Appunti esame Statistica

J

rifiuto (di ). Si osserva il valore della statistica nel

J

campione osservato per vedere su quale regione cade e quale

delle due ipotesi supporta. Come statistiche test si considerano

statistiche sufficienti, che colgono tutta l’informazione sul

parametro presente nel campione. Esiste un modo alternativo ̅

Valori “piccoli” di daranno ragione a ; valori “grandi” di

J

di svolgere il test, basato sul concetto di p-value (livello di ̅

daranno ragione a . La ragione di rifiuto del test è data dai

#

significatività osservato). valori “grandi” della media campionaria, cioè valori maggiori

{̅

= > }.

rispetto a una certa soglia k:

In un test si possono commettere due tipi di errori: Per il test di secondo tipo:

•

errore di 1° specie: rifiutare anche se è vera;

J J

•

errore di 2° specie: non rifiutare anche se è : = ( ≥ )

J J J J J

¥

falsa. : < ( = < )

# J # # J

L’errore più preoccupante è il primo perché l’ipotesi nulla è

quella a cui siamo più interessati. è la probabilità di

commettere l’errore di prima specie, cioè che la statistica test

cada nella regione di rifiuto quando è vera: livello di

J

) ).

= (( , … ∈ |

significatività del test # $ J

è la probabilità di commettere l’errore di seconda specie,

cioè che la statistica test cada nella regione di accettazione ̅

Valori “grandi” di daranno ragione a ; valori “piccoli” di

J

) ).

= (( , … ∈ | 1 −

quando è falsa: è la ̅

J # $ # daranno ragione a . La ragione di rifiuto del test è data dai

#

potenza del test. Si cerca di ottenere un valore piccolo e una valori “piccoli” della media campionaria, cioè valori minori

potenza del test elevata con piccolo, ma non è possibile {̅

= < }.

rispetto a una certa soglia k:

minimizzare contemporaneamente i due valori perché se

aumenta diminuisce e viceversa. Di solito si fissa ad un Per il test di terzo tipo:

= 0,1; 0,05; 0,01; …) .

livello accettabile ( e poi si controlla : =

Per ciascuno dei problemi inferenziali, si possono testare tre J J

¥

: ≠

diverse ipotesi (tre diversi test d’ipotesi) che si differenziano # J

per il segno dell’ipotesi alternativa: ̅

Valori di in un intorno di daranno ragione a ; valori di

J J

̅

molto più grandi/piccoli di daranno ragione a . La

J #

{(̅

= < ) ∪ (̅ > )},

ragione di rifiuto del test è con

# &

e soglie.

&

~(, )

Il test su con nota di una pop. normale si # &

basa sulla media campionaria come statistica sufficiente. La

distribuzione campionaria della media campionaria è:

&

̅ −

̅ ~(, ) ⇒ ~(0,1)

,

La soglia viene calcolata in funzione di facendo in modo

√

che il test abbia un valore di fissato. Nel primo tipo di test:

Per il test di primo tipo: −

E

) | )

= (| = (̅ > = > =

§ ©

¨

: = ( ≤ )

J E J J

J J J

¥

: > ( = > ) √

# J # # J −

Estraiamo un campione e osserviamo la media campionaria: E J

= ( > ) = ( > )

E

√

14

> : =

= +

Quindi: . J J

¥

E J E √$ : <

# J ,̅

= < −

«̅ ¬.

La ragione di rifiuto del test è Per

J $"#,E √$

il test di terzo tipo: : =

J J

¥

: ≠

Nel secondo tipo di test: # J ,̅

WWW

= < − )∪

«(

La ragione di rifiuto del test è

− J $"#,E √$

E

) | )

= (| = (̅ < = < =

§ ©

¨

J E J J ,̅

(̅ > + )¬.

J $"#,E

√ √$

Il test su p di una pop. di Bernoulli si effettua solo su grandi

−

E J

= ( < ) = ( < − ) campioni. La statistica sufficiente su cui si basa il test è la

E ̂

proporzione osservata di successi :

√ (1 − ) ̂ −

>

= −

Quindi: . ̂ ~(, )⇒ ~(0,1)

E J E √$ -(1 − )

Per il test di primo tipo:

: = ≤

J J J

¥

: > = >

# J # J

Nel terzo tipo di test: {̂ }

= >

La ragione di rifiuto del test è con tale che:

E E

−

⎛ ⎞

E

) | ) °

= (| = (̂ > = >

J E J J

(1 − )

-

⎝ ⎠

−

E J

⎛ ⎞

= > = ( > )

E

(1 )

−

- J J

⎝ ⎠

B (#"B ) B (#"B )

- -

= + = > +

) ) ) )

ŷ z

e

E J E J E

$ $

Per il test di secondo tipo: ( )

: = ≥

J J J

¥

Quando è incognita, la statistica sufficiente su cui si basta ( )

: < = <

# J # J

il test è sempre la media campionaria: {̂ }

= <

La ragione di rifiuto del test è con:

& E

̅ − ̅ −

̅ ~(, ) ⇒ ~(0,1) ⇒ ~

$"#

̅

√ √ (1 − )

J J

›

= −

E J E

Per il test di primo tipo: Per il test di terzo tipo:

: =

J J

¥

: >

# J : =

J J

¥ : ≠

# J

,̅

= > +

«̅ ¬.

La ragione di rifiuto del test è Per

J $"#,E √$

il test di secondo tipo: #E &E

{(̂

= < ) ∪ (̂ > )}

La ragione di rifiuto del test è

con:

15 Ad esempio:

(1 − )

J J

›

#E

= −

E

J

& •

p-value = 0,45 > qualsiasi che possiamo scegliere,

;

quindi dà ragione ad per qualunque

J

•

p-value = 0,000023 < qualsiasi che possiamo

(1 − )

J J ;

›

&E scegliere, quindi dà ragione ad per qualunque

= +

E #

J •

&

p-value = 0,061 dipende da che abbiamo scelto. Se

= 0,05 il p-value è maggiore e diamo ragione ad

, ma se = 0,1 il p-value è minore e diamo

P-value J

ragione ad .

#

Un metodo alternativo per fare un test prevede l’uso del p- Per il calcolo del p-value dobbiamo applicare la definizione.

value, cioè del livello di significatività osservato. Il p-value è Nel primo caso (ipotesi alternativa ha segno >):

la probabilità di osservare un valore della statistica test più

estremo (rispetto ad : se ha segno minore, “più piccolo”;

# # : = ( ≤ )

se ha segno maggiore, “più grande”) di quello effettivamente J J J

¥

osservato condizionatamente ad (se fosse vera ). Ad : > ( = > )

J J # J # # J

esempio: )

− = (( … > ( … )| )

# $ # $ J

: = 0,5

J = 25 ̂ = 0,75

¥ , e

: = 0,8

# In questo caso il p-value è la probabilità che la statistica test

sia maggiore del valore osservato della statistica test nel

In questo caso il p-value è la probabilità di osservare un valore

campione dato .

J

della statistica test (̂ ) più grande di 0,75 condizionatamente

̂ (1 −

ad . Se fosse vera , i parametri di sarebbero e

J J J J

)/. Dato che l’ipotesi nulla dice che p = 0,5 la curva della

J

normale è centrata su questo valore. Nel caso in cui l’ipotesi alternativa abbia segno di minore:

: = ( ≥ )

J J J

¥ : < ( = < )

# J # # J

) )| )

− = (( … < ( …

# $ # $ J

Quindi stiamo calcolando con il p-value l’area tratteggiata in

̂

rosso, cioè quando osservato è maggiore di 0,75. Questo In questo caso il p-value è la probabilità che la statistica test

valore cade nella regione di rifiuto (dà ragione all’ipotesi sia minore del valore osservato della statistica test nel

̂

alternativa). Valori di che danno ragione all’alternativa sono

campione dato .

J

sempre associati a p-value piccoli. Vediamo un altro caso:

: = 0,5

J = 25 ̂ = 0,55

¥ , e

: = 0,8

# Nel caso in cui l’ipotesi alternativa abbia segno di diverso:

: =

J J

¥ : ≠

# J

̂

Il valore = 0,75 dà ragione all’ipotesi nulla. In questo caso il Il p-value è il doppio del corrispondente p-value con

p-value è la probabilità di osservare un valore della statistica alternativa unidirezionale.

test (̂ ) più