Appunti ed esercitazioni di fisica 2

Legge di Coulomb

La legge di Coulomb dice che fra due corpi di cui conosco la posizione di uno e la posizione dell’altro, su uno ci sia una carica q₁ e sull’altro una carica q₂ e questi siano posti ad una distanza d, si esercita una forza f che è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Questa forza è un vettore, per cui se vogliamo esprimere la forza che q₁ esercita su q₂ andremo a scrivere.

Questa forza è attrattiva se q₁ e q₂ sono di segno opposto, repulsiva se sono dello stesso segno. Tuttavia, usiamo una convenzione, inventiamo un vettore di lunghezza 1, r versore_1,2, il cui modulo ha lunghezza 1; in questo modo, a seconda del prodotto fra q₁ e q₂, si orienterà il mio vettore. Se poi vado a scrivere f_2,1, quello che faccio è sostituire nell’espressione di partenza tutti i pedici 1 con il numero 2 e viceversa. Il versore che mi ritrovo nella seconda espressione r_2,1 dalla seconda particella punta alla prima. La somma di queste due forze è nulla e ciò significa che il baricentro delle due cariche rimane fisso. La costante di proporzionalità fra la forza e la quantità che abbiamo definito con le cariche e la distanza è pari a.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Afferma che se abbiamo un insieme di corpi dotati di carica, tutti posti in posizioni note e fissi in quei posti, abbiamo q₁ in r₁, q₂ messo nel punto r₂ etc., la forza che viene esercitata su un dato corpo qualsiasi è la somma che ciascun altro corpo carico esercita su di lui.

Questa cosa è valida sempre? Sì, il principio di sovrapposizione degli effetti è valido sempre, la legge di Coulomb invece è valida solo se le cariche si trovano ferme da sempre e per sempre in un punto. La legge di Coulomb smette di valere quando le cariche si muovono, se gli oggetti si muovono, gli altri per sapere che questo si è mosso deve aspettare un certo tempo.

In ogni caso, la forza che si esercita su un corpo carico è direttamente proporzionale alla carica del corpo. Se ho un piccolo oggetto su cui c’è una carica q e su questo si esercita una forza f, se nello stesso punto dello spazio al posto di un singolo corpo ci piazzo due corpi di carica q, la forza (per il principio di sovrapposizione degli effetti) è la stessa per il corpo uno che per il corpo due per cui l’effetto si raddoppia.

Questa proporzionalità fa sì che sia estremamente utile e portatore di una completa revisione del modo di vedere le cose dire che: la forza che si esercita su un piccolo oggetto su cui è esposta una carica q è la carica q dell’oggetto volte un vettore che è il vettore campo elettrico. Il vettore campo elettrico è reale, non è un’invenzione matematica.

Come fa un oggetto che sta a distanza di un altro ad esercitare una forza? L’ente invisibile che esercita la forza è proprio il campo elettrico e anche il campo magnetico, suo parente. Quello che esiste in ogni punto dello spazio in ogni istante di tempo è il vettore E che ci dice che se in quel punto c’è una carica Q allora si esercita una forza f, il campo elettrico c’è indipendentemente da qualsiasi cosa c’è nello spazio. Nello spazio interstellare che è vuoto con una buona approssimazione è possibile togliere tutto tranne il campo elettromagnetico, così come è impossibile togliere da un volume di spazio e tempo.

Calcolo vettoriale

Vettore: ente che trasporta, trasporta l’origine di un sistema di coordinate da un punto ad un altro. Mi sposto nella direzione i di una certa quantità V_x, nella direzione j di una quantità V_y e nella direzione k di una quantità V_z. Arrivo nello stesso punto in qualsiasi ordine io esegua gli spostamenti.

Sposto l’origine usando 2 vettori, prima la sposto di v e poi di w (somma vettoriale). Per la differenza vettoriale.

Prodotto per una costante e prodotto scalare. Il prodotto scalare è distributivo rispetto alla somma, proprietà evidente dalla scrittura in coordinate cartesiane. La stessa proprietà può essere ricavata anche dalla definizione geometrica. Prodotto vettoriale. Alternativamente lo si può fare anche con il determinante della matrice 3x3.

Dimostrazione con le componenti. Il prodotto vettore non rimane invariato se scambio a con b. è quindi anticommutativa. Il prodotto vettore è definito anche come l’area del parallelogramma.

Legge di Coulomb con l'ausilio dei vettori

Il vettore r₁ ci dice dove si trova la carica q₁ e il vettore r₂ ci dice dove si trova la carica q₂. Vogliamo scrivere d e r versore in termini dei vettori r₁ ed r₂. Il vettore x è il vettore che sommato a r₁ mi dà r₂, per cui riprendendo le operazioni tra i vettori x è proprio la differenza fra i due vettori; posso ricordarmelo osservando che x deve avere la punta della freccia dove sta la seconda carica, quindi lì ci deve essere il segno +.

Per scrivere il versore che è un vettore di norma 1, prendo il vettore r₂-r₁ e lo divido per la sua lunghezza. A questo punto il principio di sovrapposizione mi permette di scrivere la forza che agisce su una particella carica, note le posizioni di tutte le particelle, vogliamo determinare la forza che agisce su Q posta a distanza r. Volendo scrivere la forza trovata come il prodotto tra il campo elettrico e la carica Q, trovo immediatamente l’espressione del campo elettrico nel punto in cui si trova la particella che risente della forza.

Occorre trovare dei metodi più furbi per eseguire queste somme, l’unità di misura del campo elettrico è N/C.

Nel caso in cui ho una certa carica in un volume, una certa carica su una superficie o una certa carica su un filo posso definire: In questo modo la somma può essere organizzata in maniera più furba. Supponiamo di avere un volume con molte cariche all’interno e quello che vogliamo fare è scrivere il campo elettrico in un punto che si trova in un certo punto r rispetto all’origine delle coordinate, mentre il volume si trova in un certo punto R rispetto all’origine.

Nello scrivere la formula pensiamo che dovremmo inserire all’interno la distanza di ciascuna carica all’interno del volume, se però il volume è abbastanza piccolo, gli r_i a prima approssimazione sono uguali a R, vado così a riscrivere la formula e l’unica cosa che rimane dipendente da i sono le cariche q_i. La somma delle q_i all’interno del volume è la carica totale del volume. Otteniamo una formula approssimata del campo elettrico nel punto r quando nell’intorno dei volumi di R ho una carica che è

In definitiva quello che posso fare è sommare i volumetti fra loro invece delle cariche e sostituire alla somma un integrale. I volumi sono volumi infinitesimi e andiamo a sostituire l’integrale all’interno della formula.

Le linee di campo sono linee che hanno la proprietà di essere tangenti in ogni punto al campo elettrico. Se abbiamo una carica negativa le linee di campo saranno tutte dirette verso la carica, posizionate in modo radiale rispetto a questa. Nel caso in cui abbiamo due cariche negative le linee di campo smettono di essere delle linee rette e iniziano a curvarsi. Se abbiamo una carica positiva e una negativa la situazione cambia ancora.

In generale, figurarsi il comportamento delle linee di campo in presenza di diverse cariche in diversi punti dello spazio è complicato, soprattutto usando la legge di Coulomb; sostituiremo la legge di Coulomb con la legge di Gauss che è valida anche quando le cariche sono in movimento, è molto più generica.

Distribuzioni notevoli

Anello

Consideriamo un anello infinitamente sottile, quindi monodimensionale, su ogni tratto del corpo di lunghezza l distribuiamo carica Q direttamente proporzionale al tratto di lunghezza l che consideriamo (densità costante, carica uniformemente distribuita). Ci chiediamo come riscrivere in modo più comodo l’espressione del campo elettrico già utilizzata. Teoricamente dovrei prendere ciascuna carica puntiforme presente sull’anello e scrivere la somma nella formula del campo elettrico. Posso però prendere un tratto di lunghezza l e se l è sufficientemente corto, posso approssimare questo segmento con la sua carica con una carica puntiforme. Tutte le cariche presenti sul segmento considerato posso dire che approssimativamente sono nel punto r’.

Il campo elettrico riceve quindi un contributo dato da: La somma di tutti i Δl che tendono a 0, essendo infinitesimi si esprime come un integrale in cui la quantità infinitesima che tende a 0 diventa il differenziale e la somma prende l’espressione di un integrale, quando scrivo r’(l) intendo dire che il vettore r’ dipende dal segmento che sto considerando. Si tratta di un integrale in cui l’integrando è un vettore.

Il versore è una costante per cui può uscire fuori dall’integrale. Prendiamo un sistema ortonormale e fissiamo l=0 nel punto in cui la circonferenza interseca l’asse delle x con x>0, e cerchiamo di fare in modo che l cresca in modo antiorario sul piano x-z.

Dato un l arbitrario, dobbiamo scrivere r’ in coordinate cartesiane. Poiché giace sul piano x-z, la componente j è nulla. Per scrivere la proiezione di r’ su z e su x è necessario conoscere l’angolo che r’ forma con l’asse delle x.

L’unico caso in cui questo integrale è risolvibile è per i punti r che sono sull’asse della circonferenza, quindi sulla retta perpendicolare al piano x-z che passa per l’origine della circonferenza. Ogni punto preso sull’asse y è equidistante da tutti i punti che sono sull’anello, per cui il denominatore dell’integrale è una costante. Se considero due segmenti l₁ ed l₂ da parti opposte (rispetto al centro della circonferenza), i contributi al campo elettrico di questi due segmenti nel punto in cui sto calcolando il campo elettrico hanno quasi tutte le componenti che si elidono tranne una. Poiché i segmenti sono equidistanti dal punto in cui calcolo il campo, l’intensità dei loro contributi è la stessa, l’angolo che formano con l’asse y è lo stesso. Sopravvive solo la componente j. Che può essere riscritta come: E( j, r_y) =

Piano uniformemente carico

Immaginiamo di avere un piano infinitamente esteso su cui sia presente uniformemente distribuita una carica. Poiché il piano è bidimensionale, utilizzeremo la densità di carica per unità di superficie. Possiamo immaginare il piano come tanti anelli concentrici, dividiamo il piano in corone circolari concentriche. Una di queste corone, se sufficientemente stretta, assomiglia all’anello precedente. La componente verticale non dipende da quanto lontano io mi metto nel piano.

Considero come anello quello compreso fra il raggio minore e il raggio maggiore. Viene fuori che il raggio dell’anello interno è dato da r_y*tg(alpha) e il raggio esterno è r_y*tg(alpha+deltaalpha). La carica su quest’anello sarà data dalla superficie dell’anello per la densità di carica. Successivamente quello che dobbiamo fare è far tendere deltaalpha a 0.

Come si semplifica l’espressione? Dobbiamo trovare un modo per scrivere delta r. Il problema di questa scrittura è che abbiamo deltaalpha nell’argomento della tangente. Posso fare considerazioni geometriche e scrivere il segmento perpendicolare all’ipotenusa.

L’espressione della carica trovata la inseriamo nell’espressione del campo elettrico. Quindi il campo elettrico non dipende dall’altezza che sto considerando. Il campo elettrico non solo non dipende da r_y ma non dipende proprio dal punto dello spazio che sto considerando. In tutto il semispazio superiore il campo elettrico è uniforme e vale quanto riportato sopra. Nel semispazio inferiore:

Considerando una densità di superficie uniforme e maggiore di 0, il campo si allontanerà dal piano, allo stesso modo le linee di campo si allontanano perpendicolarmente dal piano. Se la densità di carica superficiale è minore di 0 le linee del campo elettrico saranno entranti nella superficie. C’è un modo molto più semplice di calcolare il campo in queste figurazioni, questo è possibile grazie ad un’osservazione fatta da Gauss.

La legge di Gauss

Gauss ha enunciato una legge che ha una generalità maggiore della legge di Coulomb, mentre la legge di Coulomb varia per configurazioni di cariche statiche, la legge di Gauss vale anche se le cariche si muovono.

Occorre prima di esporre l’enunciato di Gauss fare una premessa che ha un’analogia nell’ambito dell’idrodinamica. Guardando le linee di campo, l’analogia possibile è quella con il moto dei fluidi. In fluidodinamica è interessante chiedersi quanto volume di fluido attraversa una determinata superficie nell’unità di tempo. Supponiamo che del fluido conosciamo in ogni punto la velocità. Ci aspettiamo che il volume di fluido che esce sia proporzionale all’intervallo di tempo delta t.

La superficie che considero ha la proprietà di essere ortogonale alla velocità. Come gestisco i casi in cui la superficie non è ortogonale alla velocità? Supponiamo la velocità del fluido formi un certo angolo con la superficie, costruisco un parallelepipedo con lato dato dal prodotto di delta t per il modulo di v. I punti che sono poco fuori dal parallelepipedo in un tempo delta t non raggiungeranno la superficie S. Il volume del parallelepipedo è dato dal prodotto base per altezza. Poiché principalmente mi interessa la superficie nell’unità di tempo, divido tutto per delta t. Posso rappresentare la superficie S come un vettore ortogonale alla superficie. Il volume nell’unità di tempo diventa il prodotto scalare tra il vettore superficie e il vettore velocità.

Consideriamo una superficie sferica centrata nel punto in cui è presente una carica Q, questa sfera ha raggio r, ci chiediamo quanto volume di fluido passa per unità di tempo attraverso la sfera di raggio r. Consideriamo la sfera suddivisa in tanti piccoli pezzettini che sono paralleli ai meridiani e ai paralleli della sfera. In ognuno di questi pezzettini il campo elettrico è perpendicolare alla superficie ed è proporzionale all’inverso del quadrato della distanza da Q. Identifico la superficie con un vettore e posso scrivere il volume che esce dalla superficie, che prende il nome di flusso, come il prodotto scalare fra il vettore superficie (che ha verso positivo uscente dalla superficie) e il campo elettrico.

Il flusso che esce da tutta la sfera. Questo risultato ci dice che il flusso uscente da una sfera non dipende da r. La superficie cresce con il quadrato di r e invece il campo diminuisce con il quadrato di r. Questa osservazione spinse Gauss a formulare la sua legge che dice: data una qualsiasi superficie chiusa e orientabile S, il flusso del campo elettrico uscente da S è uguale alla carica interna alla superficie diviso epsilon₀.

Una superficie chiusa e orientabile è una superficie che definisce un interno e un esterno. Una superficie è chiusa se non ha un perimetro. Una superficie è chiusa se in ogni punto mi posso muovere su un disco. Perché non conta quello che sta fuori? e che succede se la carica non è al centro della superficie? Supponiamo di avere un oggetto fatto in questo modo, traccio dalla carica q tutti i vettori che mi portano ai vertici della superficie arbitraria piccola. Se il flusso che esce dalla superficie S di forma arbitraria è uguale al flusso attraverso il pezzettino che sta su una sfera, posso rimpiazzare la somma dei pezzettini che tappezzano la superficie di forma arbitraria con una somma di pezzettini che stanno sulla sfera. I pezzettini che stanno sulla sfera hanno un flusso che conosco e ho già calcolato, quindi si tratta di un passo che mi porta verso la legge di Gauss.

Mi chiedo come siano in relazione il vettore S che fa riferimento alla superficie arbitraria con il vettore S’ che fa riferimento alla superficie comoda (della sfera di raggio a). Identifico il vettore r, il vettore a e il vettore b. voglio dimostrare che il flusso del campo elettrico che esce da S è uguale al flusso del campo elettrico che esce da S’. Scriviamo il flusso attraverso la superficie S sfruttando la definizione, poiché stiamo considerando una superficie piccola e una singola carica q possiamo dire che il vettore campo elettrico E è approssimativamente parallelo al vettore r. Il prodotto così scritto tra a, b ed r è proprio il volume del parallelepipedo. Cambiando l’ordine dei tre vettori ottengo lo stesso risultato. Questo è interessante perché posso considerare un parallelepipedo retto con lo stesso volume che ha la stessa r e che ha la superficie di base perpendicolare ad r. Morale della favola i due flussi sono uguali su entrambe le superfici.

Il trucco sta nel sostituire al flusso del campo elettrico uscente da una superficie arbitraria, quello del campo elettrico uscente da una sfera. Poiché vale il principio di sovrapposizione, se invece di una singola carica ne ho n, il flusso del campo elettrico uscente dalla superficie di forma arbitraria è uguale a Q_tot/epsilon₀. Le cariche che stanno all’esterno non influiscono sul flusso, per cui se la mia sfera non ha cariche all’interno il suo flusso è nullo. Una carica che si trova all’esterno genera un flusso da una parte entrante nella sfera e dalla parte opposta un flusso uscente. Se abbiamo una configurazione con n cariche, solo quelle interne contribuiranno al flusso totale uscente dalla superficie. Il flusso è lineare.

È vero che il campo in S₁ è più intenso che in S₂ ma poiché i raggi sono radiali appunto, la superficie S₂ sarà maggiore della superficie S₁ e quindi il prodotto scalare...