Appunti di teoria esame Teoria dei sistemi

Notazioni

Sia T l'insieme dei tempi:

• T = ℝ tempo continuo
• T = ℤ tempo discreto

Notazione omificata:

Δ_t(t) x(t) t ∈ ℝ

x_k t ∈ ℤ

x ∈ ℝⁿ, u ∈ ℝ^p

SISTEMI:

Δx(t) = Ax(t) + Bu(t)

x (t+1) = Ax(t) + Bu(t)

Differenze tra tempo continuo e discreto

• Un sistema a tempo discreto, al contrario di quello continuo, a risposta libera partendo da un valore diverso da zero, potrebbe andare a zero in tempo finito
• A tempo discreto posso avere oscillazioni senza autovalori immaginari, cosa che non è possibile a tempo continuo

Raggiungibilità

Sia x(t) = φ(t, x₀, u(·)) e x(0) = 0 2i può sempre scomporre come

φ(t, 0, u(·)) + φ(t, x₀, 0)

RISPOSTA LIBERA

RISPOSTA FORZATA

RISP. FORZATA

Xe(t)

RISPOSTA FORZATA

Xp(t)

abbandonato con adatto comportamento

Def

Uno stato x ∈ ℝⁿ è RAGGIUNGIBILE se ∃ T t ∈ T, x(0) = x

se partendo da condizioni iniziali nulle riesco a raggiungere x₀

Se sistema è RAGGIUNGIBILE ∀ x ∈ ℝⁿ è RAGGIUNGIBILE

Def

Uno stato x ∈ ℝⁿ è CONTROLLABILE a(0) se ∃ T t ∈ T, x(t; u) = 0

5.1.2

è controllabile e applicando un controllo, riesco a farlo tornare a 0

Il sistema è CONTROLABILE se ∀x ∈ ℝⁿ, x è CONTROLLABILE

Proprietà

a partire da x

• x ∈ ℝ^m raggiungibile ⇔ ∃φ | φ(t₁,x₀) = x
• x ∈ ℝ^m controllabile ⇔ ∀x̄ : x̄ = φ(t₁,x₀) per t > 0 ⇒ anche x̄ è controllabile

_{Sottoinsieme del} ℝ^m

X_r: insieme degli stati raggiungibili del sistema S

X_c: controllabili

• X_c = X̄^sc

Proprietà

X_r è sottoinsieme di ℝ^m

• ∀x_a, x_b ∈ X_r ∃ λ ∈ [0,1] tale che λx_a+βx_b ∈ X_r
• ∀t ∃ φ(t_b,0,u_b(t)): esendo x_a raggiungibile
• X_S = φ(t_b,0,u_b(t))

2) ker (P_!') è l'insieme dei vettori x : P_!'x = 0 , cioè xP₀ , x[^j⋯ⁱ] A^m-1B = 0

ovvero x^TA^KB = 0   ∀ i = 0, ⋯, m .

Il lemma sarà vero se la (16) è vera ⇒ vale la (17)

Se x ∈ R^m soddisfa la (16), derivandola un numero arbitrario di volte rispetto al tempo

si ricava x^TAⁱ è AⁱB = 0   ∀t ∈ [0, t_i]   i = 0, ___, ________   che per i = 0 implica la (14)

Se x ∈ R^m soddisfa la (17) per C.H.: Δ^m' = ∑ m^-1 A''   i > 0, perciò se per un qualunque j : j^⊥:

vettore soddisfa la x^TAⁱt'B = 0 , per moltiplicando la (19) per xⁱ e postmoltiplicando B si

ricava x^TA^mt'B = 0

(17) x^… 2 A^… B_i = 0

(17) + C.H   sette studik A ∀x > m  ⇒ x^m B = 0 ∀ k > 0

16) ε ^∞ Aⁱ = ∑ A^skB

(17) x^T A^kB = x^{∑ σ}…   B = ∑ ^xA

(17) + C.H ⇒ (16) ⇒ x ∈ ker(P)   ⇒ xⁱ ε ker(C(t))

P̂=_{[ Br Brr ]} =

Quando cambiamo base

La forma di Kalman non è unica per la scelta di T^-1

Ma alcune cose non cambiano cioè:

det( λΙ- ) = det( λΙ-_rr ) det( λΙ-_uu ) = P_aut(λ) non dip. dalla base scelta

6 (Αrr) autovalor sotto sys.[facilmente] scindibile

6 (Π_ilr) non facile

Sottosistema

La parte non cagg. influisce nel sist. cogg. ingibile

MATRICI DI TRASFER. APPELLO SCOLTO A QUELLO

Matrice di trasferimento (Su non contribuisce)

Algoritmo che c'è solo sull'iscritto

Assegniamo autovalori

Δx(t) = Ax(t) + βu(t)

u(t) = Fx(t) + γ(t)

Lavoriamo su σ(A+BF)

A serve per cambiare gli autovalori (i contorni)

G aspettiamo di non cambiare gli autovalori di Aut

θ(Au) ⊂ θ(A+BF) ∀F ∈ R^m×n

λ = TλT

μ = Tμ

λ = Tx

x = Tx

F = Fr - Fr₁

σ(A+BF) = θ(A+BF)

Con thm C

θ(TΔT^-1 + TBFT^-1) = θ(T(A+BF)T^-1)

Costruiamo F = [Fr | Fu]

A + BF = [Arr Aru] + Bf [Frr Fru] = [Arr+BFrr Aru+BrFu]Aru 0 0 | 0 Aru Bru 0 0 0 0

Disegno omino θ(Rru) ⊂ θ(A+BF)

θ(A+BF) = θ(Rru) ⋄ θ- (Arr+BrFru)

Regolarità

Se s ∈ regg ⇒ Sc ∉ regg cioè se (A,B) regg ⇒ ∃F ∈ R^m×n (A+BF,B) ∈ regg

ƴ(t) = -Fx(t) + ω(t)

• w
• N
• u

È vero che rank[A+BF - λI ; B] = m ∀λ ∈ σ Sì

[A+BF - λI ; B] = [A+BF - λI - BF] [B∞] = |λ I - λ I| = λ I - λ I

-F I_p

A_em = a₀e_a

A_en = e_n - a₀e₁

Def.A₁ = A^m_n-2B³ o_nA^m_n-2B² ... a_m,m-1 A_n,m-1B

A_s = e_sA_m-n+1 e_s

A_eB₃

• Eqs.:

• E_B = θ(AB_tq_nm_B)

• 1 o_mn : o_k o_n-1

• 0

• a₁ o₃

• 0 1

• ∅ o_n o_n-m-2

• 1 a_m

• 0 1

Proiezione F = F^T-1 − F.Ft

F = f_{m n-2}

• A+BF = a_n − f_m ... a_-p0

• 1 0

• 0 0

• -o_o − f_o = o

• f_a − a_o

Det(A_n-A) = o_n − a_m

1 a_m-2 o_n-3

a_-1 o₀ θ

A_i

π(x) =(x-λ₁)(x-λ₂)...(x-λ_m)

λⁿ − a₁ λ_n−1 ... + a₂ λ_o ∅ Δ_oo

Osservabilità (verificare il fatto usato)

S.₁ Δx(t) = A x(t) + B u(t) S.₂ y(t) = C x(t) + Du(t)

x ∈ ℝ^m, u ∈ ℝ^p, y ∈ ℝ^p

Problema

Sono noti A, B, C, D, t ∈ [0, t_f] t.c. pos. misurando l’uscita etcc...

È possibile ricavare univocamente X(0) o x(t_f)?

Def.

S osservabile se è possibile ricavare x(0)

Proprietà

Osservabile e determinabile

È possibile calcolare esattamente y_e(τ 0 S non è osservabile

Proprietà

x in osservabile → Ψ(t)x = 0, Φ(t)x è inosservabile

Φ(t)x e^A

Dim. V₂ = 0

Φ(τ)x = 0 → P(t)Φ(t)x = 0

C A_τfx

UNO STATO INOSSERVABILE IN SOLUZIONE LIBERA SARÀ ANCORA INOSSERVABILE

∀ τ ≥ 0 Y(t): Y (t) = ( e^AT^*) - CA^xT_r x =

Y(t) = Ce^A(t-τ)x = C e^A(t-t_f)

t = 0 (A(x(0) + Bu(t)))

CA^*T^r(t)Bu(t) → Bu(t)

∀t ≥ 0 ∫ Bu(τ) e u(τ) dτ ∀ t ≥ 0

x(t) = e^A(t-γη)(B u(γ) Bu(γ)) → Y(τ)