Appunti fisica tecnica

Appunti dalle lezioni di fisica tecnica ambientale

Prof. L. Laurenti

Trasmissione del calore

Il calore viene definito nei corsi di Termodinamica come una forma di energia (Primo Principio) che transita spontaneamente da un corpo a più elevata temperatura verso un corpo a più bassa temperatura (Secondo Principio).

Attraverso una superficie il calore si trasmette da un corpo ad un altro. Condizione necessaria e sufficiente affinché si verifichi uno scambio di calore è che esista una differenza di temperatura tra due corpi o tra i punti di uno stesso corpo.

L’unità di misura del calore, indicato in genere con la lettera Q, è il Joule (simbolo J), un tempo si misurava in calorie.

L'energia termica non è esattamente definibile, allora nella termotecnica si fa riferimento all'energia termica nell'unità di tempo: potenza (watt) = J/s. Per le apparecchiature termotecniche (es. caldaia) Q [J]: quantità di calore dQ/dτ → q [w]: potenza termica (in analogia con potenza meccanica) o flusso termico.

Le modalità di scambio termico

Un qualsiasi processo di scambio termico può essere ricondotto ad una sovrapposizione di tre meccanismi indipendenti: conduzione, convezione, irraggiamento.

Conduzione

1: meccanismo attraverso il quale il calore si trasmette all'interno dei corpi continui ed è tipica dei solidi (per es. sbarra metallica). Si ha quando le particelle del corpo sono in quiete.

Convezione

2: si ha quando sono in presenza uno dell'altra una superficie solida e un fluido, che però devono essere in moto relativo e a differenza di temperatura. Non si può come meccanismo puro perché ci vuole movimento relativo e differenza di temperatura (per es. il vento con le pareti esterne, acqua nel tubo,...) il movimento del fluido può essere naturale (nasce per cause naturali, come la differenza di temperatura: termosifone) o artificiale (indotto): ci si mette una macchina che induca il fluido a scorrere sulla superficie (ventilatore per l'aria, pompe per l'acqua), allora si parla di convezione forzata.

Irraggiamento

3: (meccanismo puro perché ha bisogno solo di differenza di temperatura) meccanismo di irraggiamento di corpi non a diretto contatto tra loro, ma che si vedono. Avviene grazie all'energia raggiante e questo flusso di energia cresce con la temperatura. Per spiegare la natura di questa energia ci sono 2 teorie.

• Elettromagnetica: energia formata da onde elettromagnetiche che si propagano per traiettorie rettilinee a velocità altissime.
• Corpuscolare: l'energia raggiante è formata da uno sciame di corpuscoli energetici (fotoni che si propagano per traiettorie rettilinee con velocità della luce nel vuoto). Ogni corpo emette energia, l'energia del primo cade sul secondo e viceversa. Poiché i corpi sono dotati di proprietà di assorbimento una parte la assorbono, un'altra la riflettono.

Risoluzione del problema di scambio di calore

Per risolvere il problema di scambio di calore:

• Schematizzo il problema da un punto di vista geometrico (analizzo la geometria del sistema).
• Facciamo ipotesi schematizzando il sistema.
• Individuo le leggi fisiche (conduzione, convezione, irraggiamento) che descrivono il fenomeno.
• Soluzioni.
• Arrivati al risultato dobbiamo controllare la soluzione. Se non è ragionevole modifico le ipotesi e riprocedo.

Meccanismo adduttivo: conduzione + irraggiamento.

Conduzione

Conduzione: corpi i cui elementi sono in quiete.

I risultati che vogliamo ottenere:

• Distribuzione all'interno del corpo in funzione del punto: distribuzione dal campo termico T. T = f(x, y, z, τ). Se la distribuzione cambia nel tempo: regime variabile; per un corpo bidimensionale T = f(x, y, τ); per un corpo bidimensionale T = f(x, τ).
• Calcolare il flusso di calore attraverso una qualunque superficie all'interno del corpo.

Regime stazionario: tutto rimane immutato nel tempo (le grandezze sono indipendenti dal tempo); la temperatura è funzione del punto e del momento in cui vado a calcolare.

Variabile.

Postulato di Fourier

Postulato di Fourier (postulato perché non è dimostrabile, è dimostrato indirettamente dai risultati).

Studio della conduzione del calore: procedimento di J. Fourier.

Se prendiamo una superficie piana infinita e immaginiamo che la temperatura di una faccia sia fissa T₁ e che anche l'altra: T₂ sia fissa, ma diversa da T₁.

q procede dalla temperatura > a quella <.

La superficie è isoterma (tutti i punti stessa temperatura).

Se la seconda superficie ha tutti i punti alla stessa temperatura sarà una seconda superficie isoterma.

Anche la superficie interna parallela alle 2 sarà isoterma. La direzione precisa del flusso termico (oltre a essere dalla T > a T <) è perpendicolare. Il flusso può essere trattato come un vettore e può essere scomposto nelle 2 componenti.

Zero perché la temperatura è uguale quindi è per forza perpendicolare e non può essere obliqua.

Fourier misurò la quantità di calore che si trasmetteva da T₁ a T₂:

Q = λ S (T₁ − T₂)/s

Q è proporzionale alla superficie e direttamente proporzionale alla differenza di temperatura (T₁ – T₂) o ΔT e lo spessore s si comporta in maniera inversamente proporzionale. Il calore dipende anche dalle caratteristiche del materiale λ (natura del materiale).

Se stringo la lastra la quantità di calore diminuisce.

dQ = λ dS dT/ds

Se diventa infinitesima: dQ/dτ = λ dS dT/ds.

dQ/dS = −λ dT/ds.

Se divido primo e secondo membro per dτ. → flusso di calore che attraversa una qualunque superficie.

Perché segno negativo: q > 0 derivata negativa, q < 0 il flusso di calore segue l'andamento. (dT/ds) < 0, (dT/ds) > 0 delle temperature decrescenti.

λ si definisce conducibilità termica o conduttività termica (capacità che ha il corpo di lasciarsi attraversare da calore in presenza di differenza di temperatura).

[λ] = [Q s/(S T)] = J m/(s m² K) = W/(m K).

I valori più alti della conducibilità li hanno i solidi (in particolare i metalli).

Vie di trasmissione del calore: vibrazione del reticolo cristallino; elettroni liberi.

Nel caso dei liquidi la conduzione dipende dalla mobilità delle particelle. Gli aeriformi hanno un valore di conducibilità ancora più basso: la conduzione è un trasferimento di energia cinetica. A seconda dello stato del fluido la probabilità di urto non è grande.

Campo termico e flusso

Bisogna calcolare il campo termico T. T = f(x, y, z, τ) e il flusso.

Prendiamo un corpo generico e isoliamo un elementino qualsiasi che sarà interessato da un flusso qualsiasi dq.

dq = dq_x + dq_y + dq_z

dq = λ (∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z²) dV

I due flussi non sono uguali in entrata e in uscita.

dq_x = −λ dydz ∂T/∂x.

dq_x = −λ [(∂²T/∂x²) dx dydz].

dq_x = λ dydzdx ∂²T/∂x² = λ dV ∂²T/∂x².

Flusso totale: dq = λ (∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z²) dV.

Condizione necessaria affinché ci sia flusso di calore è che esista una differenza di temperatura.

[W/m³] Flusso generato da sorgenti di calore all'interno di un volume.

dq_v = q_v dV.

dq_v calore presente all'interno di un corpo.

λ (∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z²) dV.

La somministrazione di energia interna determina un riscaldamento del tipo:

c ρ dV dT/dt.

Il flusso di calore complessivo è eguagliato alla derivata dell'energia interna dQ_c = c ρ dV dT/dt.

dV si semplifica, divido tutto per λ, il calore specifico è:

α = λ/(cρ) diffusione termica.

∇²T + q_v/λ = (1/α) ∂T/∂τ.

Equazione generale della conduzione.

Se q_v = 0 → ∇²T = (1/α) ∂T/∂τ: equazione di Fourier.

Se ∂T/∂τ = 0 → ∇²T + q_v/λ = 0: equazione di Poisson.

Se ∂T/∂τ e q_v = 0 → ∇²T = 0: equazione di Laplace (assenza di sorgenti).

Condizioni iniziali e al contorno

La condizione iniziale è tipica dei problemi in regime variabile e non stazionario.

Condizione iniziale dei problemi termici → conoscere il campo termico allo stato iniziale.

Condizioni al contorno → il contorno è la superficie che delimita il corpo, le condizioni al contorno sono l'insieme dei vincoli termici sulla superficie che delimita il corpo.

Condizioni al contorno di tipo 1: consiste nell'imporre un valore assegnato alla temperatura sulla superficie limite, eventualmente funzione del tempo.

Condizioni al contorno di tipo 2: con il quale è imposto il valore del flusso termico per unità di superficie sul contorno del sistema.

Condizioni al contorno di tipo 3: le superfici sono a contatto con fluidi di temperatura nota. Le condizioni al contorno sono la conoscenza di Tf₁/Tf₂ e K₁/K₂.

K = coefficiente di scambio termico per x = 0 Tf₁, K₁; per x = 1 Tf₂, K₂.

q = K₁ S (Tf₁ − T').

q = K₁ S (T'' − Tf₂).

Condizioni al contorno di tipo 4: (caso dell'isolante) continuità e uguaglianza dei flussi termici nel passaggio da un corpo all'altro.

Lastra piana omogenea

Condizioni al contorno di tipo 1

Esempio lastra piana omogenea condizioni al contorno di tipo 1.

Condizioni al contorno: per x = 0 T = T₁; per x = s T = T₂.

Lastra piana omogenea. È un regime stazionario, non ci sono condizioni iniziali.

d²T/dx² = 0 → prima integrazione dT/dx = a.

Seconda integrazione T = Ax + B.

Utilizzo le condizioni al contorno: per x = 0 T₁ = B; per x = s T₂ = A·s + B = A·s + T₁.

A = (T₂ − T₁)/s.

T = [(T₂ − T₁)/s] x + T₁.

Andamento della temperatura.

dQ = −λ dS dT/ds.

Flusso di calore: q = −λ S dT/ds.

q = λ S (T₁ − T₂)/s = c S (T₁ − T₂).

c = λ/s. Conduttanza (rapporto tra spessore e superficie del corpo).

q = (S/r_i) (T₁ − T₂) = λ S/s (T₁ − T₂).

r_i = resistenza interna o di conduzione = 1/c = s/(λS).

Parallelo con elettrica esempio.

Lastra piana composita

Condizioni al contorno: per x = 0 T = T₁; per x = Σs T = T₄.

q = S (T₁ − T₂)/(s₁/λ₁): flusso 1° strato.

Il flusso del primo e secondo strato è = 0 perché il regime è stazionario e quello che entra deve essere uguale a quello che esce. Se q è diverso vuol dire che c'è una differenza di temperatura e il calore in eccesso rimane all'interno.

q = S (T₂ − T₃)/(s₂/λ₂): flusso 2° strato.

q = S (T₃ − T₄)/(s₃/λ₃): flusso 3° strato.

Riscrivendo nella forma:

q s₁/(S λ₁) = T₁ − T₂.

q s₂/(S λ₂) = T₂ − T₃.

q s₃/(S λ₃) = T₃ − T₄.

q (s₁/λ₁ + s₂/λ₂ + s₃/λ₃) = S (T₁ − T₄).

H = 1/Σ(s_i/λ_i) = trasmittanza (inverso somma resistenze).

q = H S (Tf₁ − Tf₂)/(1/K₁ + Σs_i/λ_i + 1/K₂).

Lastra piana composita con condizioni al contorno di primo tipo.

q = (T₀ − T_n)/Σ(s_i/λ_i).

Il campo termico avrà un andamento lineare, cambierà la pendenza nei vari strati. Dove la conducibilità è maggiore la pendenza è minore.

Pendenza = (T₀ − T_n)/(s₁/λ₁ + ... + s_n/λ_n).

Caso con sorgente interna di calore

Caso con sorgente interna di calore q_v, equazione di Poisson.

∇²T + q_v/λ = 0.

d²T/dx² + q_v/λ = 0.

T = −(q_v/(2λ))x² + Ax + B.

Andamento parabolico.

Per x = 0 → T₁ = B.

Per x = s → T₂ = As − (q_v/(2λ))s² + T₁.

A = (T₂ − T₁)/s + q_vs/(2λ).

T = T₁ + [(T₂ − T₁)/s]x + (q_v/(2λ))x(s − x).

Il flusso di calore si calcola usando il postulato di Fourier.

q = −λ S dT/dx.

q = λ S [(T₁ − T₂)/s − q_vx/λ + q_vs/(2λ)].

Al centro della lastra le sorgenti non producono flusso.

Equazione differenziale della conduzione per coordinate cilindriche

∇²T + q_v/λ = (1/α) ∂T/∂τ.

∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z² + q_v/λ = (1/α) ∂T/∂τ.

Diffusività α = λ/(cρ).

∂²T/∂r² + (1/r) ∂T/∂r + (1/r²) ∂²T/∂ψ² + ∂²T/∂z² + q_v/λ = (1/α) ∂T/∂τ.

Se le 2 superfici sono isoterme anche quelle interne parallele alle 2 lo sono. La superficie cilindrica differisce dalle altre solo per R. La temperatura varia al variare di R, per una struttura cilindrica, note le condizioni al contorno: T = f(r), ci interessa una sola coordinata monodimensionale, l'equazione diventa:

d²T/dr² + (1/r) dT/dr = 0; la temperatura non dipende né da ψ né da z.

Campo termico.

Poniamo: dT/dr = u e lo sostituiamo nell'equazione differenziale.

du/dr + u/r = 0 (eq. diff. da 2° a 1° ordine).

r du + u dr = 0.

Differenz. du prodotto risostituiamo a u la sua equazione: ur = A.

dT/dr = A/r.

Separiamo le variabili: ∫dT = ∫A dr/r.

T = A ln r + B.

Sono note le temperature delle 2 facce: r = R₁, T = T₁.

T₁ = A ln R₁ + B.

r = R₂, T = T₂.

T₂ = A ln R₂ + B.

T₂ − T₁ = A ln(R₂/R₁).

Prima costante: A = (T₂ − T₁)/ln(R₂/R₁).

Seconda costante B = T₁ − [(T₂ − T₁)/ln(R₂/R₁)] ln R₁.

Campo termico:

T = T₁ + [(T₂ − T₁)/ln(R₂/R₁)] ln(r/R₁).

T = T₁ − [(T₁ − T₂)/ln(R₂/R₁)] ln(r/R₁).

Campo termico della struttura cilindrica (non è più lineare come nella lastra piana, ma l'andamento è logaritmico).

Se è possibile ricavare il campo termico e il flusso, il problema della conduzione è risolto, quindi calcoliamo il flusso:

dq = −λ dS dT/dr.

Il flusso termico procede in forma radiale.

q = −λ 2πr dT/dr.

q = λ 2π (T₁ − T₂)/ln(R₂/R₁).

La temperatura non varia, allora la temperatura entrante è uguale a quella uscente.

q = λ 2π (T₁ − T₂)/ln(R₂/R₁) = (T₁ − T₂)/r_c.

r_c = ln(R₂/R₁)/(2πλ): resistenza conduttiva.

Per ottenere il flusso termico più rapidamente integro l'equazione di Fourier:

q = −λ 2πr dT/dr.

q 2π dr/r = −λ 2π dT.

Integro per separazione di variabile:

q ln(R₂/R₁) = −2πλ (T₂ − T₁).

q = −2πλ (T₂ − T₁)/ln(R₂/R₁).

Se non avessi fatto l'integrale tra i due limiti R₁ e R₂: q ln r = −2πλ T + A.

Superfici multistrato

Superfici multistrato: per esempio superficie cilindrica circondata da un isolante.

q = (T₁ − T₂)/r_c = 2πλ (T₁ − T₂)/ln(R₂/R₁).

[λ] = W/(mK).

q = (T₁ − T₂)/[ln(R₂/R₁)/(2πλ_m) + ln(R₃/R₂)/(2πλ_i)].

q = (T₁ − T')/[ln(R₂/R₁)/(2πλ_m)].

q = (T' − T₂)/[ln(R₃/R₂)/(2πλ_i)].

Il flusso è sempre lo stesso, posso calcolare T'.

q = KS (Tf₁ − Tp).

Superficie interna sistema dei flussi.

q = K₁ 2πR₁ (Tw − T₁).

q = (T₁ − T₂)/[ln(R₂/R₁)/(2πλ_m) + ln(R₃/R₂)/(2πλ_i)].

T₁ e T₂ sono incognite.

Superficie esterna Tw > Ta.

q = K₁ 2πR₃ (T₂ − Ta).

q [1/(2πR₁K₁) + ln(R₂/R₁)/(2πλ_m) + ln(R₃/R₂)/(2πλ_i) + 1/(2πR₃K₂)] = Tw − Ta.

q = (Tw − Ta)/[1/(K₁R₁) + ln(R₂/R₁)/λ_m + ln(R₃/R₂)/λ_i + 1/(K₂R₃)].

Le condizioni al contorno sono del terzo tipo.

L'equazione è la stessa del flusso attraverso una lastra piana; allo spessore è sostituito il logaritmo dei raggi.

Possiamo fare un'applicazione: cambiamo lo spessore dell'isolante. Abbiamo 2 scambi: per conduzione e per superficie. Lo spessore è R₃ – R₂, aumentando R₃ la resistenza conduttiva logaritmica diminuisce e quella superficiale aumenta. Note le temperature il flusso termico:

q = 2π(Tw − Ta)/[ln(R₃/R₂)/λ_i + 1/(K₂R₃)].

Se non c'è isolante R₃ ≡ R₂.

Le resistenze hanno un andamento logaritmico ma una aumenta e una diminuisce.

Quello che ci interessa è la somma delle resistenze, studiando l'andamento dell'eventuale presenza di un minimo.

d/dR₃ [ln(R₃/R₂)/λ_i + 1/(K₂R₃)] = 0.

1/(λ_iR₃) − 1/(K₂R₃²) = 0.

R₃ = λ_i/K₂.

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