Appunti Fisica I

La meccanica

• la cinematica → descrivere lo stato di moto
• la dinamica → perché del movimento

Dinamica del punto materiale

Il punto materiale è un modello → un'idealizzazione creata per studiare il moto efficace. Sarebbe impossibile studiare tutti i casi specifici.

Esempio: calcolare il tempo impiegato da un corpo a cadere da una certa altezza, per arrivare ad una relazione del tipo h(t) che può essere espresso con un numero.

Prendiamo il punto che compie un moto su grandi distanze

• Moto rettilineo: è un'altra idealizzazione/modello

Moto rettilineo

• Si svolge su una retta.
• Devo introdurre il sistema di riferimento
• S.I. misura internazionale
  • L = m
  • mm = 10^-3
  • _m = 10^-6
  • coordinati spaziali
• Devo introdurre la coordinata temporale
  • L = s
• Ha senso avere tempi negativi (prima dello 0, cioè prima che parta il riferimento temporale)

x(t)

t₄ → t₄ → x₁ x₂

Diagramma orario

Il grafico rappresenta la legge oraria

x presa in funzione del tempo

x(t) = at + b

x(0) = b

percorrere spazi uguali in tempi uguali

moto rettilineo uniforme

x(t) = at² + bt + c

legge oraria di tipo quadratico

a < 0

moto uniformemente accelerato

x(t) = A - e^-t/τ

legge oraria esponenziale

x = A (1 - e^-t/τ)

legge oraria sinusoidale

moto periodico → moto armonico

legge oraria esponenziale + moto armonico → moto armonico smorzato

x(t) → v(t) = _dx/_dt

x(t) = x_o + v_s ⋅ t

geometricamente la velocità è il coeff. angolare alla retta tangenti

Con ferocia se ho la velocità → voglio ricavare lo spazio? v(t) → x(t)? uso le INTEGRALE

x_i = x_i + v_i (t₂ - t₁)

x_f - x_i = v_f ⋅ Δt

Se ho la velocità una afferime

t_o, t_i ⇒ v(t_o)

t₂ = t_o + Δt

x(t₂) = X(t_o) + v(t_o) ⋅ Δt

x(t_i) = x(t_n₁) + v(t_i) ⋅ Δt

X_i = X_i + 2 v(t_n) ⋅ Δt

lim

X = X_i + ∫_ti^t₂ v(t) dt

v dx → v dt = dx → ∫ v dt = ∫ dx

∫_ti^t₂ x^t_f dt = ∫ dx = x_f - x_i =

= x_f = x_i + ∫_ti^xt_f v(t)dt

v(t) = _dx/_dt

x(t) = x(t_o) + ∫_to^xv(t)dt

T → y(T) = 0

O = h - ₁/² gt²

→ h = ₁/² gt² → T = ^√2h/_g

velocità con cui il corpo colpisce

v(T) = -√2hg

COSA ACCADE SE LO LANCIO DAL BASSO VERSO L’ALTO - ESEMPIO 2

v_y(T) = v₀ - gt

y_y(t) = v₀t - ₁/² gt²

• l'accelerazione è sempre negativa
• velocità prima ha segno positivo, dopo negativo

y_m = - y(T) = (v₀(v₀/^g) - _g/² (v₀/^g)²

= v₀²/^2g

ESERCIZIO

con che velocità il corpo cade?

^v(y)

• x₀ + v₀t + ₁/² at²
• v = v₀ + at

v₀ = v ^dx/_dt → a·dx = v·dv

X(t) = A sin(ωt + φ)

X'(t) = Aω cos(ωt + φ)

X₀ = A sin φ

v₀ = Aω cos φ

usando x₀, v₀ → trovo φ

x₀² = A² sin² φ

v₀² = (Aω)² cos² φ

(^X₀ /_A)² + (^v₀ /_Aω)² = sin² φ + cos² φ = 1

A² = x₀² + ( ^v₀ /_ω)² ⇒ A = √( x₀² + ( ^v₀ /_ω)²)

cerco φ

^x₀ /_v0 = ¹/_ω = tg φ

^v₀ /_√(3) = ^Aω/_√(3)

^{tg φ = ω}/_x0

non faccio l'arc tg perché non so se sono nel caso del grafico sopra o in quello sotto

1 coseno al segno della velocità

v₀ = Aω cos φ

v₀ ≥ 0

v₀ ≤ 0

^{φ = arctg}_x0/v0

^{φ = arctg}_x0/v0 + π

moto armonico:

velocità media

√[(x_f² - x_i²) = (ω² (x_i² - x_f²)

x_i

∫t0 ( - ω2 x) dx = -2 ω2∫XfXi x dx = 2 ω2 [x1xi] − ω2 (xf2 − xi2)

Differenza

- = + (-) = -( - )

v⃗_vf u⃗_vi v⃗ t⃗

v⃗ + (u⃗ - u⃗) = v⃗

Prodotto vettoriale

· = |v⃗||u⃗| cos θ

θ = 0 => s = |u⃗||v⃗|

θ = π => s = -|u⃗||v⃗|

s = |v⃗||u⃗| = v⃗ · u⃗

Proiezione di un vettore

s e_xs u⃗₁ n

s e_ys u⃗₂ u⃗₁s n⊥

definiamo la proiezione come u⃗₁ = u_s · i cos θ

asse ortonormale

u_i = u⃗ cos θ

u_j = u⃗ cos φ

φ + θ = π/2

=> u_j = u⃗ sin θ

u⃗ = u_i + u_j

u_i = u_i · i

u_j = u_j · j

u⃗_i / u⃗_j sono vettori componenti

ettraverso essi é possibile scrivere

u⃗ = (u⃗ · i) i + (u⃗ · j) j

u_s = u⃗ cos θ · i + u⃗ sin θ · j

ESERCIZIO

α = 2.183 t₂ = 510

v₀ = 50 m/s

33

J = α 0.0

v(t) = αt

J = α (t_f - t_i)

α = 0.5

v_me = v₀ + α(t_f + t_i) = 10 m/ 10

v(t) = αt + v₀

t₁ = 10

Moto Parabolico

a⃗ = d²r⃗ / dt²accelerazione costanti → a_x = costante                                     a_y = costantex(t) = v_x(t) = v_x(t₀) + a_x(t - t₀)          ·     3     u.      x(t) = x(t₀) + v_x(t₀)(t - t₀) + 1/2 a_x(t - t₀)²y) stessa cosa

In forma vettoriale:

a⃗ = costante (a_x, a_y)v⃗(t) = v⃗(t₀) + a⃗(t - t₀)r⃗(t) = r⃗(t₀) + v⃗(t₀)(t - t₀) + 1/2 a⃗(t - t₀)²      (vettore posizione)

a meno t₀ = 0

• v_x(0) = v_0x
• v_y(0) = v_0y
• x(0) = x₀
• y(0) = y₀

x(t) = x₀ + v_0xt + 1/2 a_xt²y(t) = y₀ + v_0yt + 1/2 a_yt²

Attenzione! Moto degli oggetti soggetti alla forza peso

a⃗ = (0, -g)

E tuttavia se ho già fissato così posso chiamare gẽ

g a⃗x

x = proiezione su x e é̃