Appunti di statistica base

Gunità statistiche

Per questo può essere calcolata solo quando tutti i valori sono positivi. Se i dati a nostra disposizione si presentano nella forma di una distribuzione unitaria del tipo: x , x , ..., x la media geometrica viene calcolata mediante la formula:

Se i dati a nostra disposizione si presentano nella forma di una distribuzione di frequenze con modalità non raggruppate in classi, l'espressione precedente diviene:

Se i dati a nostra disposizione si presentano nella forma di una distribuzione di frequenze con modalità raggruppate in classi e prendendo sempre il valore centrale di ogni classe: la media geometrica diventa:

Proprietà della media geometrica

La media geometrica gode delle seguenti proprietà:

I) INTERNALITÀ DI CAUCHY: Considerati i valori positivi (non decrescenti) x ≤ x ≤ ... ≤ x di un carattere X osservato su n unità statistiche, la media geometrica soddisfa la condizione di

internalità di Cauchy, per cui: , dove sono rispettivamente il valore minimo e il valore massimo tra gli x . La media coincide con gli estremi solo se la distribuzione è degenere. In tal caso il valore della media geometrica coincide con quello assunto dalla media aritmetica. Quindi la media geometrica è sempre compresa tra il minimo e il massimo dei valori osservati ed è sempre inferiore o uguale alla media aritmetica.

2) INVARIANZA DEL PRODOTTO

La media geometrica lascia invariato il prodotto dei valori osservati, mentre la media aritmetica ne lascia invariata la somma. Per cui la media geometrica è quel valore M tale che: G

mentre la media aritmetica è quel valore M(X) tale che:

3) RELAZIONE CON LA MEDIA ARITMETICA DEI LOGARITMI

Il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi degli x , per cui: i

Esempio: (confronto media aritmetica e media geometrica). Un risparmiatore ha investito 1000 euro a tasso

varrà: Tasso medio (IS) = (0,015 + 0,020 + 0,035 + 0,045) / 4 = 0,02875 = 2,875% Nel caso del tasso di interesse composto, invece, il calcolo del tasso medio sarà un po' più complesso. Dovremo utilizzare la formula del tasso di interesse composto medio: Tasso medio (IC) = (1 + i1) • (1 + i2) • (1 + i3) • (1 + i4)^(1/4) - 1 Dove i1, i2, i3, i4 sono i tassi di interesse di ogni anno. Sostituendo i valori otteniamo: Tasso medio (IC) = (1 + 0,015) • (1 + 0,020) • (1 + 0,035) • (1 + 0,045)^(1/4) - 1 Calcolando il risultato otteniamo: Tasso medio (IC) ≈ 0,0281 = 2,81% Quindi, nel caso del tasso di interesse semplice il tasso medio è del 2,875%, mentre nel caso del tasso di interesse composto il tasso medio è del 2,81%.

trovato lascia effettivamente invariato il montante ottenuto alla fine del quarto anno,infatti: M (t=4) = C + i •C + i •C + i •C + i •C =IS A A A A=1000 + 0,02875•1000 + 0,02875•1000 + 0,02875•1000 + 0,02875•1000 = 1115,mentre nel caso del tasso di interesse composto questo non si verifica, infatti :M (t=4) = C • (1 + i ) • (1 + i ) • (1 + i ) • (1 + i) =IC A A A A= 1000 • (1+0,02875) • (1+0,02875) • (1+0,02875) • (1+0,02875) = 1120,06 euro (che risulta essere diverso dall’effettivo montante pari a 1119,75).Questo significa che la media aritmetica non è l’indice di posizione adeguato per descrivere il tasso di interesse nel caso di interessi composti; pro-viamo con la media geometrica:Applicando il tasso di interesse ora trovato (0,02868) in modo costante ogni anno seguendo la legge del tasso composto si ottiene:M (t=4) = C • (1 + i ) • (1 + i ) • (1 + i ) • (1 + i)

= 1000 • (1 + 0,02868) • (1 + 0,02868) • (1 + 0,02868) • (1 + 0,02868) = 1119,75

IC G G G G

Il tasso di interesse medio nel caso si interessi semplici è pari a 0,02875 (media aritmetica dei tassi di interesse), mentre nel caso di interessi com-posti è pari 0,02868 (media geometrica dei tassi di interesse – 1).

È così anche possibile constatare che la media geometrica è minore della media aritmetica e che entrambe le medie sono comprese tra il valore minimo e il valore massimo osservati (proprietà di Cauchy).

Esempio di calcolo delle medie: Dimensione del nucleo familiare delle 980 famiglie di un paese:

Per le proprietà delle medie deve valere che: x < M < M(X) < x infatti si verifica che: 1<2,869<3,137<8

MIN MAX

G3. MODA

La moda può essere calcolata sia per caratteri qualitativi, che quantitativi.

Nel caso di una distribuzione di frequenze con modalità non raggruppate in classi, la moda (o

La moda è definita come quella modalità del carattere a cui corrisponde la frequenza più elevata e viene usualmente indicata con il simbolo Mo. Per le distribuzioni di frequenze con modalità raggruppate in classi, si definisce la classe modale quella classe a cui corrisponde la densità di frequenza più elevata; successivamente, si può assumere come moda il valore centrale di tale classe.

Esempio (con una distribuzione di frequenza, dati non in classi). Si consideri il carattere X = "numero di figli" di un insieme di 8 famiglie: La frequenza più elevata è n1 = 5, per cui la Mo = 0. Da questo si deduce che la maggior parte delle famiglie del collettivo non hanno figli. La moda è tanto più significativa quanto più la frequenza ad essa associata è elevata rispetto alle altre.

Esempio (con una distribuzione di frequenza, dati in classi). Sia X = "tempo impiegato per andare a scuola".

(in minuti)” dai 137 studenti di 1 scuola:

Dato che la densità di frequenza più elevata è pari a 13.667, la classe modale è [18 – 21), dacui si deduce che Mo = (18 + 21)/2 = 19.5 .

Si può quindi concludere che la maggior parte degli studenti considerati impiega tra i 18 e i 21 minuti per andare a scuola.

Nel caso in cui la distribuzione presenti una sola moda, la distribuzione è detta unimodale.

Qualora la distribuzione ammetta più mode, si dice che è plurimodale.

4. MEDIANA

Modalità del carattere che occupa la posizione centrale in un insieme ordinato di valori, cioè la modalità preceduta e seguita da un ugual numero di unità. Perché la mediana sia calcolabile la scala di misura del carattere deve essere almeno ordinale. Per:

- n dispari: esiste una sola modalità mediana, che occupa la posizione (n+1)/2.

- n pari: la mediana è individuata facendo la semisomma delle due

modalità centrali, che occupano rispettivamente le posizioni (n/2) e (n/2 + 1).

Esempio (con una successione di valori). Si consideri il fatturato dei tre settori (A, B, C) di alcune aziende:

Per il settore B il numero delle unità è n = 5 aziende (n è dispari), per cui si ha una sola posizione centrale:

(n + 1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3; nell'insieme ordinato dei fatturati la terza posizione è occupata dal valore 11.

La mediana Me è pertanto uguale a 11.

Per i settori A e C il numero delle unità è n = 6 aziende (n è pari), per cui si hanno due posizioni centrali

(n/2) = 6 / 2 = 3 e (n/2 + 1) = (6 / 2) + 1 = 4; nell'insieme ordinato di dati la terza e la quarta posizione sono occupate rispettivamente dai valori 16 e 22 per il settore A e 18 e 30 per il settore C.

Quindi: Me (settore A) = (16 + 22) / 2 = 19 Me (settore B) = 11 Me (settore C) = (18 + 30) / 2 = 24

Esempio (con una distribuzione di frequenza, dati non in classi).

Si consideri il carattere X = "numero di figli" di un insieme di 8 famiglie: Dato che la numerosità totale è 8 (pari), le posizioni centrali sono la quarta e la quinta; ad entrambe è associata modalità "0", per cui Me = 0. Esempio (con una distribuzione di frequenza, dati in classi). Sia X = "tempo impiegato per andare a scuola (in minuti)" dai 137 studenti di una scuola: Dato che n = 137 si ha una sola posizione mediana, pari a (137+1)/2 = 69. Nella colonna delle frequenze cumulate si vede la 69° posizione cade nella classe [18 - 21) Per stabilire quale valore all'interno della classe [18 - 21) (detta classe mediana) corrisponde alla mediana, occorre fare un'ipotesi sulla ripartizione delle unità all'interno della classe stessa. Se si ipotizza l'equidistribuzione delle unità all'interno della classe per determinare la mediana si può applicare la seguente

formula: → per cui: Me = 18 + (137/2 - 49) / 13.667 = 19.427.

Due considerazioni sulla mediana:

1. la mediana è più "robusta" della media aritmetica, nel senso che non è sensibile alla presenza di eventuali valori anomali;
2. la mediana gode della seguente proprietà di minimo: la somma degli scarti in valore assoluto rispetto ad una costante c è minima quando detta costante è pari alla mediana Me(X).

5. QUANTILI o PERCENTILI

Quantile o Percentile di ordine p (0<p<1):

I percentili possono essere determinati solo per caratteri quantitativi (o qualitativi ordinabili).

- nel caso di una variabile statistica discreta (dati non in classi), il percentile di ordine p è quel valore x tale per cui:

P_{dove con Fr si indica la frequenza relativa;}

- nel caso di variabili statistiche continue, il percentile di ordine p è quel valore x tale per cui la funzione di ripartizione empirica assume valore p:

P_{F(x ) = p.}

I quartili sono

dei percentili fondamentali che dividono la distribuzione in quattro gruppi di uguale numerosità:

• Primo quartile: x = Q0,25
• Secondo quartile o mediana: x = Q = Me(X)0,50
• Terzo quartile: x = Q0,75

Esempio (distribuzione di frequenza con dati non in classi): La seguente distribuzione fa riferimento al numero di esami dati da 400 studenti al termine del 1° anno accademico. Per calcolare i tre quartili Q1, Q2 (o mediana) e Q3 nel caso di una distribuzione discreta è sufficiente guardare nella colonna delle frequenze relative cumulate F dove cadono, rispettivamente, lo 0,25 - 0,50 - 0,75. Si ottiene quindi: Q1 = 2, Q2 = 3, Q3 = 4. Per comprendere il significato dei quartili è possibile costruire un box-plot (diagramma a scatola e baffi) nel seguente modo: - Il 25% degli studenti ha dato 1 o 2 esami. - Il 25% degli studenti ha dato 2 o 3 esami. - Il 25% degli studenti ha dato 3 o 4 esami. - L'ultimo 25% degli studenti ha dato 4, 5 o 6 esami. Per determinare,

ad esempio, il percentile di ordine 0,30