Appunti Teoria dei Circuiti

CONDENSATORE

Andiamo a studiare condensatori lineari e a tempo invariante.

Sappiamo che

C = ^Q(t)/_dt

Il legame tensione - corrente in forma differenziale sarà

i_C(t) = C ^{d V_C(t)}/_dt

Andiamo a calcolare la sua forma integrale, integrando primo e secondo membro le forme differenziali

∫₀^t i(t) dt = ∫₀^t C ^{d V_C(t)}/_dt dt

ottengo

C [V_C(t) - V_C(0)] = ∫₀^t i(t) dt

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V_c(t) - V_c(0) = ¹⁄_c ∫₀^t i(t) dt

Di conseguenza —

V_c(t) = V_c(0) + ¹⁄_c ∫₀^t i(t) dt

• Come possiamo notare sia nelle forme differenziali che in quello integrale abbiamo bisogno di una condizione iniziale.

• Ogni condensatore deve avere una condizione iniziale V_c(0)

• Dalla legge integrale otteniamo che il singolo condensatore con condizione iniziale V_c(0) può essere pensato come serie

V_x(t) ⇒ Termore sul condensatore con condizione iniziale nulla ovvero V_c(0) = 0

Applichiamo la legge di kirchhoff ottengo

V_c(t) = V_c(0) + V_x(t) con V_x(t) = ¹⁄_c ∫₀^t i(t) dt.

Abbiamo ottenuto la legge in forma integrale.

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quindi

dW_energia = d (1/2 c v_c²)

dt dt

Integro primo e secondo membro.

Energia del condensatore all'istante t.

Facendo gli stessi passaggi otteniamo che l'energia in due istanti a,b dipende soltanto dell'energia in b e energia in a allora

W_(a,b) = W_b - W_a

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Procediamo con il calcolo dell'energia e della potenza.

Energia e Potenza

In generale sappiamo che la potenza è data da:

P = V · I

Nel nostro caso abbiamo:

P_L(t) = V_L(t) i_L(t)_ins

V_L(t) = L di_L(t)/dt

P_L(t) = L i_L(t) di_L(t)/dt

• Portiamo dentro il segno di derivata L i_L(t)
• Per poterlo fare dobbiamo trovare una funzione tale che la sua derivata faccia L i_L(t) (Esattamente la definizione di integrale)

Questa funzione sarà:

∫ L i_L(t) dt = L/2 i_L²(t)

Riscrivo la potenza

P_L(t) = d/dt (L/2 i_L²(t))

Dalla fisica sappiamo che la potenza è anche l'energia nel tempo.

Ricomponendo il circuito.

Co = Condizione iniziale del condensatore

Abbiamo ottenuto

v(t) = v_R(t) - v_R(t) = C_o e^-1/RCt

i_C(t) = C_o/R e^-1/RCt

i_R(t) = -C_o/R e^-1/RCt

Ril autonolo

Consideriamo il seguente circuito

Andiamo a calcolare tensioni e correnti in gioco.

Con

ρ_1,2 = -2 ± √(2² - ω_ο²)

Δ = 0

In questo caso avremo due soluzioni reali coincidenti.

Δ = 0 → |2 = ω_ο|

La soluzione dell’equazione differenziale nel caso d = ω_ο è:

i(t) = Ae^ρt + Bte^ρt

Con

ρ₁ = ρ₂ = ρ = -2

Δ < 0

In questo caso avremo due soluzioni immaginarie e distinte.

Δ < 0 → |d < ω_ο|

La soluzione dell’equazione differenziale nel caso d < ω_ο sarà:

i(t) = e^-dt (A cos ω_dt + B sin ω_dt)

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TEOREMI DELLE RETI

I teoremi delle reti ci permettono di semplificare o trasformare un circuito lineare.

Andiamo ad esaminare tre teoremi fondamentali:

• THEVENIN
• NORTON
• SOVRAPPOSIZIONE

THEVENIN

Il teorema di Thevenin afferma che un circuito lineare con due terminali (A,B) può essere sostituito con un circuito equivalente formato da un generatore di tensione VTh in serie con un resistore RTh.

• VTh - tensione a vuoto ai terminali (A,B)
• RTh - Resistenza equivalente ai terminali (A,B)

CALCOLO RESISTENZA RTh (SENZA GENERATORI PILOTA)

In questo caso, per il calcolo della RTh, dobbiamo:

1. Cortocircuitare i generatori indipendenti di tensione

Sappiamo che la potenza sulla resistenza R_L è data da:

sapendo che i = ,

Dobbiamo calcolare il max della funzione dell'espressione 2,

in modo da trovare la potenza max assorbita.

Ricordiamo che il max della funzione si ottiene derivandola ed

imponendo il risultato della derivata pari a zero.

In questo caso, visto che stiamo considerando la potenza sulla

variabile R_L, dobbiamo derivare rispetto a R_L l'espressione 2 per

poi imporla uguale a zero.

Facendo i calcoli si ottiene che

Condizione di massimo trasferimento di potenza.

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POTENZA MEDIA

Def.

La potenza media e il valore medio della potenza istantanea.

• In generale, la potenza di un segnale periodico qualsiasi si calcola nella seguente maniera:

X(t) → segnale periodico generico

P_m(t) = ¹/_T ∫₀^T X(t) dt

POTENZA MEDIA GENERICA

• Nel nostro caso abbiamo che X(t) = P_i(t)

P_m(t) = ¹/_T ∫₀^T P_i(t) dt

POTENZA MEDIA DI UN SEGNALE SINUSOIDALE

• Sapendo che P_i(t) = ¹/₂ V_mI_mcos(φ_v - φ_i) + ¹/₂ V_MI_mcos(2ωt + φ_i + φ_i)
• ottengo

P_m(t) = ¹/_T ∫_t=0^t=T [¹/₂ V_mI_mcos(φ_v - φ_i) + ¹/₂ V_mI_mcos(2ωt + φ_i + φ_i)] dt

• Svolgo i calcoli ed ottengo

P_m(t) = ¹/_T ∫₀^T [¹/₂ V_mI_mcos(φ_v - φ_i)] dt + ¹/_T ∫₀^T [¹/₂ V_mI_mcos(2ωt + φ_i + φ_i)] dt

→ ¹/₂ V_mI_mcos(φ_v - φ_i)

In quanto è il valore medio di una componente continua.

→ 0

In quanto è il valore medio di un segnale sinusoidale senza componente continua.

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Im(s) = ¹⁄₂ V_mIm sin (Φ_v - Φ_i)

• Definiamo

• POTENZA ATTIVA [W] da parte reale della potenza complessa P_ATT = ¹⁄₂ V_mI_mcos (Φ_v - Φ_i)
• POTENZA REATTIVA [VAR] da parte immaginaria della potenza complessa Q = ¹⁄₂ V_mI_msin (Φ_v - Φ_i)

• A questo punto possiamo scrivere la potenza complessa

S = P_ATT + j Q

Definiamo

• POTENZA APPARENTE [VA] Il modulo della potenza complessa |S| = √(P_ATT² + Q²)
• FATTORE DI POTENZA |cos (Φ_v - Φ_i)|

N.B

• La potenza attiva dipende solo dai componenti resistivi.
• La potenza reattiva dipende dalla somma dei componenti capacitivi e induttivi.
• Il fattore di potenza dipende dallo sfasamento tra tensione e corrente.

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