Appunti di Teoria dei Circuiti

XX

Inoltre se le due grandezze indipendenti sono nulle, sono nulle anche le due grandezze

dipendenti. In forma matriciale:

1 11 12 1 1

[]

= =

[ ] [ ] [ ] [ ]

2 2 2

21 22

Dove R è chiamata matrice di resistenza; i suoi quattro termini sono del tipo [Ω].

= |

=0

Rappresentazione controllata in tensione

Le grandezze indipendenti sono u e u , quelle dipendenti sono i e i . Valgono le relazioni

1 2 1 2

= +

1 11 1 12 2

{ = +

2 21 1 22 2

Sono due relazioni algebriche, lineari a coefficienti (G ) costanti, che non dipendono dal tempo.

XX

Inoltre se le due grandezze indipendenti sono nulle, sono nulle anche le due grandezze

dipendenti. In forma matriciale:

1 1

1 11 12 []

= =

[ ] [ ] [ ] [ ]

2 2

2 21 22

Dove G è la matrice di conduttanza; i suoi quattro termini sono del tipo [S].

= |

=0

Oss. La matrice di resistenza e la matrice di conduttanza sono una l’inversa dell’altra.

- 33 -

Prima rappresentazione ibrida

Le grandezze indipendenti sono i e u , quelle dipendenti sono u e i . Valgono le relazioni

1 2 1 2

= ℎ + ℎ

1 11 1 12 2

{ = ℎ + ℎ

2 21 1 22 2

Sono due relazioni algebriche, lineari a coefficienti (h ) costanti, che non dipendono dal tempo.

XX

Inoltre se le due grandezze indipendenti sono nulle, sono nulle anche le due grandezze

dipendenti. In forma matriciale: ℎ ℎ

1 11 12 1 1

[ℎ]

= =

[ ] [ ] [ ] [ ]

ℎ ℎ

2 2 2

21 22

Dove si è introdotta la prima matrice ibrida h. I suoi quattro termini non sono tutti dello stesso

tipo: h = [Ω]; h = [S]; h = e h = adimensionali.

1 2 1 2

| | | |

11 22 12 21

1 2 2 1

=0 =0 =0 =0

2 1 1 2

Seconda rappresentazione ibrida

Le grandezze indipendenti sono i e u , quelle dipendenti sono u e i . Valgono le relazioni

2 1 2 1

= +

1 11 1 12 2

{ = +

2 21 1 22 2

Sono due relazioni algebriche, lineari a coefficienti (g ) costanti, che non dipendono dal tempo.

XX

Inoltre se le due grandezze indipendenti sono nulle, sono nulle anche le due grandezze

dipendenti. In forma matriciale:

11 12 1 1

1 []

= =

[ ] [ ] [ ] [ ]

21 22 2 2

2

Dove si è introdotta la seconda matrice ibrida g. I suoi quattro termini non sono tutti dello stesso

tipo: g = [S]; g = [Ω]; g = e g = adimensionali.

1 2 1 2

| | | |

11 22 12 21

1 2 2 1

=0 =0 =0 =0

2 1 1 2

Oss. La prima e la seconda matrice ibrida sono una l’inversa dell’altra.

Prima rappresentazione di trasmissione

Le grandezze indipendenti sono u e i , quelle dipendenti sono v e -i (per motivi pratici avendo

1 1 2 2

usato la convenzione degli utilizzatori). Valgono le relazioni

= + (− )

1 2 2

{ = + (− )

1 2 2

Sono due relazioni algebriche, lineari a coefficienti (A, B, C, D) costanti, che non dipendono dal

tempo. Inoltre se le due grandezze indipendenti sono nulle, sono nulle anche le due grandezze

dipendenti. In forma matriciale:

1 2 2

[]

= =

[ ] [ ] [ ] [ ]

− −

1 2 2

Dove si è introdotta la prima matrice di trasmissione T. I suoi quattro termini non sono tutti

dello stesso tipo: B = [Ω]; C = [S]; A = e D = adimensionali.

1 1 1 1

− −

| | | |

2 2 2 2

=0 =0 =0 =0

2 2 2 2

Seconda rappresentazione di trasmissione

Identicamente alla prima rappresentazione, le grandezze indipendenti sono u e i , quelle

1 1

dipendenti sono v e -i (per motivi pratici avendo usato la convenzione degli utilizzatori).

2 2

Valgono le relazioni = ′ + ′

2 1 1

{ − = ′ + ′

2 1 1

Sono due relazioni algebriche, lineari a coefficienti (A’, B’, C’, D’) costanti, che non dipendono dal

tempo. Inoltre se le due grandezze indipendenti sono nulle, sono nulle anche le due grandezze

dipendenti. In forma matriciale:

[′ ′

2 1 1

[′]

= =

[ ] ] [ ] [ ]

−

′ ′

2 1 1

- 34 -

Dove si è introdotta la seconda matrice di trasmissione T’. I suoi quattro termini non sono tutti

dello stesso tipo: B’ = [Ω]; C’ = [S]; A’ = e D’ = adimensionali.

2 2 2 2

− −

| | | |

1 1 1 1

=0 =0 =0 =0

1 1 1 1

Oss. La prima e la seconda matrice di trasmissione sono una l’inversa dell’altra.

Precisazione sulla rappresentazione di un doppio bipolo ideale inerte di ordine zero

La seguente precisazione è svolta facendo riferimento, fra le sei rappresentazioni, alla

rappresentazione controllata in corrente.

Si consideri un doppio bipolo ideale inerte di ordine zero e si

ipotizzi che ammetta la rappresentazione controllata in

corrente.

Si convenzionino le due porte con la convenzione de gli

utilizzatori. Nel caso (a) di figura, si scrivano le relazioni della

rappresentazione controllata in corrente. Vale:

= +

1 11 1 12 2

{

= +

2 21 1 22 2

Analogamente, nel caso (b) di figura, dove ancora le due porte

sono convenzionate con la convenzione degli utilizzatori, si ha:

∗

= +

1 11 1 12 2

{ ∗

∗

= +

2 21 1 22 2

Dato che u * = - u e i * = - i , (cambiano anche R e R per la loro definizione!) si trova

2 2 2 2 12 21

= −

1 11 1 12 2

{ = − +

2 21 1 22 2

Oss. Si osserva che queste relazioni differiscono da quelle scritte direttamente sul caso (a) per il

segno dei termini R e R . Pertanto, oltre alla convenzione degli utilizzatori alle due porte, si

12 21

osserva che fissato arbitrariamente il riferimento positivo della tensione su uno dei due

morsetti alla porta 1, con la scelta sulla porta 2 del riferimento positivo della tensione su un

morsetto si ha per il doppio bipolo un valore per R e per R , mentre con la scelta opposta si

12 21

ottengono per tali termini i valori opposti.

Trasformatore ideale

Un’astrazione teorica di un sistema a due induttori mutuamente accoppiati è

il trasformatore ideale. Nelle reti elettriche, il trasformatore ideale è un

doppio bipolo ideale inerte di ordine zero, che, con le due porte

convenzionate da utilizzatore, ha relazioni (in regime stazionario o variabile

quasi-stazionario): =

1 2 n “rapporto di trasformazione” ∈ ℝ

{ 1

= −

1 2

Le relazioni sopra riportate non consentono una scelta delle correnti alle due porte come

variabili indipendenti, né delle tensioni. Non è quindi possibile una rappresentazione controllata

in corrente o in tensione e non ci sono quindi le matrici di resistenza e di conduttanza.

Sono possibili le altre quattro rappresentazioni; tra esse è immediata la prima rappresentazione

di trasmissione, con A = n , B = C = 0, D = 1/n.

a) Il trasformatore conserva la potenza (potenza entrante = potenza uscente)

b) È passivo, dato che è trasparente alla potenza

c) È reciproco, dato che il determinante della prima matrice di trasmissione AD – BC = 1

d) Non è simmetrico (tranne se |n| = 1)

e) Amplifica tensioni o correnti, tranne se |n| = 1, conservando appunto la potenza.

- 35 -

Generatori pilotati o controllati

I generatori ideali di tensione e di corrente, già visti, impongono rispettivamente il valore della

tensione o della corrente su un lato e tale imposizione è fatta in modo indipendente dall’altra

grandezza del lato e da ogni altra grandezza di rete. Per questo sono detti generatori ideali

indipendenti.

Si considerano ora i generatori pilotati (o controllati o dipendenti) che sono utilizzati in

elettronica normalmente per i modelli di componenti, quali i transistor.

Il generatore pilotato impone il valore della tensi one o della corrente su un lato (lato 2)

(grandezza impressa) e tale imposizione è fatta in modo indipendente dall’altra grandezza di

quel lato ma in modo dipendente da un’altra grandezza della rete, cioè dipende dalla tensione o

dalla corrente di un altro lato della rete (lato 1) (grandezza di controllo).

È un doppio bipolo: alla porta 1 c’è un circuito ideale aperto se la grandezza di controllo è una

tensione oppure un cortocircuito ideale se la grandezza di controllo è una corrente; alla porta 2

c’è la grandezza impressa pilotata che può essere una tensione o una corrente.

Si presentano i quattro casi di generatori pilotati lineari - doppi bipoli ideali inerti di ordine zero.

Generatore di tensione pilotato in tensione

La porta 1 è un circuito ideale aperto e quindi vale la

relazione: i (t) = 0.

1

La porta 2 ha una tensione che dipende dalla tensione

presente alla porta 1, tramite il parametro costante k .

α

Quindi la tensione alla porta 2 può essere fatta variare

agendo sulla tensione che si ha alla porta 1. Vale quindi la relazione v (t) = k v (t).

2 α 1

Le due relazioni del GTPT sono quindi: = 0

1

{ =

2 1

Tali relazioni suggeriscono quindi la seconda rappresentazione ibrida, che qui applicata e

combinata con le relazioni del GTPT fornisce:

0 0

11 12 1 1

1 = =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ].

0

21 22 2 2

2

Generatore di tensione pilotato in corrente

La porta 1 è un circuito ideale aperto e quindi vale la

relazione: u (t) = 0.

1

La porta 2 ha una tensione che dipende dalla corrente

presente alla porta 1, tramite il parametro costante k .

r

Quindi la tensione alla porta 2 può essere fatta variare

agendo sulla corrente che si ha alla porta 1. Vale quindi la relazione v (t) = k i (t).

2 r 1

Le due relazioni del GTPT sono quindi: