Appunti esame Statistica

Statistica Lez 1

Osservazioni su variabile X (x₁, x₂, x₃, ..., x_m)

• Variabili
  • Tipo qualitativo
    • Tipo ordinabile
      • Esempio: giudizi come buono, distinto, ottimo...
    • Tipo non ordinabile
      • Esempio: gusti di gelato nocciola, pistacchio, fragola...
  • Tipo quantitativo
    • Discrete
      • Esempio: numero figli o esami fatti
    • Continue
      • Esempio: altezza, peso

La statistica permette di passare dalle osservazioni x₁, x₂, x₃, ..., x_m a una classificazione che le aggruppa in classi omogenee al loro interno ed eterogeneità di loro

Il numero delle classi M_i dovrà essere molto minore delle osservazioni N

x₁, x₂, x₃, ..., x_m

Studiare delle diverse modalità della caratteristica X

Con le classi perdo il collegamento con le unità statistiche che si mischiano e raggruppano

Numero di unità statistiche che presentano la prima modalità X detta primaria

Modalità della caratteristica X

Mo = la prima modalità della caratteristica X

∑_i=1^mm_i = n

Esempio variabile qualitativa ordinabile

Mi Xi i m₁ Frequenza assoluta

1 2

2 3

2 7

Xi mi

1 2

2-3 3

4 2

7

Diviso per l'ampiezza [Non c'importa il valore dei numeri ma quanti numeri sono]

m_i = Xi

3 / 2

Perché 2 e 3 sono 2 numeri

una delle due ha ampiezza 3 e

nell'istogramma di frequenze la disposizione

cambia perché non posso mettere 6 quadretti

devo pensarlo come se avess. 6 unità

statistiche perchè ne ha 3 quali: devo

fare la media 3:2 = 1,5. ∞ vuote della

base mentre 1 sul 2 1 muto sul 3.

La media aritmetica gode di 5 proprietà

1) Proprietà di identità di somma

∑_i=1^mxᵢ = m * x̄

In un'operazione complessa del calcolo i valori di prodotto tra il numero di osservazioni per la media aritmetica

2) Proprietà di nullità degli scarti

∑ (xᵢ - x̄) = 0

La somma per i che va da 1 a m di xᵢ - meno la media è uguale a 0

3) Proprietà di minimo quadrato degli scarti

∑_i=1^m (xᵢ - x̄)² = min

DIM∑_i=1^m (xᵢ - c)² = ∑_i=1^m (xᵢ - c + x̄ - x̄)² = ∑_i=1^m [(xᵢ - x̄) + (x̄ - c)]² =

= ∑_i=1^m [(xᵢ - x̄)² + (x̄ - c)² + 2(xᵢ - x̄)(x̄ - c)] =

= ∑_i=1^m (xᵢ - x̄)² + ∑_i=1^m (x̄ - c) + ∑_i=1^m 2(x̄ - c)(xᵢ - x̄) =

= ∑_i=1^m (xᵢ - x̄)² + m(x̄ - c)² + 2 * (x̄ - c) ∑_i=1^m (xᵢ - x̄) =

= ∑_i=1^m (xᵢ - x̄)² + m(x̄ - c)²

Indicatori di posizione

• Mediana → qualitativi ordinabili
• Moda → valore al quale corrisponde la frequenza più elevata

Media aritmetica ponderata

• ¹X_i voto 27, 28, 24
• ¹CFU 6, 12, 11

_xX_pn = ^{∑_i=1m X_i W_i} / _{∑i=1^m Wi}

_xX_- = ^{∑_k=1m X_i η_i W_i} / _{∑mⁿ=1 Mi Wi}

Media aritmetica trimmed

Visto che la media è sensibile ai valori estremi in questa versione questi ultimi vengono tagliati.

Una media trimmed al 50% vuol dire che negli estremi di media setto ho tolto il 25% più basso e il 25% più alto.

Una trimmed al 80% → tolgo 10% più basso e 10% più alto

2) MASSIMA CONCENTRAZIONE: tutte le unità non hanno nulla tranne una unità che ha l'ammontare complessivo del carattere.

X₁ = X₂ = ... X_n-1 = 0

X_M = ∑ x = n x̄

RAPPORTO DI CONCENTRAZIONE DI GINISi riferimento a 2 oggetti: le FREQUENZE CUMULATE DELLA POPOLAZIONEX₁, X₂, ... X_m ORDINATI

F_i = ȳ_i / n A_i = X₁ + X₂ + ... X_i

A_i / A = Q_i: FREQUENZE CUMULATE DEL CARATTERE

SE F_i = Q_i: HO EQUIDISTRIBUZIONE [85 10% pop poneva ha il 10% del reddito]

CON IL CARATTERE ORDINATO L'ALTERNATIVA È CHE F_i > Q_i

R = ∑ (F_i - Q_i) ^m+1 _i=1  TANTO PIÙ È MAGGIORATO TANTO PIÙ C'È CONCENTRAZIONE

Ε' UN INDICATORE NORMALIZZATO CHIASSI MANIERA TRA 0 E 1 CURNO E DIVISOPER IL SUO MASSIMO, LO 0 E L'EQUIDISTRIBUZIONE E L'1 E LA MASSIMA CONCENTRAZIONE

L’assimmetria si misura facendo riferimento ai momenti della distribuzione.

Il momento primo:

• _m1 → x̄ = ¹/_n ∑_ix_i = x̄

Momento secondo:

• _m2 = ¹/_n Σ_i (x_i - x̄)² = σ²

Momento terzo:

• _m3 = ¹/_n Σ_i (x_i - x̄)³

Momento quarto:

• _mu = ¹/_n Σ_i (x_i - x̄)^u

Indice di asimmetria

Indice Fisher

β = ^M₃/_σ3

L’indice = 0 nel caso di distribuzione simmetrica, >0 nel caso di asimmetria positiva e <0 nel caso di asimmetria negativa.

Con asimmetria positiva la media aritmetica > mediana mentre con asimmetria negativa il contrario. In caso di distribuzione simmetrica x̄ = x̄_me.

Frequenze Teoriche

m_i,j^* = m_i,0 * m_0,j / n

m^*_1,1 = m_1,0 * m_0,1 / n

m^*_i,s = m_i,0 * m_0,s / n

Questa cosa non vale per la dipendenza

m_i,j = m^*_i,j ⇨ indipendenza

m_i,j - m^*_i,j = c_i,j ⇨ il valore è noto come contingenza

I valori teorici sono sempre ≠ 0

Solo se X e Y sono qualitative e simmetriche (cioè se X indipendente da Y anche Y è indipendente da X)

RAPPORTO DI CORRELAZIONE η²

η² = _{VARIANZA TRA}/^{VARIANZA TOTALE}

η² = _{1/n ∑j=1^k (x̄j - x̅ )² nj}/^{1/n ∑_i=1n (x_i - x̅ )2}

È un rapporto tra una parte e il tutto, visto che la varianza totale è il tutto col massimo l'indicatore

0 ≤ η² ≤ 1

η² = 0 ⇒ TUTTE LE MEDIE PARZIALI SONO UGUALI TRA LORO E SONO UGUALI A x̅.

x̄_j/x̄ = x̅ ∀ j

η² = 1 ⇒

_{VARIANZA TRA} = ^{VARIANZA TOTALE}

QUANDO LA VARIANZA ENTRO = 0 E ANNULLA LA VARIANZA TOTALE. LA VARIANZA ENTRO È UGUALE A 0 QUANDO DENTRO AI GRUPPI NON C'È VARIABILITÀ, LE VARIANZE ENTRO I GRUPPI SONO NULLE.

Y₁Y_kX₁3000000000X_M1020

Nelle distribuzioni sparse in tutti gli n² forme un elemento ho la variabilità massima

ossia tutti numerati negli n₂

ossia assenza di variabilità