Appunti di teoria esame Teoria dei sistemi

Notazioni

Sia T l'insieme dei tempi:

• T = ℝ_t tempo continuo
• T = ℤ_t tempo discreto

Notazione unificata:

• x(t) _∈T ∈ ℝ

∆x(t) = Ax(t) + Bu(t)

Differenze tra tempo continuo e discreto:

• Un sistema a tempo discreto al contrario di quello continuo a risposta libera partendo da un valore diverso da zero potrebbe andare a zero in tempo finito
• A tempo discreto posso avere oscillazioni con autovalori immaginari, cosa che non è possibile a tempo continuo

Raggiungibilità

Sia x(t) = φ(t, t₀, u(·)) ∋ x(0) = 0 allora può sempre scriversi come:

ψ(_t0) (t, x(0), u(·)) ⥤ φ(t, t₀, u(·))

• RISP. FORZATA
• RISPOSTA LIBERA φ(t, 0, u(·))

Def

Uno stato x ∈ ℝ^m RAGGIUNGIBILE se ∃ t ∈ T, t > t₀ ∃ u(·) φ(t₀, u(·)) = x

• do 0

5.1.1

Se partendo da condizioni iniziali nulla riesco a raggiungere x₀ il sistema è RAGGIUNGIBILE se ∀ x ∈ ℝ^m è RAGGIUNGIBILE

Def

Uno stato x ∈ ℝ^m CONTROLLABILE (a, 0) se ∃ t ∈ T, t > t₀ ∃ u(·): φ(t, x(·), u(·)) = 0

• esposto a comporre 0

5.1.2

è controllabile se agito come un controllo riesco a farlo tornare a 0

Il sistema è CONTROLLABILE se ∀ x ∈ ℝ^m, x è CONTROLLABILE

Notazioni

Sia T l'insieme dei tempi:

• t ∈ ℝ tempo continuo
• τ ∈ ℤ tempo discreto

Notazione unificata:

x(t), t ∈ ℝ

x(τ), τ ∈ ℤ

x ∈ ℝⁿ, u ∈ ℝᵖ

Δx(t) = Ax(t) + Bu(t)

x(τ+1) = Ax(τ) + Bu(τ)

Differenze tra tempo continuo e discreto

• Un sistema a tempo discreto al contrario di quello continuo, a risposta libera partendo da un valore diverso da zero potrebbe andare a zero in tempo finito.
• A tempo discreto posso avere oscillazioni senza autovalori immaginari, cosa che non è possibile a tempo continuo.

Raggiungibilità

Sia x(t) = φ(t, t₀, u(·)) e x(0) = 0 si può sempre individuare come

φ(t, t₀, u(·)) = φ(t, t₀, 0, u(·))

ψ(t, t₀, u(·), x₀, 0) + φ(t, t₀, 0, u(·))

Def

Uno stato x ∈ ℝⁿ è RAGGIUNGIBILE se ∃ t ∈ T t ≥ t₀ ∃ u(·) : φ(t₀, u(·)) = x

Def

Uno stato x ∈ ℝⁿ è CONTROLLABILE (a, 0) se ∃ t ∈ T t ≥ t₀ ∃ u(·) : φ(t, x, u(·)) = 0

e controllabile se agendo con un controllo, riesco a farlo tornare a 0.

Proprietà

x ∈ ℝ^m raggiungibile ⇒ x = φ(t₁, x₀, 0) raggiungibile.

x ∈ ℝ^m = controllabile ⇒ se x̅ : φ(t 1,x̅,0) per t > 0 ⇒ anche x̅ controllabile

Sottoinsieme

X_r insieme degli stati raggiungibili del sistema S

X_c

Proprietà X_r

• x_a, x_b ∈ X_r ⇒ ∃ α, β ∈ ℝ, α x_a + β x_b ∈ X_r

Intendo una bella dimostrazione

Proprietà:

X_t è sottospazio di Rⁿ ∀ t ∀ β ∈ R

Se x_a, x_b ∈ X_c => αx_a + βx_b ∈ X_c assumendo che siano controllabili: ∃_c x_c, x_b

∅ (t_a, x₀, u_(·), t) = 0

se t ≤ t_a

∅(t_b, x_b, u_(·), t) = 0 ∀≤ t ≤ t_a

Sia ü(t) : ü(·), u_b(t), t ∈ (0, t_b)

=> ∅(t_a, x_b, ü(·), t) = 0

Per la sovrapp. degli effetti ∫₀^{(t_a, αx_a + βx_b)} ∅(u_(·) - Βu(sh)) che può essere effettuata

solo perché abbiamo gli stessi coeff. => ∫₀ ∅(u_(·) - ∅(x₀, u_α(·))) - Β(t_a, x_a, x_b, ü_(·)) = 0

∀ i, 0, β , 0.

10/10/3

Teo. di Cayley-Hamilton

Dato A ∈ R^m×m quadrato def. il polinomio caratteristico

il polinomio risultante fia : => λ^m - a_m^m - .... + a₁λ + a₀

il coeff. a_m1

se teo. dice che se al posto di λ mettiamo A con l'accuratezza di Caii (per fare ex. mat.)

=> C(A) = 0 => A^m_ma_m^m + ....+ a₁A + a₀I = 0

A^r ( ...)_m-1 + a₂ + a₁A + (r)

Se volessimo prov... A^m - [A]ⁱ a_iA