Appunti di Statistica Descrittiva

Y

X y y y Totale

1 2 3

x 43 0 0 43

1

x 0 0 15 15

2

x 0 0 20 20

3

x 0 52 0 52

4

Totale 43 52 35 130

In questo caso conoscere quale modalità di X assume una unità statistica

“migliora” la conoscenza sulla modalità della Y

Es: se una unità assume modalità x allora sicuramente assume anche modalità

2

y , ma non è vero il viceversa (se assume modalità y non posso sapere con

3 3

esattezza che modalità assume di X )

Prof. Stefano Marchetti, Prof.ssa Caterina Giusti Statistica - Corso C Anno accademico 2015-2016

Distribuzioni doppie di frequenza

L’associazione tra due variabili Associazione tra due variabili qualitative

Interpolazione lineare Associazione tra una variabile qualitativa e una quantitativa

Associazione tra due variabili quantitative

Dipendenza statistica: interdipendenza perfetta

Si ha interdipendenza perfetta tra X e Y se ad ogni modalità di una delle due

variabili corrisponde una e una sola modalità dell’altra e viceversa

Consideriamo il seguente esempio (fittizio) di interdipendenza perfetta: 110

donne sono state classificate secondo i caratteri X “Livello di scolarità

raggiunto” (x =elementare, x =medio, x =superiore) e Y “Livello di scolarità

1 2 3

del compagno” (y = elementare, y = medio, y =superiore)

1 2 3

Y

X y y y Totale

1 2 3

x 43 0 0 43

1

x 0 0 15 15

2

x 0 52 0 52

3

Totale 43 52 15 110

In questo caso la conoscenza di quale modalità di X si è realizzata migliora la

conoscenza (predizione) sulla modalità di Y e viceversa!

Es: se una unità assume modalità x allora sicuramente assume anche modalità

2

y , se assume modalità y allora sicuramente assume anche modalità x

3 2 3

Prof. Stefano Marchetti, Prof.ssa Caterina Giusti Statistica - Corso C Anno accademico 2015-2016

Distribuzioni doppie di frequenza

L’associazione tra due variabili Associazione tra due variabili qualitative

Interpolazione lineare Associazione tra una variabile qualitativa e una quantitativa

Associazione tra due variabili quantitative

Indipendenza statistica

Consideriamo adesso la situazione di indipendenza statistica

Come già detto, si ha indipendenza statistica quando la conoscenza

della modalità di uno dei due caratteri non migliora la “previsione”

della modalità dell’altro

Le frequenze congiunte della tabella a doppia entrata assumono dei

valori particolari quando c’è indipendenza

Definizione

Indipendenza statistica: due caratteri X e Y sono indipendenti se le

distribuzioni relative (o percentuali) condizionate sono uguali tra loro e

uguali alla distribuzione relativa (o percentuale) marginale

Inoltre, dati due caratteri X e Y , si può dimostrare che, se X è

indipendente da Y , allora anche Y è indipendente da X . Quindi,

l’indipendenza statistica è sempre reciproca.

Prof. Stefano Marchetti, Prof.ssa Caterina Giusti Statistica - Corso C Anno accademico 2015-2016

Distribuzioni doppie di frequenza

L’associazione tra due variabili Associazione tra due variabili qualitative

Interpolazione lineare Associazione tra una variabile qualitativa e una quantitativa

Associazione tra due variabili quantitative

Indipendenza statistica: esempio

Consideriamo il seguente esempio (fittizio) di indipendenza

statistica: 100 soggetti sono stati classificati secondo i caratteri X

“Zona di residenza (modalità x , x , x , x ) e Y “Squadra cittadina

1 2 3 4

di calcio preferita (y =squadra A, y =squadra B, y =squadra C)

1 2 3

Y

X y y y Totale

1 2 3

x 2 2 6 10

1

x 4 4 12 20

2

x 6 6 18 30

3

x 8 8 24 40

4

Totale 20 20 60 100

A prima vista ci accorgiamo solo che non siamo in una situazione di

dipendenza statistica

Calcolando le distribuzioni condizionate (distribuzioni relative di riga

e di colonna) si verifica se siamo nella situazione di indipendenza

Prof. Stefano Marchetti, Prof.ssa Caterina Giusti Statistica - Corso C Anno accademico 2015-2016

Distribuzioni doppie di frequenza

L’associazione tra due variabili Associazione tra due variabili qualitative

Interpolazione lineare Associazione tra una variabile qualitativa e una quantitativa

Associazione tra due variabili quantitative

Indipendenza statistica: esempio

Distribuzione condizionate relative del carattere X rispetto alle

modalità del carattere Y : Y

X y y y Totale

1 2 3

x 0.1 0.1 0.1 0.1

1

x 0.2 0.2 0.2 0.2

2

x 0.3 0.3 0.3 0.3

3

x 0.4 0.4 0.4 0.4

4

Totale 1 1 1 1

Le distribuzioni relative della variabile X sono uguali per ciascuna

modalità della variabile Y e sono uguali anche alla distribuzione

marginale di X

In questo caso, la conoscenza su una unità della modalità assunta

dalla X non fornisce nessuna conoscenza sulla modalità assunta per

la variabile Y

In altre parole questo significa che la zona di residenza (X ) non

di↵erisce in base alla squadra di calcio favorita (Y )

Prof. Stefano Marchetti, Prof.ssa Caterina Giusti Statistica - Corso C Anno accademico 2015-2016

Distribuzioni doppie di frequenza

L’associazione tra due variabili Associazione tra due variabili qualitative

Interpolazione lineare Associazione tra una variabile qualitativa e una quantitativa

Associazione tra due variabili quantitative

Indipendenza statistica: esempio

Distribuzione condizionate relative della variabile Y rispetto alle modalità della

variabile X : Y

X y y y Totale

1 2 3

x 0.2 0.2 0.6 1

1

x 0.2 0.2 0.6 1

2

x 0.2 0.2 0.6 1

3

x 0.2 0.2 0.6 1

4

Totale 0.2 0.2 0.6 1

Le distribuzioni relative della variabile Y sono uguali per ciascuna modalità della

variabile X e sono uguali anche alla distribuzione marginale di Y

In questo caso, la conoscenza su una unità della modalità assunta dalla Y non

fornisce nessuna conoscenza sulla modalità assunta per la variabile X

In altre parole questo significa che la squadra di calcio favorita (Y ) non di↵erisce

in base alla zona di residenza (X )

Allora, poiché abbiamo mostrato che per i caratteri X e Y le distribuzioni

condizionate di riga, e quindi anche le distribuzioni condizionate di colonna, sono

uguali tra loro, possiamo a↵ermare che i due caratteri sono indipendenti

Prof. Stefano Marchetti, Prof.ssa Caterina Giusti Statistica - Corso C Anno accademico 2015-2016

Distribuzioni doppie di frequenza

L’associazione tra due variabili Associazione tra due variabili qualitative

Interpolazione lineare Associazione tra una variabile qualitativa e una quantitativa

Associazione tra due variabili quantitative

Frequenze congiunte teoriche in caso di indipendenza

Esiste una regola generale per capire se le frequenze congiunte di

una tabella a doppia entrata corrispondono alla situazione di

indipendenza statistica?

Ovvero, esiste una regola generale per capire se le frequenze

congiunte di una tabella a doppia entrata corrispondono a

distribuzioni (relative o percentuali) condizionate (di riga o di

colonna) uguali tra loro e uguali alle distribuzioni marginali?

La risposta è sı̀

Frequenze congiunte teoriche in caso di indipendenza tra i caratteri

X e Y : se due caratteri X e Y sono indipendenti, allora per

⇤

frequenze teoriche assolute (n ) vale

ij

⇤ ⇤

n n ·

n n n n

i. i.

ij ij

.j .j

⇤

!

= oppure = n =

ij

n N n N N

i. .j

| {z } | {z }

r c

f (cond. Y ) f (cond. X )

ij ij

Prof. Stefano Marchetti, Prof.ssa Caterina Giusti Statistica - Corso C Anno accademico 2015-2016

Distribuzioni doppie di frequenza

L’associazione tra due variabili Associazione tra due variabili qualitative

Interpolazione lineare Associazione tra una variabile qualitativa e una quantitativa

Associazione tra due variabili quantitative

Indipendenza statistica: esempio

Verificare che le frequenze congiunte di X e Y riportate di seguito corrispondano

alle frequenze teoriche in caso di indipendenza:

Y

X y y y Totale

1 2 3

x 2 2 6 10

1

x 4 4 12 20

2

x 6 6 18 30

3

x 8 8 24 40

4

Totale 20 20 60 100

·n

n 10·20

⇤ 1. .1

n = 2 n = = =2

11 11 N 100

·n

n 10·20

⇤ 1. .2

n = 2 n = = =2

12 12 N 100

... ·n

n 20·20

⇤ 2. .1

n = 4 n = = = 4

21 21 N 100

... ·n

n 40·60

⇤ 4. .3

n = 24 n = = = 24

43 43 N 100

⇤

Essendo vero che n = n i = 1, 4 e j = 1, 3 allora X e Y sono

, . . . , . . . ,

ij ij

indipendenti

Prof. Stefano Marchetti, Prof.ssa Caterina Giusti Statistica - Corso C Anno accademico 2015-2016

Distribuzioni doppie di frequenza

L’associazione tra due variabili Associazione tra due variabili qualitative

Interpolazione lineare Associazione tra una variabile qualitativa e una quantitativa

Associazione tra due variabili quantitative

Frequenze congiunte teoriche in caso di indipendenza

⇤

Le frequenza congiunte teoriche n hanno gli stessi totali di riga e di

ij

colonna delle frequenze congiunte osservate n :

ij

k k

X X

⇤

n = n = n

ij .j

ij

i=1 i=1

h h

X X

⇤

n = n = n

ij i.

ij

j=1 j=1

Dimostrazioni:

k k k k

X X X X

·

n n n n n

i. .j .j .j .j

⇤ ·

n = = n = n = N = n

i. i. .j

ij N N N N

i=1 i=1 i=1 i=1

h h h h

X X X X

·

n n n n n

i. i. i. i.

.j

⇤ ·

n = = n = n = N = n i.

.j .j

ij N N N N

j=1 j=1 j=1 j=1

Prof. Stefano Marchetti, Prof.ssa Caterina Giusti Statistica - Corso C Anno accademico 2015-2016

Distribuzioni doppie di frequenza

L’associazione tra due variabili Associazione tra due variabili qualitative

Interpolazione lineare Associazione tra una variabile qualitativa e una quantitativa

Associazione tra due variabili quantitative

Analisi dell’associazione tra due caratteri

Ricapitolando, abbiamo visto come si presentano le frequenze

congiunte della tabella a doppia entrata nel caso di:

Dipendenza statistica perfetta (o interdipendenza perfetta)

Indipendenza statistica

Spesso le frequenze congiunte corrispondono a situazioni intermedie

rispetto a queste due condizioni estreme

Con un indice che si basa sulle di↵erenze tra le frequenze congiunte

osservate (n ) e le corrispondenti frequenze teoriche sotto l’ipotesi di

ij ⇤ ) è possibile misurare il grado di dipendenza tra le

indipendenza (n ij

variabili X e Y

Ovvero, si identifica se le frequenze sono più vicine alla situazione di

dipendenza perfetta o di indipendenza

Il grado di associazione (connessione) tra le due vari