Appunti Matematica per la formazione di base 2

Parte tre: GEOMETRIA (Prof. Ciraulo)

Capitolo 1: Introduzione alla geometria

Geometria= creazione umana.

Importanti I fondamenti della geometria di Hilbert: no intuizione; logica matematica; punto, retta, piano, "giacere su" e "essere compreso tra" non definiti (solo esplicitate le loro proprietà); assiomi tengono conto della continuità.

Pensiero geometrico si sviluppa diversamente in base all'educazione e alle esperienze del bambino.

Possono essere individuati cinque livelli di sviluppo:

1. Livello visivo
2. Livello descrittivo
3. Livello relazionale
4. Livello deduttivo
5. Livello del rigore geometrico

La geometria nella normativa scolastica italiana: dall'unità d'Italia al 1985 c'era uno spazio ridotto alla geometria, poi i Programmi del 1985 riconoscono la valenza formativa della geometria

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econtengono obiettivi dettagliati anche per questa, infine le Indicazioni Nazionali del 2012 nericonoscono l'importanza anche alla scuola dell'infanzia.

Capitolo 2: Le definizioni degli enti geometrici

DEFINIZIONI (bisognerebbe dare per ogni nozione anche una definizione operativa, ovvero che dicacome costruirne esempi):

Congruenza: due figure si dicono congruenti quando sono uguali per forma e dimensioni anche sepossono trovarsi in luoghi diversi del piano e con orientamento differente. Prevede un movimentorigido, che non le deforma (= isometrie): spostamento, ribaltamento o rotazione. L'esserecongruenti è una relazione di equivalenza.

Segmento: il percorso più breve tra due punti (l'idea di segmento è primitiva, viene quindi primadell'idea di retta).

Punto medio: punto che divide il segmento in due parti congruenti tra loro.

Semiretta: ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da un punto (=origine).

Rette incidenti: hanno un solo

punto in comune.

Rette parallele: non hanno nessun punto in comune.

Angolo: ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi la stessa origine.

Angoli consecutivi: hanno un lato in comune

Angoli adiacenti: sono angoli consecutivi che giacciono sulla stessa retta

Bisettrice di un angolo: divide l'angolo in due angoli congruenti e consecutivi

Opposti al vertice: hanno il vertice in comune e i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro

Angoli complementari: la cui somma è 90°

Angoli supplementari: la cui somma è 180°

Angoli esplementari: la cui somma è 360°

Angoli cuti: minori di 90°

Angoli ottusi: maggiori di 90°

Angolo retto: ciascuno degli angoli formati da due rette perpendicolari (90°)

Angolo piatto: doppio dell'angolo retto (180°)

Angolo nullo: 0°

Angolo giro: 360°

Vertici consecutivi: appartengono allo stesso lato.

Diagonale: ogni segmento che congiunge due vertici non

consecutivi.

Poligono concavo: ha almeno una diagonale che passa per punti esterni (esistono almeno due suoi punti tali che il segmento che li congiunge passa per qualche punto esterno al poligono).

Poligono convesso: tutte le diagonali sono interne (i segmenti che congiungono due punti qualsiasi del poligono sono sempre tutti contenuti nel poligono).

Poligoni regolari: hanno tutti i lati e gli angoli congruenti tra loro.

Triangolo: la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è sempre un angolo retto, cioè 180°.

Cerchio: è la figura racchiusa dalla circonferenza di centro C e raggio CP

Punto nella circonferenza: un punto è nella circonferenza se e solo se il segmento che congiunge C è congruente a CP (=raggio)

Circonferenza: linea descritta dal punto P quando si fa ruotare il segmento CP attorno al centro C di un angolo giro

Capitolo 3: Le proprietà delle figure geometriche

Dimostrazione: è una giustificazione di un certo fatto

La dimostrazione di un teorema è costituita da una catena di ragionamenti logici che parte dai fatti noti (assiomi o fatti già dimostrati), ovvero l'ipotesi, e arriva a quello che si vuole dimostrare, ovvero la tesi.

Per quanto riguarda i triangoli, è possibile enunciare alcune proprietà:

1. In un triangolo, ogni lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza.
2. Criteri di congruenza:
   1. Due triangoli aventi ordinatamente congruenti due lati e l'angolo fra essi compreso sono congruenti (LAL).
   2. Due triangoli aventi ordinatamente congruenti due angoli (anche qualsiasi perché la somma degli angoli in un triangolo è sempre 180°) e il lato fra essi compreso sono congruenti (ALA).
   3. Due triangoli aventi i lati ordinatamente congruenti sono congruenti (LLL). In altre parole, due qualsiasi triangoli con i lati a, b e c congruenti tra loro sono congruenti.
3. Non è un criterio di congruenza il fatto che due triangoli abbiano gli stessi angoli.

Un triangolo isoscele è un triangolo che ha almeno due lati congruenti.

I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli.

Vertice: è il punto in comune fra i lati congruenti

Base: è il lato opposto al vertice, che non è uguale agli altri due lati

In un triangolo isoscele, gli angoli opposti ai lati congruenti (angoli alla base) sono congruenti tra loro (e viceversa se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele).

Dividiamo il triangolo in due parti lungo la mediana CM relativa alla base. I due triangoli AMC e MBC sono congruenti per il terzo criterio (AM=MB perché M è il punto medio, AC=BC per ipotesi, CM in comune). In particolare l'angolo in A sarà congruente all'angolo in B, come si voleva dimostrare.

In questo modo scopriamo anche che la mediana relativa alla base è anche la bisettrice dell'angolo al vertice e altezza relativa alla base.

In un triangolo equilatero, gli angoli interni sono tutti congruenti e, viceversa, un triangolo con tre angoli congruenti è

equilatero. In un triangolo, se un lato è maggiore (o minore) di un altro, allora anche l'angolo opposto al primo lato sarà maggiore (o minore) di quello opposto al secondo. Stessa cosa vale per due angoli.

Triangoli rettangoli: Se due triangoli rettangoli hanno due lati (es. cateto e ipotenusa) ordinatamente congruenti allora sono congruenti.

Immaginiamo di avere due triangoli rettangoli e, tramite un movimento rigido, disponiamoli come in figura, facendo sovrapporre i loro due cateti della stessa misura. Visto che le ipotenuse AC e BC sono congruenti, il triangolo ABC è isoscele. Il segmento CD, essendo l'altezza relativa alla base, è anche mediana e quindi AD=DB. Pertanto i due triangoli ADC e BDC sono congruenti.

RETTE PARALLELE: Se due rette sono parallele, allora (quando sono tagliate da una trasversale) formano angoli corrispondenti congruenti, angoli alterni interni congruenti, angoli alterni esterni congruenti, angoli coniugati interni supplementari.

angoli coniugati esterni supplementari; viceversa, se due rette sono tagliate da una trasversale e formano due angoli corrispondenti congruenti oppure due angoli alterni congruenti oppure due angoli coniugati supplementari, allora sono parallele.

Angoli supplementari: la cui somma è 180°. 3 e 5 sono congruenti? 5 è congruente a 7 perché sono opposti al vertice; e 7 e 3 sono congruenti perché corrispondenti. Quindi 3 è congruente a 5. 3 e 6 sono coniugati/supplementari? Quest'ultimo è congruente al 4 (perché sono alterni interni). Quindi la somma fra 3 e 6 è uguale alla somma fra 3 e 4, cioè un angolo piatto. Si scopre così che due angoli coniugati (sia interni che esterni) sono supplementari.

Somma degli angoli di un triangolo: La somma degli angoli di un triangolo è sempre un angolo piatto (180°). Ci sono molte dimostrazioni a questo (ritagliare gli angoli, farne 3 copie, piegare il triangolo) oppure:

Gli

angoli rossi sono congruenti perché alterni interni formati da AB e dalla sua parallela tagliati dalla trasversale AC. Similmente, gli angoli verdi sono congruenti perché alterni interni rispetto alla trasversale BC. Di conseguenza, sommare gli angoli del triangolo oppure sommare i tre angoli in alto è la stessa cosa. Ma la somma di questi tre è, evidentemente, un angolo piatto.

Somma degli angoli di un poligono

La somma degli angoli di un poligono qualsiasi può essere ottenuta per mezzo di quella dei triangoli. Ogni quadrilatero può essere suddiviso in due triangoli. La somma degli angoli interni di un poligono di n lati è n-2 angoli piatti, cioè (n-2) x 180°

TRAPEZIO

Il trapezio è un quadrilatero con due lati opposti paralleli (basi). L'unica proprietà di un trapezio generico è che gli angoli adiacenti ad un lato obliquo sono supplementari. Un trapezio è isoscele quando gli altri due lati (obliqui) sono congruenti.