Appunti di topografia

MISURA DI ANGOLI

Le misure di angoli in topografia si effettuano con teodoliti o stazioni totali (che integrano teodolite e

distanziometro). Sono spesso misurati contemporaneamente ma utilizzati separatamente, e vengono

400 , 400

misurati in gon, unità per cui l’angolo giro misura o .

Dato un punto di origine O in cui si è fatto stazione con lo strumento e due punti P e Q nello spazio circostante,

di definisce piano di collimazione il piano contenente la verticale per il punto di stazione O ed il punto

collimato (alternativamente P o Q). Dal punto di stazione O si possono così misurare due tipi di angoli:

- Azimutale: è la sezione retta dell’angolo diedro formato dai due piani contenenti la verticale per O

passanti rispettivamente per P e per Q. Equivale cioè a dire che p l’angolo tra i due piani di

collimazione per P e Q. In realtà si osservano due direzioni e, per differenza, si determinano angoli

azimutali, in virtù del fatto che l’origine degli angoli è in genere arbitraria;

- Zenitale: è l’angolo tra la direzione verticale per O e la retta di collimazione per P, ed è quindi

misurato sul piano di collimazione per P.

MISURA DI DISLIVELLI

La misura di dislivelli è fatta utilizzando il livello, che materializza un’asse di collimazione orizzontale; questo

collima due aste graduate, dette stadie, poste sui punti di cui si vuole determinare il dislivello e mantenute

in verticale usando delle livelle sferiche; leggendo i valori sulle due stadie è possibile calcolare il dislivello per

differenza. La lettura può essere fatta da un operatore usando un cannocchiale, ed eventualmente un

micrometro, oppure negli strumenti topografici moderni tramite letture ottiche automatiche di cerchi

(goniometri). 10

Nicola Genuin, mat. N° 186691

Misura di angoli

Il teodolite è lo strumento utilizzato in topografia per la misura di angoli, azimutali e zenitali. I modelli più

moderni sono integrati con distanziometri e sono chiamati stazioni totali, e alcuni sono dotati anche di

accessori per fare altre misure, come ad esempio GNSS e azimut magnetici.

Si identificano tre assi:

- Primario, attorno a cui ruota l’alidada rispetto alla base. In uno strumento correttamente messo in

stazione corrisponde con l’asse verticale, passante per punto di stazione, il centro dello strumento e

lo zenit;

- Secondario, attorno a cui ruota il cannocchiale rispetto all’alidada, dovrebbe essere ortogonale

all’asse primario;

- Di collimazione, definito dal cannocchiale, dovrebbe essere ortogonale all’asse secondario.

I 3 assi, ortogonali a due a due (1^ condizione di rettifica, si veda più avanti), si incontrano in un punto detto

centro dello strumento, rispetto al quale si effettuano le misure degli angoli (e delle distanze, per stazioni

totali). Il centro dello strumento deve essere individuabile e se ne deve conoscere la posizione rispetto al

punto di stazione; si misura quindi, tipicamente con un’asta graduata, l’altezza strumentale, distanza tra

l’incrocio degli assi ed il punto di stazione in direzione verticale (il punto di stazione è quindi la proiezione

verticale del centro dello strumento sulla superficie del terreno). La basetta, su cui ruota l’alidada, è dotata

di tre viti calanti, necessarie per l’orientamento dell’asse primario. Le misure vengono fatte su cerchi, o

goniometri, uno o più per gli azimut e idem per gli zenit:

- il cerchio degli angoli azimutali, fisso sulla base con indice che ruota con l’alidada, è perpendicolare

all’asse primario e quindi orizzontale;

- il cerchio degli angoli zenitali, che ruota con il cannocchiale e ha l’indice è fisso sull’alidada, è

perpendicolare all’alidada e all’asse secondario e quindi è verticale.

Si noti che per i primi la direzione dello zero è indifferente, mentre per i secondi è rappresentata dalla

direzione dell’asse primario. Quest’ultima osservazione mette in evidenza come le misure (e in particolare

quella dello zenit) siano affette da errore, relativo al corretto posizionamento dello strumento: sono presenti

quindi dei compensatori che compensano la non verticalità dell’asse primario. Le gradazioni dei cerchi di

solito sono in senso orario ed usano i gon, ma gli strumenti possono fare conversioni in altre unità, mentre

le letture sono completamente automatiche.

Inoltre, affinché funzioni correttamente, il teodolite dev’essere rettificato, secondo quattro condizioni di

rettifica:

- I 3 assi sono a due a due perpendicolari tra loro;

- I 3 assi si incontrano in un punto (centro dello strumento);

- I cerchi sono su piani perpendicolari ai rispettivi assi;

- I cerchi hanno centro sui rispettivi assi.

Le condizioni di rettifica sono intrinseche dello strumento e prescindono dalla messa in stazione, infatti sono

dettagli costruttivi dello stesso e sono verificate in laboratorio; la sussistenza di queste condizioni può

cambiare nel tempo in seguito a sollecitazioni meccaniche o termiche. Quando un teodolite rettificato è

messo in stazione, si hanno:

- Asse primario verticale e passante per il punto di stazione;

- Asse secondario giacente su un piano orizzontale;

11 Nicola Genuin, mat. N° 186691

- Asse di collimazione generalmente inclinato.

La precisione della misura degli angoli dipende dalle caratteristiche costruttive e dalle condizioni ambientali;

3° ∙

la precisione degli strumenti varia in un range ampio, con scarto quadratico medio (sqm) che varia da

−5 −3 ′

10 2° ∙ 10 0.1” 1 ,

a , cioè da a . Spesso le precisioni di un teodolite sono espresse in ovvero centesimi

−4 −3

10 20 2 ∙ 10

di centesimi di gon, . Una precisione tipica è ad esempio , cioè . L’effetto sulla precisione

delle coordinate varia ovviamente in funzione della distanza dei punti dallo strumento.

Negli strumenti topografici solitamente si usa un cannocchiale a lunghezza costante, formato da obiettivo,

reticolo ed oculare. La messa a fuoco si effettua traslando, mediante una ghiera esterna, una lente interna,

mentre un’altra ghiera posta sull’oculare permette la messa a fuoco del retino, una lastra di vetro su cui sono

incisi tratti che individuano il punto di collimazione, posto sull’asse di collimazione che passa per il centro del

reticolo e il punto principale dell’obiettivo.

Altre parti del teodolite sono:

- Elettronica per lettura automatica dei cerchi, gestione delle impostazioni, visualizzazione,

memorizzazione e scarico delle misure, calcoli semplici;

- Strumenti per la messa in stazione, come livella sferica o torica, piombino ottico o laser;

- Ausili alla collimazione, come mirini per la collimazione di massima e viti di collimazione per piccoli

spostamenti.

La messa in stazione di un teodolite (e di una stazione totale) avviene rendendo l’asse primario verticale e

passante per il punto di stazione. La prima condizione è assicurata da compensatori ottici o elettronici già

menzionati che modificano il percorso ottico o la lettura ai cerchi; dato il loro range di funzionamento molto

limitato, si desume che lo strumento debba già essere posto manualmente in stazione in modo che la

direzione dell’asse primario non si discosti troppo dalla verticale. Si risponde a quest’ultima necessità tramite

una livella sferica (o torica) che permette di misurare con ottima precisione la verticalità dell’asse primario.

La sua sensibilità, valutata come rapporto tra angolo e spostamento della bolla, varia a seconda degli

strumenti ed è tipicamente compresa fra 4’/2mm e 8’/2mm. La livella viene rettificata mediante l’azione in

contrasto sulle tre viti calanti presenti sulla basetta, manovrandole a due a due. Nel caso lo strumento

disponga di una livella torica (in genere i meno recenti) la rettifica viene svolta in più fasi ruotando di volta in

volta la livella, in quanto questa tipologia è sensibile a spostamenti in una sola direzione. Per controllare

invece il passaggio dell’asse primario sul punto di stazione, ovvero effettuare il centramento, si possono

usare filo a piombo, piombino ottico (ottica con visione corrispondente alla direzione dell’asse primario,

rivolta verso il basso e realizzata con uno specchio a 45° inserito della basetta) o puntatore laser in direzione

dell’asse primario, verso il basso. Le operazioni per la messa in stazione sono nell’ordine:

- Posizionare il cavalletto sul punto da rilevare con base di appoggio circa orizzontale;

- Montare lo strumento (o solo la basetta) e centrare la livella sferica usando le viti calanti a contrasto.

Se è presente invece la livella torica la si pone in direzione di 2 viti calanti e si centra, poi la si ruota

di un angolo retto e si ricentra, si verifica ruotandola di un angolo piatto ed eventualmente

correggendola di mezzo spostamento se risultasse srettifficata;

- Centrare lo strumento sul punto con piombino ottico o laser (iterando tra i punti 2 e 3 al bisogno).

Gli errori nella misura di angoli sono legati, lo si ribadisce, alla non verticalità dell’asse primario e al non

rispetto delle condizioni di rettifica. Vengono definiti:

,

- Errore di verticalità angolo che l’asse primario forma con la verticale nel punto di stazione dopo

la messa in stazione; ,

- Errore di inclinazione angolo che la normale all’asse primario forma con l’asse secondario;

12

Nicola Genuin, mat. N° 186691

,

- Errore di collimazione angolo che l’asse di collimazione forma con il piano normale all’asse

secondario

Si trascura l’influenza reciproca tra questi errori. È possibile invece determinare l’errore sistematico sulle

misure di angoli azimutali dovuti ai tre errori, applicando calcoli trigonometrici ai termini del primo ordine:

= cot sin = cot =

sin

.

avendo indicato lo zenit con e l’azimut con

La regola di Bessel consiste nell’effettuare la collimazione di un punto con il teodolite in due posizioni dette

200

coniugate, ruotate di un angolo piatto (, o ) in senso azimutale. Tali posizioni sono tradizionalmente

dette cerchio a destra (dell’operatore) e cerchio a sinistra, ma gli strumenti moderni hanno spesso due cerchi

200

per la misura degli angoli zenitali. Le due letture per gli angoli azimutali differiscono, come già detto, di

e la media delle letture con cerchio a destra e a sinistra vale:

+ −200

= 2

400

mentre la somma delle letture zenitali vale , quindi, con gli stessi apici:

− +