Appunti di topografia

Nicola Genuin, mat. N° 186691

Il presente testo raccoglie in forma testuale gli argomenti delle lezioni del corso di Topografia (corso di Laurea

in Ingegneria Civile, Università degli Studi di Trento) svolto dal prof. Benciolini e collaboratori, integrato con

le nozioni presenti nei materiali su supporto digitale forniti durante le lezioni.

Sommario

Proiezioni cartografiche ..................................................................................................................................... 2

Cartografia italiana ............................................................................................................................................ 8

Misura di angoli ............................................................................................................................................... 11

Misura di distanze ........................................................................................................................................... 14

Misura di dislivelli ............................................................................................................................................ 17

Reti topografiche ............................................................................................................................................. 19

Reti geodetiche ................................................................................................................................................ 21

Posizionamento satellitare .............................................................................................................................. 22

Sistemi di riferimento ...................................................................................................................................... 24

1 Nicola Genuin, mat. N° 186691

Proiezioni cartografiche

La cartografia è l'insieme di conoscenze scientifiche, tecniche e artistiche finalizzate alla rappresentazione,

simbolica ma veritiera, su supporti piani (carte geografiche) o sferici (globi), di informazioni geografiche,

statistiche, demografiche, economiche, politiche, culturali, relative al luogo geografico rappresentato. Il

passaggio da ellissoide a piano è detto proiezione cartografica; la rappresentazione della realtà

tridimensionale in due dimensioni richiede due rappresentazioni di tipo diverso: direttamente attraverso il

disegno per la planimetria, indirettamente attraverso punti quotati e curve di livello (linee che collegano

punti con la stessa quota) per l’altimetria.

La scala di una mappa è un rapporto tra le lunghezze misurate sulla superficie e le stesse lunghezze misurate

sulla carta, sebbene nella realtà dei fatti risulti impossibile avere una scala costante in tutti i punti e in tutte

le direzioni, in virtù delle distorsioni geometriche proprie della proiezione cartografica. In particolare, si può

avere una scala: 

- Isotropa ma non omogenea: dipendente dalla posizione ma non dalla direzione carta conforme



- Costante lungo un parallelo proiezioni cilindriche 

- Isotropa ed indipendente dalla longitudine, quindi dipendente dalla latitudine carta di Mercatore

Con riferimento alla terminologia appena usata e all’immagine a fianco,

per parallelo si intende una circonferenza ideale che si ottiene

intersecando la superficie terrestre con un piano perpendicolare all’asse di

rotazione e dunque parallelo al piano equatoriale; i paralleli rappresentano

),

la latitudine (in formula indicata con e misurare l’angolo sotteso ad un

arco di una qualsiasi di queste circonferenze significa misurare la

longitudine, a partire dal riferimento del Meridiano di Greenwich (con

indicazione E o W). Un meridiano invece rappresenta la longitudine (in

)

formula indicata con e, insieme al suo antimeridiano, è la circonferenza

ideale che si ottiene intersecando la superficie terrestre con un piano che

la attraversi passando per il suo centro. L’angolo sotteso ad un arco di

meridiano rappresenta la latitudine.

Convenzionalmente il tipo di scala cartografica si individua tramite il valore della frazione che la identifica,

quindi una scala 1:1000 sarà grande scala (rapporto = 0.001) mentre una scala 1:1000000 sarà piccola scala

(rapporto = 0.000001).

L’errore di graficismo è legato operativamente alla precisione di stampa o di riproduzione della carta, e vale

normalmente 0.2 mm; moltiplicandolo per la scala della carta (il denominatore) si ottiene l’incertezza in

  

metri: per una carta in scala 1:1000 1000*0.2 200 mm 0.2 m.

Al variare della scala, soprattutto per chiarezza di rappresentazione, varierà anche il contenuto della carta,

per la cui realizzazione di utilizzerà un approccio detto generalizzazione, consistente nel selezionare gli

oggetti da rappresentare, scartando quelli troppo piccoli in relazione alla scala, combinarli per ricavare entità



adatte alla scala (case isolato), semplificarli nella geometria o al più sostituirli con simboli.

2

Nicola Genuin, mat. N° 186691

Per essere utilizzabile, una carta deve contenere informazioni che identifichino il sistema di riferimento e il

tipo di proiezione cartografica. La scelta del sistema di riferimento serve per passare da coordinate 3D di un

punto nello spazio al corrispondente punto sull’ellissoide, scegliendo l’ellissoide in modo che approssimi il

meglio possibile globalmente o localmente il geoide e orientandolo globalmente o localmente rispetto alla

Terra. Per proiezione cartografica si intende una procedura analitica per trasformare coordinate dalla

superficie di riferimento (ellissoide) al piano cartografico. Il passaggio da 3D a 2D si articola in due parti,

, ℎ) )

ovvero la trasformazione dalle 3 coordinate (, alle 2 coordinate (, (infatti punti sulla stessa normale

ℎ)

sono rappresentati dallo stesso punto, con eliminazione della quota e la successiva trasformazione da

) ) ).

ellissoide a piano cartografico, cioè da coordinate (, a coordinate (, o (,

Utilizzate in passato ma ancora utili come punto di partenza per la costruzione di proiezioni più performanti,

sono le proiezioni stereografiche (polari, oblique o equatoriali) e cilindriche pure, che presentano il difetto di

non poter controllare le deformazioni. Queste sono dette anche proiezioni geometriche, mentre l’approccio

moderno alle proiezioni cartografiche prescinde da esse, sviluppando proiezioni analitiche, definite dalle

equazioni che legano le coordinate sulla superficie di riferimento alle coordinate del punto corrispondente

sul piano in modo biunivoco:

= (, ) = (, )

{ {

= (, ) = (, )

Le deformazioni sono inevitabili e dovute al fatto che la superficie ellissoidica e il piano non sono superfici

sviluppabili, ovvero la loro curvatura totale è diversa. Le deformazioni nel passaggio tra ellissoide e piano

sono descritte da tre moduli di deformazione:

= /

- Modulo di deformazione lineare : rapporto fra lunghezze di arco infinitesimo sulla

rappresentazione (carta) e corrispondente arco infinitesimo sull’ellissoide;

= /

- Modulo di deformazione areale : rapporto fra area infinitesima sulla

rappresentazione (carta) e corrispondente area infinitesima sull’ellissoide;

′

= − :

- Modulo di deformazione angolare differenza fra l’azimut della trasformata di arco e

meridiano sulla rappresentazione e corrispondente angolo tra arco e meridiano sull’ellissoide.

Dato però che il passaggio tra superfici sviluppabili non comporta deformazioni, si può rimediare tramite una

proiezione sul piano, oppure ancora tramite una proiezione su superfici sviluppabili rispetto al piano (cilindro

e cono) e successivo passaggio al piano (permane comunque la deformazione legata al passaggio da ellissoide

a superficie sviluppabile). Si ricercano quindi proiezioni in grado di conservare il più possibile le caratteristiche

delle forme, in particolare la superficie e la forma, ma se la prima risulta conservabile al netto della scala, non

è possibile conservare la seconda, se non a livello infinitesimo. In definitiva nella proiezione cartografica si

possono: 

Conservare gli angoli carta (o rappresentazione, o proiezione) conforme: conservare le forme

significherebbe mantenere angoli e rapporti fra lunghezze uguali; ciò non essendo possibile tra superfici

non sviluppabili, si cerca di conservare la forma di figure infinitesime, nel senso che la deformazione

tende a zero più velocemente delle dimensioni delle figure; più le figure sono piccole e più la loro forma

sarà conservata nel passaggio tra ellissoide e carta. Ciò equivale a dire che si conservano gli angoli fra le

tangenti alle curve sull’ellissoide e le corrispondenti linee sul piano; essendo le tangenti definite

localmente, le proprietà che definiscono le carte conformi sono proprietà locali.

In modo analitico, si ricerca una funzione generica tale che:

= (, )

{

= (, ) 3 Nicola Genuin, mat. N° 186691

= ()

per cui il modulo di deformazione lineare dipende solo dalla posizione e non dalla

() = 0 ∀,

direzione, cioè e isotropo, e cioè il modulo di deformazione angolare è nullo in tutti i punti.

Gli incrementi delle due coordinate ellissoidiche e corrispondono ad uno spostamento

infinitesimo del punto pari a lungo il meridiano e lungo il parallelo, con ed rispettivamente

i raggi del meridiano e del parallelo. Poiché e hanno unità di misura diverse, conviene introdurre

= (). = ,

una coordinata detta latitudine isometrica, Imposta la relazione differenziale la

coppia di coordinate e sono isometriche, cioè hanno la stessa unità di misura, e significa che agli

incrementi delle due coordinate ellissoidiche e corrispondono uno spostamento infinitesimo del

punto pari a lungo il meridiano e lungo il parallelo. Le coordinate cartesiane locali proporzionali

agli incrementi di e hanno quindi la stessa unità di misura.

A questo punto si ha:

= (, )

{ = (, )

e la loro linearizzazione sarà:

0

= +

[ ] [ ] | |[ ]

0

La richiesta di conformità sulla parte lineare si riflette sulla struttura della matrice evidenziata il blu, che

dev’essere del tipo:

−

| |

e quindi:

=

{

=−

che al primo ordine è una rototraslazione e variazione di scala, e rappresenta le condizioni di

monogeneità Cauchy, che devono essere rispettate da ogni proiezione conforme. Per definire le diverse

proiezioni cartografiche conformi (Mercatore, Gauss…) si aggiungono alle equazioni differenziali

condizioni al contorno o condizioni di altro tipo.



Conservare le superfici carta (o rappresentazione, o proiezione) equivalente: è possibile conservare

le aree nel passaggio tra l’ellissoide e la carta anche per figure non infinitesime. Si usano in particolare

quando è importante determinare l’area delle figure, ad esempio per scopi fiscali o statistici.

Sull’ellissoide l'area della superficie infinitesima compresa tra due paralleli e due meridiani si può

()(),

=

scrivere come ma dalla trattazione precedente, data la latitudine isometrica che

2

()()

= , = = .

permette questo equivale a Lo stesso elemento si trasforma

in un parallelogramma infinitesimo i cui lati sono rappresentati dai vettori:

(, ) = ( , ) lungo la trasformazione del parallelo

(, ) = ( , ) lungo la trasformazione del meridiano

La superficie sul piano è quindi fornita dal prodotto vettore dei due segmenti, che deve eguagliare l’area

ellissoidale calcolata precedentemente ed evidenziata in arancio. Deve valere:

4

Nicola Genuin, mat. N° 186691

2

det =

[ ]

Essendo questa condizione incompatibile con la condizione di conformità, è dimostrato come non

esistano trasformazioni che abbiano entrambe le proprietà, sebbene alcune carte conformi siano quasi

equivalenti quando usate su una zona di estensione limitata.



Minimizzare le deformazioni, ma senza annullarle carta (o rappresentazione, o proiezione)

afilattica.

Si elencano di seguito le principali proiezioni:

Stereografica: si ottengono dalla proiezione dei punti sulla superficie della sfera da un punto (polo) della

sfera stessa sopra un altro piano che può essere tangente alla sfera nel punto antipodale (o su un altro

piano parallelo). Per avere una proiezione dell’emisfero Sud si utilizzerà come polo in Nord, e viceversa.

Le deformazioni aumentano man mano che ci si sposta dal polo; si tratta di una proiezione conforme,

tale cioè da mantenere gli angoli, ovvero avente modulo di deformazione lineare costante e modulo di

deformazione angolare nullo. Si differenziano in:

- Polari: se il polo è il Nord o il Sud della sfera;

- Equatoriali: se il polo giace sull’equatore;

- Oblique: se il polo giace sulla superficie della sfera in punti diversi dai due casi precedenti.

Centrografica: come la stereografica, ma con centro di vista coincidente con il centro della sfera; non

permette la proiezione di un intero emisfero.

Scenografica: come la stereografica, ma con centro di vista esterno alla sfera; permette operativamente

la proiezione di più di un intero emisfero.

Cilindrica pura (o equidistante): consiste semplicemente nel considerare le coordinate geografiche della

latitudine e della longitudine come delle coordinate cartesiane, distribuendo cioè la superficie sferica su

di un cilindro tangente all’equatore (o un altro cilindro a questo concentrico). Le distorsioni aumentano

progressivamente allontanandosi dall’equatore, in particolare lungo i paralleli (direzione longitudinale).

Funziona bene vicino all’equatore, ma non ha proprietà utili né è possibile rappresentare l’intero globo

(restano esclusi i poli, dato che la proiezione si attua dal centro della sfera alla superficie di un cilindro):

=

{

= tan

Vengono comunque definite cilindriche tutte le proiezioni per le quali ogni coordinata sul piano dipende

da una sola coordinata sull’ellissoide:

= ()

{

= ()

Conforme di Mercatore: è una proiezione conforme, ottenuta modificando una proiezione cilindrica

dilatando la distanza tra i paralleli via via che ci si allontana dall’equatore, così da ridurre notevolmente

lo schiacciamento delle zone polari, dove permane comunque una forte deformazione. Meridiani e

paralleli sono ortogonali ma, mentre i meridiani sono equidistanti tra loro, i paralleli si distanziano

sempre più andando verso i poli. Non è una proiezione equivalente perché non mantiene le superfici,

ma è conforme in quanto isogona. Partendo dalla soluzione per la proiezione cilindrica sopra esposta (in

=

porpora) si cerca una soluzione che soddisfi la condizione di conformità; imponendo si ottiene:

5 Nicola Genuin, mat. N° 186691

=

{

=

Rispetto alla trasformazione cilindrica l’equazione per rimane la stessa, ma quella per cambia. Come

per la proiezione cilindrica le deformazioni sono piccole vicino all’equatore, mentre il modulo di

deformazione lineare aumenta allontanandosene. Le trasformate di meridiani e paralleli sono rette

parallele tra di loro e agli assi cartografici.

Di Gauss (o inversa) se il cilindro è tangente ad un meridiano (asse del cilindro sull’equatore). Si

impongono due condizioni: un meridiano si trasforma in una retta (ciò implica che rispetto all’equatore

e a tale meridiano la carta sia simmetrica) e tale meridiano è sviluppato in vera grandezza (al netto della

1,

scala). Sul meridiano di riferimento il modulo di deformazione lineare vale e di conseguenza la

2

deformazione lineare su di esso è nulla, mentre cresce con allontanandosi da esso: per questo motivo

6°.

si applica la rappresentazione di Gauss per fusi, tipicamente di In forma analitica sono date

espressioni in forma chiusa solo per la sfera, mentre per l’ellissoide si usano sviluppi in serie.

Sinusoidale (o di Sanson-Flamsteed, o naturale): rappresenta porzioni di territorio compresi fra due

paralleli e due meridiani tramite particolari quadrilateri, formati dalle trasformate dei due suddetti

rispettivamente come rette ed elementi curvilinei. In questo modo, la lunghezza di ogni parallelo è, come

nella realtà, proporzionale al coseno della latitudine, così la forma della mappa di tutta la terra è l’area

compresa tra due curve coseniche simmetriche ruotate. Si tratta di una proiezione equivalente, in

quanto conserva le superfici, per la quale i paralleli sono rappresentati da rette parallele tra loro e il

1

modulo di deformazione lineare è pari ad sul meridiano centrale. Applicata ad una sfera, porta a

meridiani rappresentati da sinusoidi, con equazioni:

= cos

{ =

Azimutale equivalente di Lambert: qualunque sfera viene rappresentata su di un disco, conservando le

aree in ogni parte della sfera (p. equivalente) ma non riproduce fedelmente