Appunti di Teoria dei Circuiti

TEORIA DEI CIRCUITI

questo componente elettrico è un RESISTORE

INDUTTORE

CONDENSATORE

Definiamo:

• tensione v(t) [V]
• corrente i(t) [A]
• potenza istantanea ρ(t) = v(t) * i(t) [W]

Relazione costitutiva del componente:

f(v, i) = 0

LEGGI DI KIRCHHOFF

1. La somma algebrica delle correnti all’interno di una linea chiusa è nulla.
   • ∑_k i_k(t) = 0
2. La somma algebrica dei voltaggi incontrati percorrendo una maglia in un certo verso è nulla.
   • ∑_k v_k(t) = 0

ENERGIA

ρ(t) = v(t) * i(t) = dE(t)/dt

E(t) = ∫_−∞^t ρ(t) dt

In un componente il bilanciamento di energia può avvenire secondo varie classificazioni:

• TRASF. IRREVERSIBILE — dissipazione energia → calore
• TRASF. REVERSIBILE VINCOLATA — accumulo energia come vincolo
• —
• —

Componenti 2 Porte

Generatore controllato (o dipendente)

Gen. tensione controllati in tensione:

u = k · v_c

Il generatore cont. è un componente attivo (fornisce energia).

Gen. tensione controllati in corrente:

u = k i_c

Gen. corrente controllati in tensione:

i = k v_c

Gen. corrente controllati in corrente:

i = k i_c

Nullore

nullo

conf. bilanciata

i = 0

v = 0

• Nei circuiti:
• v = 0
• i = 0
• v₁ = v₂ = 0
• i = v_g

v₀ - v₂ = R₂ / R₁ v_g

conclusione I₂:

i(t) = -I₃ con questo metodo non è più facile calcolare i(t)

I₈ = I₁ - I₂

otteniamo l'equazione per

scriviamo l'equazione per trovare V_x tra le incognite

V_out = A₁ + A₂cos (t + ψ)

dipende da ψ(ω=ω₀) dipende da |V_out(ω=ω₀)|

nota V₈ (I₈ questo)

prototipo tensione

nota I₈ (V₈ questo)

V_out² = A₂cos t

RETÌ Z-PORTE

1) MATRICE Z

2) MATRICE Y

NON INVERTIBILE

ESERCIZIO

• R₁ = 3
• R₂ = 2
• I_g = 2 A

METODO MDI

CONDIZIONE



Y₂₁ = 0

Y₂₂ = 0

RISOLVO

DISPERSIONE



METODO MASHLE



R1

Vg(t) = 2cos3t

Ig(t) = 5cos(3t + π)

R1 = 2 Ω

R2 = 3 Ω

C = 1 F

L = 2 H

ω = 3

V_out = ?

V_g = 2

I_g = 5e^{j (π)}

V_out = Re { V_out e^3jt }

V_out = R2 I₂

1/ jωL C

0

R₁ + R₂

R₁ + 1 / jωL

jωL C

jωL C

1 / jωL

I₂ = I_g - I₁

V_g - V_L

V_L

0

ampiezze (formulazione delle condizioni G)

sovrapposizione dei effetti

1 nodo V_g I_g = 0

Z

V_out = R₁ / (R₁ + R₂) V_g

1 / jωL

1 / R₁ + jωL C

1 / jωL + jωL C

V_out = E₁

E₁ - V_g

I'₁

I'_p

(jωL C + jωL C) (1 / R₁)

1 / R₁ + jωL

( - 1 / R₁ )

V_out = E₁ + V_out^(x) + V_out

Re_{

V_var = Re_{ V_out e^j3t

• t < 0
  • ω₀ = 3
  • V_β ≠ 0
• R₁ = 3
• R₂ = 5
• R₃ = 2
• R₄ = 4
• R₅ = 1
• L = 1

V_β(t) = { cos 3t     t < 0 0        t ≥ 0 }

I = V_β / R₁ R₂ jωL

V = R₂ I

I' = V / R₃ = R₂ I / R₃

V_out = R₅ V₂ / R₃

A

t < 0

I_g(t)

I_out(t)

V = -¹/_R3 I_g

I = -2E₂

I_out = ^E₂/_R3

i_out(t) = Re { I_out e^i3t }

RIASSUNTO

METODO NEI FASORI

1. sostituzione del circuito
2. analisi del circuito sostituto
• trasformazione

VALE ANCHE PER LA TRASFORMATA IN LAPLACE

TRASFORMATA UNILATERA DI LAPLACE DI f (t)

F(s) = { f(t) } (s) = ∫₀^∞ f(t) e^-st dt

La trasformata di Laplace è un operatore lineare

R_L è indipendente

V_ø5 = R_øq I_g

V_ø5 = R_øq I_g

Il sistema x del tipo:

Il circuito Ø diventa quindi:

cos(^tπ/₂) = 0

I_g = jØ

(t = ^π/₂)

t < 0

fascia

V_k = 1

I_g = e^-jπ/2 = -j

Z = ¹/_jωL/IL

(t < 0)

LAP._IA(s) = ²/_s

(R_eq - R_q I_g)

V_orr = R_L/(R._øq I_g)

j42/5

V^{outr (t)} = Re {V_ørr e^jωt}

I_L = ^{V_L - R_L I_g}/_jωL

Per le 4 rad: ²/₅

metodo magari

S_L LI_ø(t)

I_L

R_eq I_ø (s)

R_q + 1 = R_eq

- Pg

^{R₁ + R₃}/₅ ∙ ¹/_3^-1

s = ^-2/_{s^{(2 + 5j)}}

RISPOSTA IN FREQUENZA

e(t) ➔ F(s) E(s)

Funzioni di rete

U(s) = F(s) E(s)

H_p e(t) = E cos(ω_kt + ϕ) → E = E_oe^jϕ

livelli S (da L_k)

x poli

x poli coniugati

regioni di convergenza

E(s) = 2       {       E cos (ω_kt + ϕ)       |       U_k (cos (ω_kt + ϕ))       |      }       {      ^   (   U₁ (cos (ω₁t + ϕ)) + U₂ (cos (ω₂t + ϕ))       ...       U_n (cos (ω_nt + ϕ))      )      }

E_k il rautrice del polo         ϕ E_k il termine del polo         ω_o = 1/jω == R_fusresidui

E_k termo del polo ω_o stabilità residuo pari dei poli e sin jω = ω

sistemare i poli

non convergono

Vediamo perché. Abbiamo quei poli

U(s) - F(s) E(s) = E(s) - U_k(s) + U_o(s)

f(s) = U₂/2

U_o/2

lim s ➔ jω_u U_k(s) - U_o(s) - F(s)E(s-jω) - U_k(s-jω) integrata

lim s➔h U_o/2 E_k/^s-jw

rim(s) - D_freq gradinata esercizio

s     s

F(s) E/2 ω

con σω      E/2^s-jωw

U - E | F(σHc) | sin(ω) cos((rx/jw)

U_ox(T) = σ A_kg x s^{σ Hκ}

U_ox(T) = S _{Akg -->      s^{σ S}}