln R1 rc

 R2/

2 

ln R2 R1 T1−T2

 / q=

resistenza conduttiva.

rc= rc

2 

Per ottenere il flusso termico più rapidamente integro l'equazione di Fourier: drr

dT dr ∫ ∫

q=− 2 r q 2 dT q 2 dT

integro per separazione di variabile =− =− 

dr r

R2 T2−T1

q ln 2 q=−2

 =− T2−T1  

R1 ln R1

R2 /

se non avessi fatto l'integrale tra i due limiti R1 e R2 q ln T A

r =−2   

S : per esempio superficie cilindrica circondata da un isolante

UPERFICI MULTISTRATO

esempio T1−T2 T1−T2

[ ] q=

W =

ln R2 R1 rc

=  / 

mK 2 

T1−T2

q= ln R2/R1 ln R3/ R2

 

2 m 2 i

 

T1−T ' T '−T2 il flusso è sempre lo stesso, posso calcolare T'.

q= 

ln R2/R1 ln R3/ R2

 

2 m 2

  i

q= KS Tf1−Tp

superficie interna sistema dei flussi

q= K1 2 R1Tw−T1

 T1−T2 T1 e T2 sono incognite

q= ln R2/ R1 ln R3/ R2

 

2 m 2 i

 

superficie esterna Tw > Ta

q= K1 2 R3T2−Ta



 

ln R2/ R1 ln R2

1 1

 R3/

q    =Tw−Ta

2 R1 K1 2 m 2 i 2 R3 K2

   

2  Tw−Ta

q= le condizioni al contorno sono del terzo tipo.

1 ln R2/ R1 ln R3/ R2 1

 

  

K1R1 m i K2R3

 

L' equazione è la stessa del flusso attraverso una lastra piana; allo spessore è sostituito il logaritmo dei raggi.

Possiamo fare un'applicazione: cambiamo lo spessore dell'isolante. Abbiamo 2 scambi: per conduzione e per

superficie. Lo spessore è R3 – R2, aumentando R3 la resistenza conduttiva logaritmica diminuisce e quella

superficiale aumenta. Note le temperature il flusso termico

2 Tw−Ta

q= ln R3/ R2 1

 

i K2R3



se non c'è isolante R3 ≡ R2

le resistenze hanno un andamento

logaritmico ma una aumenta e una

diminuisce.

Quello che ci interessa è la somma delle resistenze, studiando l'andamento dell'eventuale presenza di un

minimo.  

  1 1

ln R2

d 1

R3/ − =0

 =0 2

R3 i

dR3 i K2R3 K2R 3

 i 0,05 1