Appunti di Scienza delle Costruzioni - Teoria

Indice

• Analisi della deformazione
• Analisi della tensione
  • 2.1.1
  • 2.1.1.1
  • 2.1.1.2
  • 2.1.2
• Il principio dei lavori virtuali e i teoremi energetici
• I legami costitutivi
  • 4.1
  • 4.1.1
  • 4.2
• I criteri di resistenza
  • Generalità
  • Materiali fragili
    • Il criterio di Rankine
    • Il criterio di Grashof
    • Il criterio di Beltrami
  • Materiali duttili
    • Il criterio di Tresca
    • Il criterio di von Mises
• Il problema di de Saint Venant
  • Formulazione e approccio risolutivo
    • Metodo degli spostamenti
    • Metodo delle forze
    • Calcolo degli spostamenti
  • I casi fondamentali
    • Sforzo normale
    • Flessione retta
    • Flessione deviata
    • Sforzo normale eccentrico
    • Momento torcente
    • Flessione con taglio costante
• Cenni di instabilità dell'equilibrio
• Appendice
• Bibliografia

Capitolo 1

Analisi della deformazione

Generalità

Quando un corpo è soggetto ad un moto rigido cambia esclusivamente la sua posizione e il suo orientamento rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano fisso, rimanendo costanti forma e volume. I moti di un corpo associati a variazioni di forma e volume sono definiti moti deformativi, pertanto i corpi soggetti a tali moti sono detti deformabili. In seguito si tratterà della deformazione dei corpi continui, detta appunto, analisi della deformazione.

Tensore gradiente di deformazione F

Consideriamo un corpo che può subire una certa deformazione. Preso un punto qualunque di un corpo C, prima che il corpo subisca deformazione, al tempo t=0 la sua posizione rimane individuata da un vettore posizione X. Nella configurazione riferita a t=0, si consideri un segmento interno al corpo C e di lunghezza δL, orientato come il versore A: P₀Q₀ = A · δL₀.

Assegnando un moto al corpo, esso sarà determinato dall’equazione: x = x(X, t). Al tempo t>0, il corpo si è mosso: il punto P₀ si è spostato in P e Q₀ si è spostato in Q. La nuova posizione del punto P è individuata dal vettore x = f(X, t).

Si consideri un segmento interno al corpo C e di lunghezza δl, orientato come il versore a: PQ = a · δl. Detto u il vettore che definisce lo spostamento di P in P₀, è evidente che: x = X + u.

Si vogliono quindi determinare a e δl relativi alla configurazione per t>0, a moto avvenuto. Si definisce:

λ = lim (δl/δL) = dl/dL
δL→0

Questa grandezza è detta gradiente di allungamento e rappresenta una misura della variazione di lunghezza di un elemento di retta appartenente ad un intorno infinitesimo di P₀ e orientato come il versore A. Questo parametro è sempre positivo in quanto, per definizione, è il rapporto delle lunghezze di due segmenti. Noto λ, è chiaro che: dl = λ·dL.

Il gradiente di allungamento consente dunque, nota la lunghezza del segmento al tempo t=0, di determinare la lunghezza del segmento a deformazione avvenuta. Data una curva, è sempre possibile spezzarla in infiniti tratti dL. Per ciascun tratto si può calcolare, con quanto detto: dl = λ·dL. La lunghezza della curva si può determinare come:

L = ∫dl = ∫λ·dL

Come può essere determinato il gradiente di allungamento λ? Si dimostra che:

δl = a·F·A·δL
δl = a·F·A·δL

Al limite ottengo: δl = a·lim (F·A)·δL
δL→0
λ = a·F·A

F dipende dal moto. Considerando il vettore x, le sue componenti sono:

• x₁ = x₁(X₁, X₂, X₃, t)
• x₂ = x₂(X₁, X₂, X₃, t)
• x₃ = x₃(X₁, X₂, X₃, t)

Le componenti di F sono: F_ij = ∂x_i/∂X_j

Le componenti di questo tensore possono essere calcolate, così come per ogni tensore del II ordine, come segue: F^j_i = e_i·F·e_j

Assegnato il moto, F è definito come:

F è definito nel punto P₀, ovvero le derivate si riferiscono a tale punto. È definito Tensore Gradiente di Deformazione. In realtà, pur essendo definito quale tensore, ha la stessa natura di un vettore. Rappresenta una grandezza indipendente dal sistema di riferimento, infatti cambiano le sue componenti, ma non le grandezze che rappresenta. Noto il tensore F, si può determinare il vettore a·δl.

In termini tensoriali, è possibile ridefinire il gradiente di allungamento λ. Considerando la seguente espressione: λ = a·F·A.

Moltiplicando ambo i membri per se stessi:

λ² = a·a·F·A·F·A = a·a·A·F·F^T·A

dove F^T prende il nome di tensore trasposto e si ottiene invertendo le righe con le colonne del tensore F. Pertanto, gli elementi del tensore trasposto saranno del tipo: F^j_i = ∂x_j/∂X_i.

Ricordando la proprietà dei tensori del II ordine: F^T·A = A·F

Andando a sostituire nelle formule precedenti, otterrò che:

λ² = a·a·A·F·F^T·A = A·C·A

dove C è il tensore di deformazione finita di Cauchy-Green. La radice quadrata del valore ottenuto restituisce il valore di λ cercato. Noto λ, si può ricavare a utilizzando la seguente formula: λ^-1 = a·F·A.

Tensore di rotazione rigida Q

Si consideri la figura: – Traslazione e rotazione del sistema di riferimento. Si ipotizzi che l’origine del sistema di riferimento O si sposti in O’ mediante una traslazione. Si ponga x₀^A il vettore che individua la posizione di O’ e x il vettore che individua la posizione del generico punto A’ a traslazione avvenuta. Si indichi poi con il vettore X_A il punto A nel sistema di riferimento di origine O (t=0). Trattandosi di moto rigido, la traslazione non comporta deformazione al corpo rappresentato in figura, pertanto, come già noto, il vettore posizione del punto A a traslazione avvenuta sarà: X_A' = X_A + x₀.

Preso adesso un generico punto P’ del corpo che ha subito la traslazione, si impone una rotazione fino al punto P’’. Le coordinate del punto P’’, a rotazione avvenuta saranno:

• X’₁ = R·cosα
• X’₂ = R·senα
• X’₃ = X₃

Riportando le coordinate del punto P al sistema di riferimento di partenza (O, X₁, X₂), si avrà che:

X₁ = X₀ + R·cosα

Si definisce così il tensore di rotazione rigida Q:

Una proprietà del tensore di rotazione rigida è che:

Q^T·Q = Q·Q^T = I

Se Q è un tensore ortogonale, si avrà che: Q^-1 = Q^T.

Inoltre, per tensori ortogonali di rotazione, vale la seguente proprietà: det(Q) = ±1.

Dunque, il determinante del tensore di rotazione rigida è sempre pari a uno.

Tensore gradiente di spostamento H

Si è visto come, assegnando un moto x = x(X, t) ad un corpo, la sua posizione è individuata dal vettore posizione x = f(X, t). Si era giunti a dire che: x = X + u(X, t).

Derivando questa espressione:

∂x_i/∂X_j = ∂X_i/∂X_j + ∂u_i/∂X_j

δ_ij = F_ij - H_ij

dove: δ_ij = 1 se i=j, 0 se i≠j.

Si ottiene:

∂u_i/∂X_j = H_ij = F_ij - δ_ij

Pertanto in termini tensoriali, dalla relazione: F = I + H, si ottiene: H = F - I.

Ovvero:

Il tensore Gradiente di deformazione H non rappresenta però una buona misura della deformazione in quanto non si annulla per moto rigido.

Come per ogni tensore del II ordine, è possibile decomporre H in una parte simmetrica e in una parte antisimmetrica:

H = (H + H^T)/2 + (H - H^T)/2

Trasponendo il primo termine dell’addizione si verifica che il primo addendo è simmetrico:

(H + H^T)/2 = (H^T + H)/2

Trasponendo invece il secondo termine dell’addizione si verifica che il secondo addendo è antisimmetrico:

(H - H^T)/2 = (H^T - H)/2

Pertanto, indicando con H_s e H_a rispettivamente la parte simmetrica e antisimmetrica:

H_s = (H + H^T)/2

H_a = (H - H^T)/2

sara possibile riscrivere il tensore H gradiente di spostamento come segue:

H = H_s + H_a.

In un moto rigido, il tensore gradiente di spostamento H può essere espresso anche in funzione del tensore di rotazione rigida Q: H = Q - I.

Tensore destro di deformazione finita di Cauchy C

Si definisce un nuovo tensore C come prodotto del tensore F per il suo trasposto, ricordando che il prodotto di due tensori è ancora un tensore: C = F·F^T

C viene chiamato tensore destro di deformazione finita di Cauchy Green. Questo tensore costituisce una buona misura della deformazione: in qualsiasi moto rigido risulta invariante e pari al tensore identico I: C = I.

Pertanto: λ² = A·C·A = 1.

È un tensore simmetrico, reale e definito positivo, pertanto i suoi autovalori risulteranno tutti reali e positivi.

Questo tensore ha un importante significato da un punto di vista fisico. In un sistema di riferimento cartesiano di base e_i (i=1,2,3), le componenti sulla diagonale principale sono:

• λ’² = e₁·C·e₁ = e₁·F·F^T·e₁ = λ₁²
• λ’² = e₂·C·e₂ = λ₂²
• λ’² = e₃·C·e₃ = λ₃²

dove e_i ed e_j sono i versori che individuano, nella configurazione per t>0, le direzioni inizialmente orientate come i versori e_i ed e_j degli assi del sistema di riferimento.

Si nota quindi che le componenti di C sulla diagonale principale altro non sono che i quadrati dei gradienti di allungamento nella direzione degli assi coordinati. Osservando dalla figura che e_i·e_j = cosθ_ij, si può scrivere che:

C₁₂ = e₁·C·e₂ = e₁·F·F^T·e₂ = λ₁·λ₂·cosθ₁₂

C₁₃ = λ₁·λ₃·cosθ₁₃

C₂₃ = λ₂·λ₃·cosθ₂₃

Le componenti C_ij (i≠j) del tensore C sono quindi in relazione sia con i gradienti di allungamento nelle direzioni individuate dai versori e_i ed e_j degli assi coordinati, che con l’angolo θ_ij formato dalle corrispondenti direzioni nella configurazione per t>0, detto scorrimento angolare, mediante la seguente formula: C_ij = λ_i·λ_j·cosθ_ij.

Per calcolare le direzioni principali (autovettori) e i valori principali (autovalori) del tensore di deformazione finita C si considera l’equazione caratteristica:

μ·A = C·A

Moltiplicando ambo i membri per il versore A otterrò che:

μ·A·A = C·A·A

Per qualunque versore A risulterà: μ = λ² > 0.

Si vuole ora determinare il massimo e il minimo valore del gradiente di allungamento.

Aggiungendo a λ² una quantità pressoché nulla, per esempio (1-A·A)α ~0, otterrò:

λ² = A·C·A + α(1-A·A)

Per massimizzare λ² deve essere soddisfatta tale equazione: ∇λ² = 0.

Esplicitando i calcoli:

C·A·α + A·C·A - A·C·A = 0

(C·A-C·A)·α = 0

(C-I)·A·α = 0

Si è quindi ritrovata l’equazione caratteristica che restituirà 3 valori distinti di λ tra i quali avrò il massimo e il minimo valore cercato.

Se i gradienti di allungamento sono distinti, le tre direzioni individuate sono perpendicolari tra loro.

La generica componente C_ij del tensore C è definita come segue:

C_ij = C·e_i·e_j

Se i versori del sistema di riferimento sono proprio le direzioni principali del tensore, allora:

C_ij = C·e_i·e_j = 0

λ_j² = C·e_j·e_j = λ_j²e_j·e_j

λ_j² = λ_j² = λ_j² = 0

Pertanto, se il sistema di riferimento è un sistema principale, il tensore C avrà elementi non nulli solo lungo la diagonale principale, risultando, come visto, tutti gli altri pari a zero e le direzioni principali rimangono indeformate.

È anche possibile definire il tensore di Cauchy-Green in termini di gradienti di spostamento:

C = (I + H)^T·(I + H) = I + H + H^T + H·H^T

In termini di spostamento, il tensore destro di Cauchy Green non è quindi lineare.

Tensore di Lagrange L

Definiamo Tensore Lagrangiano di Deformazione Finita L:

L = (C - I)/2

Se il moto è rigido (C = I), allora il tensore Lagrangiano risulta identicamente nullo. Per questo motivo L è una buona misura della deformazione. Inoltre, essendo per definizione somma di due tensori reali e simmetrici, è esso stesso reale e simmetrico. Non è però definito positivo. Infatti, dalla simmetria è possibile dire che:

L^T = L

Essendo:

λ² = A·L·A = A·C·A - A·A/2

Se:

λ² > 1 → L > 1, ovvero il tensore L è definito positivo.

λ² < 1 → L < 0, ovvero il tensore L è definito negativo.

Pertanto L può avere autovalori sia positivi che negativi. Per determinare questi autovalori di L e i rispettivi autovettori, sviluppando l’equazione caratteristica:

L·A = λ·A - (λ²)/2

si ricava che:

l = (1 - λ²)/2

Semplificando ottengo gli l autovalori di L:

l = (1 - λ²)/2