Appunti Fisica I

Capitolo 4: I principi della dinamica

• La forza è una grandezza vettoriale e può produrre sia effetti dinamici sia deformazioni.

2

È una grandezza derivata e nel SI si misura in Newton (N = kg∙m/s ).

• L’effetto complessivo di più forze è equivalente alla loro risultante (Principio di

sovrapposizione).

• Le forze si possono compensare a vicenda e un corpo, inizialmente fermo, resta in

equilibrio se la risultante delle forze applicate è nulla.

• Un’interazione fra due corpi determina forze su entrambi.

• I vincoli sono corpi che limitano la libertà di moto di un corpo agendo su di esso mediante

forze che prendono il nome di reazioni vincolari.

• I Principi della dinamica classica descrivono correttamente il moto dei corpi macroscopici

quando, rispetto all’osservatore, tali corpi si muovono con velocità piccole rispetto a quella

della luce nel vuoto (altrimenti si deve ricorrere alla Relatività ristretta).

• Il comportamento di un corpo è strettamente correlato alla presenza di altri corpi, ovvero

alle interazioni che ha con l’ambiente in cui si trova.

Forze

I due principali obiettivi della dinamica sono:

1. Lo studio delle leggi del moto di un dato corpo soggetto a forze note

2. La derivazione delle leggi che regolano le interazioni fra i corpi, attraverso lo studio dei loro

moti

Ogni volta che si esercita un’azione a contatto con un corpo, questo subisce una deformazione,

piccola o grande che sia.

Quindi possiamo fare alcune considerazioni:

• Le forze si presentano in coppie, ovvero due corpi che interagiscono esercitano forze l’uno

sull’altro.

• Le forze si caratterizzano con: intensità, direzione orientata e regione di applicazione.

• Le forze possono produrre variazioni dello stato di moto dei corpi su cui agiscono.

• Le forze possono deformare i corpi su cui agiscono.

• Le forze possono compensarsi a vicenda, assicurando l’equilibrio di corpi soggetti a

interazioni con altri corpi.

Si hanno due tipi di forze:

• Forze a contatto: si manifestano solo se c’è contatto fisico tra i corpi interagenti.

• Forze a distanza: si manifestano anche se i corpi non si toccano (calamite).

In conclusione, le forze hanno due tipi di effetti: modificano lo stato di moto dei corpi su cui

agiscono e/o li deformano.

Definizione operativa delle forze

Le forze vengono definite in maniera operativa da uno strumento che prende il nome di

dinamometro.

Il dinamometro ci permette di misurare diverse deformazioni e quindi di confrontare diverse forze.

Se le deformazioni sono uguali lo saranno anche le forze applicate.

Utilizzando tre dinamometri posso verificare se la forza è una grandezza vettoriale; si sfrutta il

fatto che le forze, nel caso del dinamometro, si sommano come vettori.

Questa proprietà prende il nome di Principio di sovrapposizione delle forze o di indipendenza delle

azioni simultanee.

Quindi, sfruttando le proprietà vettoriali delle forze in varie situazioni sperimentali, è possibile

verificare che quando un corpo è in equilibrio la somma vettoriale di tutte le forze agenti su di esso

è nulla.

Reazioni vincolari

Le interazioni di un corpo con gli oggetti presenti nell’ambiente circostante presentano molte

caratteristiche: alcune forze agiscono in modo attivo (es. mettono il corpo in movimento…) altre

invece limitano il moto (non sempre in modo assoluto).

Un corpo posto su un tavolo sente l’effetto di una forza dovuta alla presenza del vincolo

orizzontale la quale evita di farlo sprofondare.

Questa forza rappresenta l’interazione di contatto fra piano e corpo e la sua intensità dipende dal

grado di contatto.

Il piano impedisce al corpo di compiere alcuni movimenti e per questo motivo viene considerato

un vincolo e quindi la sua forza viene detta reazione vincolare.

La reazione vincolare di un piano di appoggio ha sempre direzione e verso tali da respingere il

corpo e non ad attrarlo.

Questa forza può avere sia componente tangenziale sia perpendicolare.

Il vincolo viene detto liscio se è in grado di reagire solo con una forza perpendicolare alla

superficie.

Al contrario (quando si hanno entrambi i componenti) viene detto scabro e il componente

tangenziale della reazione vincolare prende il nome di attrito.

Il modulo del componente normale della forza esercitata da un vincolo su un corpo non è sempre

uguale al modulo della forza peso.

Principi della dinamica

I tre principi della dinamica (o di Newton) sono validi solamente in sistemi di riferimento inerziali-

1. Un punto materiale non soggetto a forze, o soggetto a forze che si equilibrano, mantiene

una velocità costante (eventualmente nulla).

2. L’accelerazione di un punto materiale è proporzionale alla risultante delle forze agenti su di

esso. ⃗

3. Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, questo a sua volta esercita su A una forza

%%%%%⃗ , uguale e contraria alla precedente e con la stessa retta di azione.

−

Primo Principio della Dinamica

Sappiamo che se un punto materiale è in quiete la risultante delle forze agenti su di esso è nulla.

In assenza di forze applicate il vettore velocità si mantiene costante ovvero non cambia né in

modulo né in direzione né in verso.

Poiché la tendenza a non cambiare viene chiamata inerzia Newton formulò un principio detto

Principio di inerzia:” Quando un punto materiale non è soggetto a forze ha velocità costante”.

Si può dire che lo stato naturale di un corpo è il moto rettilineo uniforme, di cui la quiete è un caso

particolare (v = 0).

In natura, se non ci fosse attrito, un corpo, una volta messo in moto, continuerebbe a muoversi

liberamente a velocità costante.

Sistemi di riferimento inerziali

Il principio di Newton è valido solo per alcuni sistemi di riferimento detti inerziali.

Per verificare se un sistema di riferimento è inerziale è necessario che un osservatore di tale

sistema di riferimento individui almeno un corpo libero, non soggetto a forze (isolato) o soggetto a

forze con risultante nulla, e ne studi il moto: se il corpo è in quiete o si muove con velocità

costante allora il sistema di riferimento è inerziale.

Una volta assicurata l’esistenza di un sistema di riferimento inerziale S , si può affermare che

0

esistono infiniti sistemi di riferimento inerziali ovvero tutti quelli che traslano di moto rettilineo

uniforme rispetto a S .

0

Enunciato Primo Principio della Dinamica:

Esiste almeno un sistema di riferimento (inerziale) rispetto al quale ogni punto materiale libero ha

velocità costante.

In un sistema di riferimento inerziale se un punto materiale libero è inizialmente in quiete resta in

quiete.

Proprio per questo motivo un sistema di riferimento terrestre non può essere inerziale; spesso

però la non inerzialità può essere trascurata perché il modulo dell’accelerazione dei punti della

superficie terrestre rispetto al sistema di stelle lontane è sufficientemente piccolo rispetto a g.

Secondo Principio della Dinamica

Le forze determinano un cambiamento nel moto dei corpi, ovvero una variazione di velocità, e

quindi un’accelerazione.

I vettori forza e accelerazione sono proporzionali fra loro e questa proporzionalità sussiste anche

se le forze agiscono in direzioni diverse da quella della velocità; la conseguente accelerazione

porta a variazioni anche nella direzione della velocità stessa.

Le forze soddisfano il Principio di sovrapposizione anche in condizioni dinamiche.

La proporzionalità tra forza e accelerazione vale anche in presenza dell’azione di più forze purché

si consideri la forza complessiva, risultante della somma vettoriale delle varie forze agenti.

Istante per istante forza risultante e accelerazione risultano proporzionali, attraverso una costante

scalare tipica del corpo che prende il nome di massa inerziale.

Enunciato Secondo Principio della Dinamica:

In un sistema di riferimento inerziale, l’accelerazione di un corpo è sempre dovuta all’azione di

forze; tra la forza risultante e l’accelerazione sussiste in ogni istante la relazione:

%%⃗ %%%%%%%%⃗

()

& = ()

!

"

Questa legge permette di conoscere e prevedere ogni dettaglio del moto di una qualsiasi

particella, una volta che siano note le condizioni iniziali e la legge della forza.

Massa inerziale

La massa inerziale è una grandezza caratteristica di ogni corpo.

Non dipende dalla forma del corpo ma dalla “quantità di materia” in esso contenuta.

L’aggettivo inerziale riflette la proprietà per cui, a parità di forza applicata a corpi diversi, quello

con accelerazione maggiore ha massa inerziale minore.

È quindi un valore che va a misurare come il punto materiale tenda a conservare la propria

velocità.

La massa inerziale inoltre è la proprietà che attribuisce carattere fisico al punto materiale, il quale

altrimenti avrebbe solo connotazioni geometriche

Proprietà massa inerziale:

• È una grandezza additiva

• È costante durante il moto poiché è indipendente da esso

Le misurazioni della massa inerziale vengono effettuate utilizzando la bilancia a due bracci.

Due corpi qualsiasi, con la stessa massa inerziale, posti sui piatti della bilancia la mantengono in

equilibrio.

È importante analizzare il legame fra massa inerziale e massa gravitazionale (grandezza che

caratterizza la capacità dei corpi di interagire fra loro mediante forze gravitazionali).

Inoltre, poiché la massa è caratteristica di ciascun corpo, al contrario del peso, non dipende dal

luogo di misurazione.

Principio di Azione e Reazione (⃗

Tutte le volte che un corpo subisce l’azione ) da parte di un secondo corpo, anche quest’ultimo

#

(⃗

è soggetto a una forza ) per effetto del primo.

$

Queste due forze sono opposte e agiscono sulla stessa retta di azione e prendono il nome di

azione e reazione.

È fondamentale ricordare che le due forze sono applicate a corpi diversi.

Quantità di moto

Dato un corpo puntiforme di massa m avente velocità in un istante generico t, si definisce

⃗

quantità di moto del corpo il vettore: ⃗ = ⃗

In un sistema di riferimento inerziale, una particella soggetta a forze con risultante nulla si muove

con velocità costante; poiché la sua massa è costante lo sarà anche la quantità di moto.

Ulteriore enunciato Primo Principio della Dinamica:

Esiste almeno un sistema di riferimento (inerziale) rispetto al quale ogni punto materiale libero ha

quantità di moto costante.

Se invece la risultante delle forze non è zero la quantità di moto cambierà nel tempo:

⃗

= ⃗ + ⃗

%&'⃗

⃗

La relazione è la generalizzazione del Secondo Principio: “In un sistema di riferimento

= %)

inerziale, ogni volta che cambia la propria quantità di moto, esiste almeno una forza responsabile

di tale cambiamento; fra forza risultante e quantità di moto sussiste la relazione sopra descritta”.

Questa equazione è valida nei casi in cui la massa è variabile.

Impulso di una forza ⃗

Si definisce impulso di una forza nell’intervallo di tempo la grandezza vettoriale:

) ! ⃗

⃗ = 2

) " ⃗

⃗

Se la forza è costante nell’intervallo l’impulso può essere scritto come: .

∆ = ∆

⃗

Se su un corpo agiscono più forze l’impulso totale è uguale alla somma vettoriale degli impulsi

delle singole forze.

Teorema dell’impulso (o della quantità di moto):

⃗ = ∆⃗

Ovvero l’impulso della forza risultante che agisce su un punto materiale, nell’intervallo di tempo

è uguale alla variazione di quantità di moto in

∆, ∆.

⃗

L’equazione si ricava sfruttando la relazione: = ⃗.

L’impulso ricevuto da un corpo può essere diverso da zero anche quando nell’urto resta invariato il

modulo della velocità.

Momento angolare

Il momento angolare è anche detto momento della quantità di moto.

Il momento rispetto ad un generico polo è: ∗

(

%%%%⃗ = ⃗ − %%%⃗)

× ⃗ = ⃗ × ⃗

* *

∗

dove è il vettore che congiunge il polo con il punto materiale e la quantità di moto.

⃗ ⃗

Scegliendo come polo un punto fisso, la derivata del momento della quantità di moto è uguale al

momento risultante delle forze agenti su quel punto:

%%%%⃗

*

⃗

(

%%%%%%⃗ = ⃗ − %%%⃗)

× =

* *

Quindi se il momento risultante delle forze è nullo, il momento angolare è costante.

Per le forze centrali il momento angolare rispetto al centro di forza si conserva.

La conservazione del momento angolare dipende quindi esclusivamente dalla direzione di tali

forze e non dalla loro intensità.

Teorema del momento dell’impulso: ) !

∆

%%%%⃗ = 2

%%%%%%⃗()

* *

) "

Approfondimento: Massa e peso

In ogni punto P, per due corpi generici, è valida la seguente relazione:

,$ $

=

,# #

In un dato punto P, corpi diversi, soggetti unicamente alla forza peso, si muovono con la stessa

accelerazione Dal Secondo Principio della Dinamica, che collega forza e accelerazione mediante

⃗.

la massa inerziale m , si trova che:

i

"$ $

=

"# #

Avremo quindi che:

,$

"$ =

"# ,#

E dalle relazioni viste possiamo dire:

• La misura statica dei pesi, con il dinamometro, può servire anche per la misura del

rapporto fra le masse inerziali.

• Per ogni corpo il rapporto fra m e m è costante e indipendente dal corpo.

g i

• Scegliendo lo stesso corpo come campione di m e m , si possono caratterizzare queste

g i

proprietà con lo stesso valore m e parlare semplicemente di massa.

• Della massa si può quindi dare sia una misura dinamica (proprietà inerziali) sia una misura

statica (proprietà gravitazionali).

Capitolo 5: Applicazioni dei principi della dinamica

Forze costanti

La situazione più semplice da analizzare è quella in cui le forze non dipendono da alcun parametro

e sono costanti.

Se nel caso da analizzare la forza non è applicata al corpo ma ad un filo inestensibile orizzontale

allora le forze che agiscono sul corpo sono: forza peso, reazione vincolare e tensione del filo.

• Nel caso in cui la massa del filo sia trascurabile avremo che in ogni punto del filo la

tensione sarà la stessa; quindi un filo ideale si limita a trasmettere la forza applicata da un

estremo all’altro. (Esempi pag.190-191)

• Se la massa del filo non è trascurabile (distribuita in modo omogeneo) la tensione del filo

sarà diversa da punto a punto.; inoltre la tensione crescerà all’aumentare della coordinata

d (distanza dal punto di attacco sul corpo).

Forze elastiche e legge di Hooke

Fili, molle e barrette con massa trascurabile si limitano a trasmettere le azioni delle forze da un

estremo all’altro.

Più nello specifico vediamo che i fili si prestano solamente ad esercitare trazioni mentre molle e

barrette esercitano anche compressioni.

Le forze esercitate dalle molle sono un esempio di forze che dipendono solo dalla posizione.

Nel caso di una molla ideale, la forza ha modulo proporzionale alla deformazione della molla e

agisce nel verso opposto.

La relazione che esprime quanto detto prende il nome di Legge di Hooke:

"""⃗

= − ̂

!

Dove k è la costante elastica della molla e x indica la variazione di lunghezza e prende il nome di

allungamento o deformazione.

• La molla ideale agisce in entrambi gli estremi con forze uguali e opposte.

• Si può dimostrare che un corpo su cui agisce una forza elastica si muove di moto

"

oscillatorio armonico la cui legge oraria è ̈ + = 0.

#

• Il valore della costante elastica dipende da vari parametri tra cui la natura del materiale e il

numero di spire (meno spire ci sono più la molla è rigida).

• Il sistema formato da due molle in serie avrà una costante elastica complessiva che è la

metà di quella di ciascuna molla.

• Il sistema formato da due molle in parallelo avrà una costante elastica complessiva che è il

doppio di quella di ciascuna molla.

La legge di Hooke perde di validità per le grandi deformazioni; inoltre, se la deformazione diventa

eccessiva il corpo si spezza, oppure, non riesce più a tornare alla configurazione originaria

(deformazione permanente).

Quindi possiamo dire che la caratteristica principale delle forze elastiche è quella di opporsi alle

deformazioni.

Ciò garantisce la stabilità dei sistemi deformati, che oscillano attorno a configurazioni di equilibrio.

In conclusione, la legge di Hooke è una legge empirica che ha validità limitata a piccole

deformazioni: in una molla, la proporzionalità tra deformazione e forza risultante non si estende

oltre un limite caratteristico detto limite elastico, dipendente dai materiali costitutivi e dalla

geometria del corpo.

Il pendolo semplice

Oggetto di massa m collegato ad un sostegno rigido tramite un filo inestensibile di massa