Appunti e formule di Fisica Tecnica

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

- In un sistema termodinamico all’equilibrio esiste una funzione

intrinseca dello stato di un sistema detta entropia, la cui variazione in

seguito ad una trasformazione reversibile vale:

∆S = ∫ ∂Q / T

rev

- L’entropia è una grandezza estensiva e gode della proprietà additiva.

∆S = ∆S + ∆S

z A B

- La variazione di entropia di un sistema isolato sede di trasformazioni

termodinamiche è sempre maggiore di zero.

∆S ≥ 0

z

BILANCIO DI ENTROPIA

∆S = S + ∆S

←

Q irr

Energia interna: ∆U = N c (T - T ) = m c (T - T )

AB v B A v B A

Entalpia: ∆H = N c (T - T ) = m c (T - T )

AB p B A p B A

Entropia: ∆S = m [c ln(T / T ) - R* ln(P / P )]

AB p B A B A

∆S = m [c ln(T / T ) + R* ln(V / V )]

AB v B A B A

∆S = m [c ln(V / V ) + c ln(P / P )]

AB p B A v B A Pagina 4

Capacità termica C x

Rapporto tra calore fornito al sistema termodinamico e la relativa

variazione di temperatura durante la trasformazione x generica

(percorso generico).

Ammettendo di conoscerla (si misura in laboratorio), conosciamo

quanto calore è stato assorbito o ceduto, ma essendo di di cile

calcolo non la useremo quasi mai.

Calore speci co c x

Rapporto tra calore fornito al sistema termodinamico per unità di

materia del sistema e la relativa variazione di temperatura durante la

trasformazione x generica.

C = m c —> c = (1/m) (∂Q / dT)

←

x x x x

Da queste formule possono essere ricavate c e c .

p v

- = c (T - T )

2 1 v 2 1

h - h = c (T - T )

2 1 p 2 1 Pagina 5

fi ffi

Trasformazioni politropiche

Sono trasformazioni quasi-statiche reversibili di un gas ideale,

caratterizzate da calore speci co della trasformazione c costante.

x

Calcolando le varie espressioni e facendone il rapporto (vedi slide),

trovo:

(c - c ) / (c - c ) = - (v dP) / (P dv)

x p x v

Essendo c una costante ne segue che il rapporto tra i calori speci ci è

x

costante = n. Il valore n viene chiamato indice della politropica.

p V = costante

n

T V = costante

(n-1)

p T = costante

n / (n-1)

In generale avremo che ogni trasformazione deriva dalla politropica

seguendo questa tabella: Pagina 6

fi fi

TRASFORMAZIONI

- Adiabatica

L = -∆U = n c (T - T ) = [1 / (1 - )] (T - T )

AB v A B A B

T V = costante p V = costante T p = costante

( -1) (1- ) /

- Isoterma

∆U = 0 L = Q P V = P V

A A B B

L = N R T ln(V / V )

AB B A

- Isocora

L = 0 Q = ∆U = N c (T - T ) P / T = P / T

v B A A A B B

- Isobara

V / T = V / T Q = N c (T - T )

A A B B p B A

L = n R (T - T )

B A

Monoatomici c = 3/2 R* c = 5/2 R* = 5/3

v p

Biatomici c = 5/2 R* c = 7/2 R* = 7/5

v p

Poliatomici c = 3 R* c = 4 R* = 8/6

v p Pagina 7

CALCOLO TITOLO E PROPRIETÀ DI UN FLUIDO

x = (h - h ) / (h - h ) = (s - s ) / (s - s )

v ls vs ls ls vs ls

h = h + x (h - h ) = (1 - x ) h + x h

l v v l v l v v

s = s + x (s - s ) = (1 - x ) s + x s

l v v l v l v v

CALCOLO VALORE h E T NON PRESENTI IN TABELLA

x x

h (T T < T < T )

➞

x x 1 x 2

h = h + [(T - T ) / (T - T )] (h - h )

x 1 x 1 2 1 2 1

T = T + [(T - T ) / (h - h )] (h - h )

x 1 2 1 2 1 x 1

CALCOLO ENTALPIA LIQUIDO SOTTORAFFREDDATO

h (P , T ) = h (T ) + v (T ) [P - P (T )]

1 1 1 ls 1 ls 1 1 ls 1

(T ) rappresenta il fatto che i valori quali fa riferimento vanno presi dalle

1

tabelle alla determinata temperatura. Pagina 8

EQUAZIONI DI BILANCIO PER SISTEMI APERTI

Bilancio di massa che vale per ogni usso di

massa indipendente entrante in un sistema di

controllo:

dM / dt = ṁ - ṁ

in out

Calcolo del usso di massa ṁ di un uido con densità , passante in un

condotto di sezione , con una velocità media di sezione w uniforme:

ṁ = w

Nel caso di ṁ in ingresso e ṁ in uscita avremo

A B

ṁ = ṁ :

A B

w = w

A A A B B B

Per il bilancio di energia avremo l’energia accumulata nel sistema pari al

trasferimento netto di energia entrante meno uscente, attraverso il

contorno nell’unità di tempo:

dE / dt = ∑ ṁ (h + gz + w / 2) +Q - L

← ← →

2

k=1 a n k k e

Considerando una porzione di condotto delimitata da una sezione in

ingresso e una in uscita, in regime stazionario, scriveremo:

ṁ [(h - h ) + g(z - z ) + w / 2 - w / 2] + Q - L = 0

i2 u2

i u i u e Pagina 9

fl fl

fl

L’entropia accumulata nel volume di controllo è data dalla somma del

usso di entropia netta trasferito attraverso il contorno tramite usso di

massa, del usso di entropia associato allo scambio di calore

attraverso il contorno e dalla generazione di entropia prodotta per

irreversibilità:

dS / dt = ∑ ṁ s + S + S

←

k=1 a n k k Q irr

Considerando una porzione di condotto delimitata da una sezione in

ingresso e una in uscita, in regime stazionario, scriveremo:

ṁ (s - s ) + S + S = 0

i u Q irr Pagina 10

fl fl fl

MACCHINA MOTRICE (diretta)

Bilancio del sistema isolato:

- Q + Q + L = 0

C F

Z : - (Q / T ) + (Q / T ) = S

C C F F irr

Se processo reversibile:

L = Q

rev C rev

= L / Q

rev rev C

= 1 - (T / T ) —> Rendimento macchina reversibile

F C

Se processo irreversibile:

L = L - T S

rev F irr

= Q [1 - (T / T )] - T S

C F C F irr

= L / Q C

= 1 - (T / T ) - [(T S ) / Q ]

F C F irr C

= - [(T S ) / Q ] —> Rendimento di primo principio

rev F irr C

Rendimento di secondo principio:

= L / L rev

= / rev

Lavoro perso = L - L

rev Pagina 11

MACCHINA FRIGORIFERA (operatrice)

Bilancio del sistema isolato:

Q - Q - L = 0

C F

Z : (Q / T ) - (Q / T ) = S

C C F F irr

Se processo reversibile (S = 0):

irr

L = Q /

rev F F, rev

= Q [(T / T ) - 1]

F C F

= T / (T - T )

F, rev F C F

= Q / L —> E cienza reversibile

F rev

Se processo irreversbile:

L = L + T S

rev C irr

= Q /

F F

= Q / L —> E cienza di primo principio

F F

Rendimento di secondo principio:

= /

F F, rev Pagina 12

ffi ffi

POMPA DI CALORE (operatrice)

Bilancio del sistema isolato:

Q - Q - L = 0

C F

Z : (Q / T ) - (Q / T ) = S

C C F F irr

Se processo reversibile (S = 0):

irr

L = Q /

rev C P, rev

= Q [1 - (T / T )]

F F C

= T / (T - T )

P, rev C C F

= Q / L —> E cienza reversibile

C rev

Se processo irreversbile:

L = L + T S

rev F irr

= Q /

C P

= Q / L —> E cienza di primo principio

P C

Rendimento di secondo principio:

= /

P P, rev Pagina 13

ffi ffi

CALCOLO Q CON SERBATOI DI CALORE A MASSA FINITA

Q = m c (T - T ) = m (h - h )

F v C, f C, i f i

Q = T m c ln(T / T )

C C v C, f C, i Pagina 14

CICLO JOULE-BRAYTON IDEALE

1-2 adiabatica-isoentropica

2-3 isobara

3-4 adiabatica-isoentropica

4-1 isobara

Calcolo le temperature in base alle

trasformazioni relative.

Rapporto di compressione: r = P / P = P / P = 1 - 1 / [(r ) ]

( - 1)/

p 2 1 3 4 p

L = L - L = Q - Q = ṁ c (T - T - T + T )

T C C F p 3 4 2 1

L = ṁ c (T - T ) = ṁ (h - h )

T p 3 4 3 4

L = ṁ c (T - T ) = ṁ (h - h )

C p 2 1 2 1

Q = ṁ c (T - T ) = ṁ (h - h )

C p 3 2 3 2

Q = ṁ c (T - T ) = ṁ (h - h )

F p 4 1 4 1

Rendimento di primo principio:

= L / Q = (Q - Q ) / Q = 1 - (Q / Q ) = 1 - [(T - T ) / (T - T )]

C C F C F C 4 1 3 2

Rendimento se ciclo reversibile (con caso T = T e T = T )

1 F 3 C

= 1 - (T / T ) = 1 - (T / T )

rev F C 1 3 Pagina 15

CICLO JOULE-BRAYTON REALE

Partendo da rendimento isoentropico di compressione e espansione:

= L / L = (T - T ) / (T - T )

c, s C, s C 2s 1 2 1

= L / L = (T - T ) / (T - T )

t, s T T, s 3 4 3 4s

Sapendo che:

T / T = (P / P ) ( -1)/

2s 1 2 1

T / T = (P / P ) ( -1)/

3 4s 3 4

Calcolo T e T per arrivare a trovare T e T che userò per i calcoli.

2s 4s 2 4

T = T + [(T - T ) / ]

2 1 2s 1 c

T = T - (T - T )

4 3 t 3 4s

Con i nuovi valori di T e T calcolo:

2 4

L = L - L = Q - Q = ṁ c (T - T - T + T )

T C C F p 3 4 2 1

L = ṁ c (T - T ) = ṁ (h - h )

T p 3 4 3 4

L = ṁ c (T - T ) = ṁ (h - h )

C p 2 1 2 1

Q = ṁ c (T - T ) = ṁ (h - h )

C p 3 2 3 2

Q = ṁ c (T - T ) = ṁ (h - h )

F p 4 1 4 1 Pagina 16

CICLO RANKINE IDEALE

1-2 adiabatica isoentropica (pompa)

2-3-4 isobara (evapora. - econom.)

4-5 adiabatica isoentropica (espansore)

5-1 isobara (condensatore)

Con utilizzo delle tabelle trovo i valori

delle entalpie.

L = ṁ (h - h ) L = ṁ (h - h )

T 4 5 P 2 1

Q = ṁ (h - h ) Q = ṁ (h - h )

F 5 1 C 4 2

Q = ṁ (h - h ) Q = ṁ (h - h )

eco 3 2 eva 4 3

Rendimento di primo principio:

= L / Q = (Q - Q ) / Q

C C F C

= (h - h ) / (h - h ) = 1 - [(h - h ) / (h - h )]

4 5 4 2 5 1 4 2

Per trovare h :

2

h = h + v (P - P ) —> il valore di v lo trovo sulle tabelle

2 1 1 2 1 1

Per trovare h :

5

x = (s - s ) / (s - s )

5 4 ls vs ls

h = h (1 - x ) + x h

5 ls 5 5 vs

Per gli altri valori di h guardo la tabella facendo attenzione se si tratta di liquido o vapore. Pagina 17

CICLO RANKINE REALE

Devo trovare i valori di h e h da

2 5

sostituire nelle formule.

I valori h e h sono quelli trovati

2s 5s

precedentemente.

Rendimento isoentropico di compressione:

= (h - h ) / (h - h ) da cui ricavo: h = h + [(h - h ) / ]

P, s 2s 1 2 1 2 1 2s 1 P, s

Rendimento isoentropico di espansione:

= (h - h ) / (h - h ) da cui ricavo: h = h - (h - h )

T, s 4 5 4 5s 5 4 T, s 4 5s

Utilizzo h e h appena trovati per calcolare:

2 5

L = ṁ (h - h ) L = ṁ (h - h )

T 4 5 P 2 1

Q = ṁ (h - h ) Q = ṁ (h - h )

F 5 1 C 4 2 Pagina 18

CICLO RANKINE IDEALE SURRISCALDATO

Se il ciclo è surriscaldato dovrò calcolare una

nuova entalpia h .

6

Sapendo che la temperatura massima del ciclo

verrà raggiunta nel punto 5 e che la

trasformazione 5-6 è isoentropica:

x