Appunti ed esercitazioni di fisica 2

I CONDUTTORI

Come abbiamo visto le cariche all'interno dei conduttori si dispongono in maniera da essere più lontane possibile le une dalle altre, per questo tendono a disporsi sulla superficie del conduttore. In virtù del fatto che all'interno del conduttore il campo elettrico è nullo, possiamo immediatamente dedurre che la regione di spazio all'interno del conduttore è tutta allo stesso potenziale, la carica all'interno del conduttore è nulla. Non abbiamo specificato se la disposizione delle cariche che le porta ad essere il più distanti possibile le une dalle altre è unica, se è unica quindi la configurazione che massimizza la distanza fra una carica e l'altra. Sotto condizioni abbastanza generali, si riesce a dimostrare che la configurazione delle cariche sul conduttore è unica a patto che uno descriva cosa succede su una superficie all'esterno del conduttore. Se metto una carica q>0

All'estero del conduttore, tutte le cariche che stanno sul conduttore sentiranno del campo elettrico associato alla carica esterna. Poiché la carica è positiva il campo sarà radiale diretto verso l'esterno rispetto alla carica, in questo modo la regione del conduttore che è più vicina alla carica si carica negativamente, quella regione di superficie del conduttore si carica negativamente, la superficie dalla parte opposta sarà carica positivamente. Questo fenomeno appena descritto prende il nome di induzione elettrostatica, fenomeno per il quale le cariche esterne ad un conduttore influenzano la densità di carica per unità di superficie del conduttore. Per i matematici se consideriamo una superficie che contiene il conduttore ed eventualmente se contiene cariche sappiamo come sono disposte, di questa superficie conosciamo il potenziale in ogni punto della superficie e diciamo dove si trovano le cariche esterne e quante sono.

Allora la soluzione è unica. La specifica del potenziale in ogni punto prende il nome di condizione al contorno. Abbiamo un sistema fatto da due conduttori, il primo conduttore è la sfera conduttrice che si trova all'interno di raggio a, il secondo conduttore è un guscio sferico compreso fra il raggio b e il raggio c. Volendo specificare le condizioni al contorno diciamo che su una superficie sferica esterna ai due conduttori il potenziale elettrostatico è uguale al potenziale elettrostatico all'infinito, uguale a 0 quindi. Sul conduttore interno abbiamo una carica Q, ci chiediamo come si distribuiscono le cariche e come sia fatto il campo elettrico in tutta la configurazione. Il sistema di conduttori ha tutte le simmetrie di una sfera, ci aspettiamo che Q si distribuisca uniformemente sulla superficie del conduttore interno di raggio a. Sulla superficie interna del guscio esterno cosa succede? Se considero solo il guscio sferico e prendo come superficie

di queste considerazioni ci portano a una conclusione importante: all'interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico, il campo elettrico è sempre nullo. Questo significa che non ci sono cariche elettriche in movimento all'interno del conduttore. La legge di Gauss ci permette di capire come si distribuiscono le cariche all'interno di un conduttore. Se consideriamo una superficie di Gauss all'interno del conduttore, il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie sarà nullo. Questo implica che la carica totale all'interno della superficie di Gauss è nulla. Nel caso specifico della figura, possiamo dedurre che sulla superficie interna del secondo conduttore ci sarà una carica negativa che compensa la carica positiva sul primo conduttore. Questo avviene perché le cariche positive attraggono le cariche negative. Di conseguenza, la superficie interna del conduttore si carica negativamente e la carica totale all'interno della sfera tratteggiata è nulla. È importante sottolineare che il risultato ottenuto non dipende dal fatto che si tratti di sfere concentriche. In generale, possiamo utilizzare il trucco di utilizzare Gauss come una superficie chiusa completamente all'interno del conduttore per determinare la distribuzione delle cariche all'interno di un conduttore di forma arbitraria inserito in un altro conduttore di forma arbitraria.le volte che sono davanti a un conduttore interno carico Q, sulla superficie interna del conduttore esterno deve comparire una carica -Q definisco questa configurazione induzione completa. L'induzione completa è caratterizzata dal fatto che se seguo le linee di flusso che partono dal conduttore interno perpendicolari e arrivano perpendicolari al conduttore esterno, applicando Gauss posso dedurre che se sul conduttore interno ho carica Q, sulla superficie su cui si richiudono tutte queste linee di campo la carica è opposta a quella presente sulla superficie di partenza. Tornando al nostro problema determiniamo il campo elettrico nelle diverse zone scrivendolo in coordinate sferiche, avrà solo componente radiale come ci aspettiamo. Il campo elettrico sarà una funzione definita a tratti. Per a < r < b posizioniamo una superficie di Gauss, una sfera di raggio r arbitrario e applico la legge di Gauss. Per r > c cosa succede? Immaginiamo che sulla superficie

esterna del conduttore esterno si distribuisca una carica Q_est, posso così utilizzare di nuovo la legge di Gauss facendo lo stesso procedimento; la superficie di Gauss la colloco all'esterno di tutti i conduttori, il flusso avrà la stessa espressione e la carica totale sarà data da Q_est - Q + Q, in virtù del fatto che siamo in induzione completa le cariche opposte si elidono e rimane solo Q_est.

Entra ora in gioco la condizione al contorno per poter determinare Q_est. Ad un certo punto il potenziale elettrostatico è uguale al potenziale elettrostatico che ho all'infinito, fatte queste considerazioni posso determinare la differenza di potenziale.

Ricapitolando abbiamo:

Q_est - Q + Q

Questa configurazione di due conduttori prende in generale il nome di CONDENSATORE perché è un mezzo per intrappolare della carica in maniera conveniente. Le caratteristiche di un condensatore sono le seguenti: ho un conduttore che è a potenziale infinito che

racchiude completamente un secondo conduttore che è posto al suo interno, il campo elettrico è diverso da 0 solo nella regione di spazio compresa fra i due conduttori, affinché ciò avvenga è necessario che sulla superficie esterna del conduttore esterno non ci sia carica, che non ci siano cariche in giro all'esterno del sistema di conduttori o equivalentemente che il potenziale a cui si trova il conduttore sia quello di un punto lontanissimo. Un'altra cosa che ci si può chiedere è come sono disposte le superfici equipotenziali e come si rappresenti il potenziale. Le superfici equipotenziali, dato che tutto ha la simmetria sferica, dovranno essere anch'esse sfere concentriche con tutte le superfici sferiche che determinano il problema, ne consegue che il potenziale deve dipendere solo dalla distanza dal centro di queste sfere. Anche il potenziale sarà una funzione a tratti. Per r > c se il campo elettrico è nullo.

La differenza di potenziale fra due punti è nulla, quindi il potenziale a cui si trovano tutti i punti esterni alla sfera è il potenziale V(∞)=0. Fra c e b sono dentro al conduttore quindi il campo elettrico è di nuovo nullo. Per a<r<b mi calcolo la differenza di potenziale con l'integrale, dividiamo il percorso in due parti, il primo viene uguale a 0 e il secondo *nell'immagine successiva sostituire a (estremo dell'integrale) con r. Per r<a quando andiamo a spezzare l'integrale in due parti viene diverso da 0 solo la parte interna al conduttore dove sappiamo che il potenziale deve essere uniforme. Quello che possiamo notare dal grafico è che la funzione è proporzionale a Q, la proporzionalità diretta è una conseguenza del principio di sovrapposizione, se raddoppiamo la carica che si mette su un sistema arbitrario di conduttori, questa carica si distribuirà con la stessa distribuzione sul conduttore.

con una densità che in ogni punto raddoppia. Per un sistema costituito da due conduttori in cui uno racchiude completamente l'altro e ha luogo il fenomeno di induzione completa e all'esterno del conduttore esterno il campo elettrico è nullo è importante la quantità che lega la differenza di potenziale fra il conduttore interno e il conduttore esterno e la carica che è presente sul conduttore interno, questa quantità prende il nome di capacità ed è la costante di proporzionalità fra la carica che sta nel conduttore interno e la differenza di potenziale fra il conduttore interno e il potenziale del conduttore esterno che convenzionalmente si mette uguale a 0. La capacità l'abbiamo già vista nel caso in cui c'è un conduttore e una carica, in questo caso abbiamo un conduttore esterno con all'interno una cavità chiusa all'interno della quale è presente un

altroconduttore. Per il condensatore sferico appena descritto la differenza di potenziale fra i due conduttori vale:

Abbiamo trovato la capacità del condensatore sferico. Notiamo che se vogliamo amentare la capacitàabbiamo due strade, una è quella di aumentare a e b, l’altra è quella di diminuire la differenza fra a e b.

Ci chiediamo ora quale sia l’utilizzo dei condensatori. Il condensatore è un dispositivo per accumulare rapidamente energia e rapidamente cederla quando serve. Come faccio a pompare energia e rimuovere energia da un condensatore? Supponiamo di avere il condensatore sferico dell’esercizio precedente e di depositare una certa carica su di esso. Per assemblare questa disposizione di cariche, devo prendere delle cariche dall’infinito e metterle dove richiesto, quindi faccio del lavoro per assemplare questo sistema, questa energia mi rimane immagazzinata nei conduttori, quindi una volta caricati il campo

conduttori. Questa differenza di potenziale crea un campo elettrico all'interno della cavità che intrappola l'energia elettrostatica. Per utilizzare questa energia, mettiamo in contatto i due conduttori con un circuito esterno. Le cariche positive presenti nel conduttore esterno vengono attratte dalle cariche negative presenti nel conduttore interno e si muovono rapidamente in direzione opposta. Questo movimento delle cariche crea una corrente elettrica. Un esempio di conduttore esterno che possiamo utilizzare è una bottiglia conduttrice, come la bottiglia di Leida. Come conduttore interno possiamo utilizzare un altro bicchiere conduttore. Per tenerli separati possiamo utilizzare un bicchiere di plastica. Per trasferire la carica da uno dei conduttori all'altro, possiamo sfruttare la proprietà di certi materiali che si caricano per sfregamento. In questo modo, possiamo far sì che il conduttore interno acquisisca una certa carica Q e il conduttore esterno acquisisca una carica -Q. Quando si crea questa differenza di carica, si crea anche una differenza di potenziale tra i due conduttori.conduttori e quando c'è una differenza di potenziale fra due punti nello spazio il campo elettrico fra i due punti nello spazio aumenta e ad un certo punto l'aria smette di essere un isolante perché il campo è troppo intenso e scocca una scintilla. Il potenziale