Appunti di Teoria dei Circuiti

Teoria dei circuiti

Questo componente elettrico è un resistore.

Componenti e circuiti

• Terminali
• Induttore
• Condensatore
• Circuiti lineari permanenti

Grandezze elettriche

Tensione v(t) [V]

Corrente i(t) [A]

Potenza istantanea ρ(t) = v(t) · i(t) [W]

Relazione costitutiva del componente: f(v, i) = 0

Leggi di Kirchhoff

1. La somma algebrica delle correnti all'interno di una linea chiusa è nulla: ∑ k_k(t) = 0
2. La somma algebrica dei voltaggi incontrati percorrendo una maglia in un certo verso è nulla: ∑ v_k = 0

Energia

ρ(t) = v(t) · i(t), dE(t)/dt

E(t) = ∫_-∞^t ρ(t) dt

In un componente, il trasferimento di energia può avvenire secondo varie classificazioni:

• Trasferimento irreversibile
• Trasferimento reversibile

Componenti bipolari

Resistore

v(t) = Ri(t) R: resistenza [Ω]

Nota: questa è una relazione costitutiva del componente.

p(t) = Ri²(t) > 0

Nota: E è l'energia assorbita.

E(t) = ∫₀^t Ri²(t)dt

i(t) = G v(t) G: conduttanza = 1/R [Ω^-1]

Condensatore

i(t) = C dv/dt C: capacità [F]

p(t) = Cv(t) dv/dt > 0

E(t) = ∫_-∞^t C v dv/dt dt = 1/2 Cv²(t) > 0

- Se dv = 0, i(t) = 0 e il condensatore diviene un circuito aperto.

Induttore

v(t) = L di/dt L: induttanza [H]

E = 1/2 Li²(t)

Nota: per la stessa dimostrazione data sopra, l'induttore è passivo.

- Se di = 0 (corrente continua), v(t) = 0 e l'induttore diviene un cortocircuito.

Generatore indipendente

• Generatore indipendente di tensione: V_g(t) - Se le righe diviene un cortocircuito.
• Generatore indipendente di corrente: I_g(t) - Se le righe diviene un circuito aperto.

Relazioni costitutive

Fase iniziale

Fase istantanea

2^a Kirchhoff: v₁ + v₂ + v₃ = V_θ

Partitori

• Partitore di tensione: v_R
• Partitore di corrente: Con v_Φ(t) = G_k

Esempio

• Dati: v_in = 2 V
• v_out(t)
• R_NOR = R₁

Parallelo in parallelo

Dividere: V_out = V_B ^R₂ / _{R2 + R3}

Componente bipolare

v(t) = R · i(t)

Componente a N terminali

N-1 tensioni

N-1 correnti

Porta: Una coppia di terminali quando la corrente che entra in uno è uguale a quella che esce dall'altro.

Trasformatore ideale

v₁ = n · v₂

i₂ = - ₁/ⁿ i₁

Relazione costitutiva trasformatore ideale

p(t) = ∑_pk(t) = v₁·i₁ + v₂·i₂ = v₁·i ₁ / _m - (i₁·n) = 0

Passivo (e non scambia energia)

v₁ = _v2^R,₂

v₁ = _v2^R,₁

v₁ = - i₂ R_m1

Nota costituita dell'induttore

di₁ / dt = n·v₂ = n(-L(-^{v₁ -di₁ / _dt))}

Comportamenti 2 - Porte

Generatore controllato (o dipendente)

• Gen. tensione contr. in tensione: V = kV_c tens. controllata k è numero reale

Esempio in un circuito

V_t controlla V_r k = 2V = 2V_t

Il generatore controllato è un componente attivo (fornisce energia)

• Gen. tensione contr. in corrente: V = kI_c
• Gen. corrente contr. in tensione: I = kV_c
• Gen. corrente contr. in corrente: i = ki_c

Nullore

Vari circuiti

L_p = L_t = 0

i = V_B/R_t

V_o = V_t = iR_t

N_t = -R_t

V_B = -V₂ = R₂/R₁ V_B

Topologia

Indichiamo con N il numero di nodi del circuito e con R il numero dei rami.

N = 4

R = 6

2R variabili

R relazioni costitutive

Algebra