Appunti Teoria dei Circuiti

CONDENSATORE

Andiamo a studiare condensatori lineari e tempo invarianti.

Sappiamo che

C = _Q(t)/_dt

Il legame tensione-corrente in forma differenziale sarà

i_c(t) = C _dVc(t)/_dt

• Andiamo a calcolare la sua forma integrale, integrando primo e secondo membro la forma differenziale

^t∫₀ i_c(t) dt = ^t∫₀ C _dVc(t)/_dt dt

ottengo

C[V_c(t) - V_c(0)] = ^t∫₀ i_c(t) dt

PAGINA 1

CONDENSATORE

Andiamo a studiare condensatori lineari a tempo invariante.

Sappiamo che

C = ^Q(t)⁄_dt

Il legame tensione-corrente in forma differenziale sarà

^{i_C(t) = C}⁄_dt v_C(t)

Andiamo a calcolare la sua forma integrale, integrando primo e secondo membro la forma differenziale

^t∫₀ i_C(t) dt = ^t∫₀ C ^d⁄_dt v_C(t) dt

ottengo

C[v_C(t) - v_C(0)] = ^t∫₀ i_C(t) dt

Pagina 1

V_c(t) - V_c(0) = ¹/_c ∫₀^t i(t) dt

Di conseguenza

V_c(t) = V_c(0) + ¹/_c ∫₀^t i(t) dt

• Come possiamo notare, sia nelle forme differenziali che in
• quella integrale abbiamo bisogno di una condizione iniziale
• Ogni condensatore deve avere una condizione iniziale V_c(0)
• Dalle leggi integrale otteniamo che il singolo condensatore
• con condizione iniziale V_c(0) può essere pensato come serie

Applichiamo la legge di Kirchoff ottengo

V_c(t) = V_c(0) + V_x(t)

con V_x(t) = ¹/_c ∫₀^t i(t) dt.

Abbiamo ottenuto la legge in forma integrale.

Pagina 2

Andiamo a calcolare alcune proprietà

Prima Proprietà

Prendiamo la legge in forma differenziale

i_C(t) = ^dV_C(t)/_dt

Se V_C(t) è costante, ovvero sul condensatore applichiamo una tensione costante, stiamo che

^dV_C(t)/_dt = 0

Di conseguenza

i_C(t) = 0 con V_C(t) = k

Abbiamo ottenuto che in regime costante, il condensatore si comporta come un circuito aperto perché la sua i_C(t) = 0.

Seconda Proprietà

Andiamo a calcolare la tensione al condensatore in due istanti successivi ovvero in t e in t + dt facendo tendere successivamente dt --> 0.

Facciamo uso della legge integrale.

Ottengo V_C

• V_C(t) = V_C(0) + ¹/_C ∫^t/₀ i_C(t) dt
• V_C(t+dt) = V_C(0) + ¹/_C ∫^t+dt/₀ i_C(t) dt

Pagina 3

Andiamo a calcolare la variazione di tensione in questi due instanti

ovvero calcoliamo

\( V(t+dt) - V(t) = \int_0^{t+dt} i(t) dt - \int_0^{t} i(t) dt = \frac{1}{C} \left[\int_0^{t+dt} i(t) dt - \int_0^{t} i(t) dt \right] = \frac{1}{C} \int_t^{t+dt} i(t) dt \)

facendo tendere dt → 0.

Ottengo

\( V(t+dt) - V(t) = \frac{1}{C} \int_t^{t+dt \to t} i(t) dt = \frac{1}{C} \int_t^{t} i(t) dt = \approx 0 \)

Ottengo

\( V(t+dt) - V(t) \le 0 \)

segue che

V(t+dt) = V(t)

Abbiamo ottenuto che la tensione all'istante successivo ripetto a t deve essere uguale a quella dell'istante t stesso

ovvero

la tensione sul condensatore non può subire cambiamenti bruschi ma deve essere una funzione continua.

pagina 4

Procediamo con il calcolo dell'energia e della potenza.

ENERGIA e POTENZA

In generale sappiamo che la potenza è data da

P = V I

nel nostro caso abbiamo

P_c(t) = v_C(t) i_C(t)

i_C(t) = C ^dv_C(t)/_dt

P_c(t) = v_C(t) C ^dv_C(t)/_dt = C v_C(t) ^dv_C(t)/_dt

• Portiamo dentro il segno di derivata C v_C(t)
• Per poterlo fare dobbiamo trovare una funzione tale che la sua derivata faccia C v_C(t) (esattamente la definizione di integrale).

Questa funzione sarà

∫C v_C(t) dt = ^{C v_C2(t)}/₂

Riescrivo la potenza

P_C(t) = ^d/_dt (^{C v_C2(t)}/₂)

Dalla fisica sappiamo che la potenza è anche l'energia nel