Appunti di Scienza delle Costruzioni - Teoria

C T C T

P'' P'

Q''

σ σ

Q'

C C

(a) (b)

Fig.5.3 – Dominio di resistenza e superficie di rottura per stati tensionali piani

σ σ σ σ

= −

( , )

delimitanti, nel piano , un quadrato di lato . Le (5.4), che individuano

1 2 T C

il dominio di resistenza, divengono

{ }

σ σ σ

<

⎧ max ,

1 2 T

⎨ { } (5.6)

σ σ σ

>

⎩ min ,

1 2 C

Coefficiente di sicurezza

Si consideri uno stato tensionale piano rappresentato dal punto P’ appartenente al dominio

di resistenza del materiale (Fig.5.3.a). OP

'

Se si ammette un processo di carico proporzionale, individuato dalla semiretta ,

durante il quale le tensioni principali crescono mantenendo lo stesso rapporto reciproco, il

materiale perviene alla rottura in corrispondenza del punto Q’.

Pertanto è possibile definire un coefficiente di sicurezza rispetto alla rottura per condizioni

di carico di tipo proporzionale. Si ha quindi '

OQ

=

s OP '

Risulta evidente che, perché uno stato tensionale sia in sicurezza rispetto alla rottura, il

coefficiente di sicurezza deve risultare maggiore dell’unità.

Per i casi indicati nella Fig.5.3.a si trova che 135 Capitolo 5

⎫

σ

'

OQ

= = T ⎪

'

s σ

σ ⎪

'

OP ⇒ =

⎬ T

2 s (5.7)

{ }

σ σ σ

' '

OQ max ,

⎪

= = T 1 2

' '

s ⎪

σ ⎭

'

'

OP 1

Analogamente per i processo di carico indicati in Fig.5.3.b si trova

⎫

σ

'

OQ

= = C ⎪

'

s σ

σ ⎪

'

OP ⇒ =

⎬ C

2 s (5.7)

{ }

σ σ σ

' '

OQ min ,

⎪

= = C 1 2

' '

s ⎪

σ ⎭

'

'

OP 1

Ponendo { }

{ } σ σ σ

σ σ σ =

= min ,

max , (5.8)

max 1 2 min 1 2

in generale per un processo di carico proporzionale si trova

⎧ ⎫

σ σ

= ⎨ ⎬

T C

s min , (5.9)

σ σ

⎩ ⎭

max min

σ

σ <

> 0

0

purché risultino e . In caso contrario basta porre

max min

σ σ σ

σ >

<

= +∞ = +∞

T T 0

0

per per (5.10)

σ σ min

max

max min

Questo risultato si può facilmente generalizzare per gli stati tensionale triassiali ponendo

{ } { }

σ σ σ σ σ σ σ σ

= =

max , , min , , (5.11)

max 1 2 3 min 1 2 3

Limiti di applicabilità

Il criterio di Rankine fornisce risultati in contrasto con l’evidenza fisica per i materiali con

resistenza a trazione paragonabile a quella a compressione. Infatti, con riferimento alla

Fig.5.4, il criterio di Rankine prevede lo stesso coefficiente di sicurezza per gli stati

tensionali corrispondenti ai punti A e B, mentre è evidente che lo stato tensionale

corrispondente al punto B porta più facilmente alla rottura che non quello corrispondente al

punto A.

136

I criteri di resistenza σ

2

σ

0 B

B σ

−σ σ 1

0 0

A A

−σ

0

Fig.5.4 – Caso per il quale il criterio di Rankine fornisce risultati paradossali

Al contrario, il criterio di Rankine fornisce risultati soddisfacenti per i materiali fragili che

posseggono una resistenza a trazione abbastanza piccola rispetto alla resistenza a

σ ≈ 0

compressione. Infatti, essendo , lo stato tensionale corrispondente al punto B di

T

Fig.5.4 non è ammissibile, e quindi il criterio funzione bene.

5.2.2 Il criterio di Grashof

Il criterio di Grashof viene associato nella letteratura anche al nome di De Saint Venant.

Noto anche come criterio della massima deformazione, esso assume che la soglia limite si

raggiunga quando una delle deformazioni massima o minima diviene pari rispettivamente a

ε ε

, raggiungendo gli stessi valori per i quali il fenomeno si produce per semplice

T C ε ε ε

trazione o compressione. Perciò, dette le componenti principali di deformazione,

1 2 3

il materiale perviene a rottura quando una delle seguenti condizioni è verificata

{ }

ε ε ε ε

=

⎧ max , ,

1 2 3 T

⎨ { } (5.12)

ε ε ε ε

=

⎩ min , ,

1 2 3 C 137 Capitolo 5

Il materiale è invece in condizioni di sicurezza se sono soddisfatte entrambe le relazioni

{ }

ε ε ε ε

<

⎧ max , ,

1 2 3 T

⎨ { } (5.13)

ε ε ε ε

>

⎩ min , ,

1 2 3 C

Ricordando i legami che nei solidi elastico-lineari isotropi intercorrono tra tensioni e

deformazioni principali σ

⎧ [ ]

1

ε σ ν σ σ

= − + = 1

id

( )

⎪ 1 1 2 3

E E

⎪ σ

⎪ [ ]

1

ε σ ν σ σ

= − + =

⎨ 2 id

( ) (5.14)

2 2 1 3

E E

⎪ σ

[ ]

1

⎪

ε σ ν σ σ

= − + = 3 id

( )

⎪ 3 3 1 2

⎩ E E

è possibile esprimere il criterio di Grashof in termini di tensioni principali, ottenendo

{ }

σ ν σ σ σ ν σ σ σ ν σ σ σ

− + − + − + <

⎧ max ( ), ( ), ( )

1 2 3 2 1 3 3 1 2 T

⎨ { } (5.15)

σ ν σ σ σ ν σ σ σ ν σ σ σ

− + − + − + >

⎩ min ( ), ( ), ( )

1 2 3 2 1 3 3 1 2 C

ed in termini di tensioni ideali, ottenendo

{ }

σ σ σ σ

<

⎧ max , ,

1

id 2 id 3 id T

⎨ { } (5.16)

σ σ σ σ

>

⎩ min , ,

1

id 2 id 3 id C

Superficie di rottura e dominio di resistenza

Nello spazio delle deformazioni principali il dominio di rottura è rappresentato da un cubo

ε ε

+ , analogo a quello rappresentato in Fig.5.2, delimitato da sei piani,

di lato T C

paralleli ai piani coordinati, di equazioni

ε ε ε ε ε ε

= = = (5.17.a-c)

1 T 2 T 3 T

ε ε ε ε ε ε

= = = (5.17.d-f)

1 C 2 C 3 C

che costituiscono la superficie di rottura.

138

I criteri di resistenza 3 σ

0

ν σ

2

σ

0

ν σ

0

ν

σ σ

0

ν 1

ν

=1/3)

Fig.5.5 – Dominio di resistenza e superficie di rottura del criterio di Grashof (

Nello spazio delle tensioni principali il dominio di resistenza è rappresentato da un

parallelepipedo a facce di forma rombica (Fig.5.5), delimitato da sei piani, a due a due

paralleli, definiti dalle seguenti equazioni

σ ν σ σ σ σ ν σ σ σ σ ν σ σ σ

− + = − + = − + =

( ) ( ) ( ) (5.18.a-c)

1 2 3 T 2 1 3 T 3 1 2 T

σ ν σ σ σ σ ν σ σ σ σ ν σ σ σ

− + = − + = − + =

( ) ( ) ( ) (5.18.d-f)

1 2 3 C 2 1 3 C 3 1 2 C

che costituiscono la superficie di rottura.

Stati tensionali piani

Una semplice rappresentazione del dominio resistenza e della superficie di rottura si ottiene

σ = 0

nel caso di stati tensionali piani (Fig.5.6). Per la curva limite è costituita da sei

3

σ σ

,

rette, giacenti sul piano ( ), parallele a due a due, di equazioni

1 2

σ νσ σ σ νσ σ ν σ σ σ

− = − = − + =

( ) (5.18.a-c)’

1 2 T 2 1 T 1 2 T

σ νσ σ σ νσ σ ν σ σ σ

− = − = − + =

( ) (5.18.d-f)’

1 2 C 2 1 C 1 2 C 139 Capitolo 5

σ ν

σ

, e , il dominio di resistenza di Grashof può

In funzione dei valori assunti da T C ν

σ σ σ =

= − = 1 4

assumere diverse forme. Per e per il dominio di resistenza è

T C 0 ν

σ σ σ =

= − = 1 2

costituito da un quadrilatero (Fig.5.6.a). Per e per il dominio

T C 0

di resistenza è costituito invece da un esagono (Fig.5.6.b).

Coefficiente di sicurezza

Dalla relazione (5.16) è evidente che, in termini di tensioni ideali, il criterio di Grashof ha

la stessa rappresentazione del criterio di Rankine. In particolare, il coefficiente di sicurezza

in un processo di carico proporzionale risulta dato dalla relazione

⎫

⎧ σ σ

= ⎬

⎨ T C

s min , (5.19)

σ σ ⎭

⎩ max min

avendo posto { }

σ σ σ σ

=

⎧ max , ,

max 1

id 2 id 3 id

⎨ { } (5.20)

σ σ σ σ

=

⎩ min , ,

min 1

id 2 id 3 id

σ σ

2 2

σ σ

0 0

σ σ

σ σ

0 0

−σ

−σ 1 1

0

0 −σ

−σ 0

0

(a) (b) σ σ σ

= − = ν ν

Fig.5.6 – Dominio di resistenza di Grashof per ; (a) =1/4, (b) =1/2

T C 0

140

I criteri di resistenza

Confronto con il criterio di Rankine

Dalle figure 5.6.a e 5.6.b, nella quali sono riportati i domini di resistenza corrispondenti ai

due criteri, risulta evidente come il criterio di Grashof privilegia gli stati tensionali

corrispondenti alla bisettrice del primo e del terzo quadrante rispetto a quelli corrispondenti

alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. Inoltre emerge che il criterio di Grashof

penalizza rispetto al criterio di Rankine gli stati tensionali deviatorici per i quali risulta

=0, mentre privilegia gli stati tensionali isotropi.

I 1

Con ciò si è parzialmente risolto il problema evidenziato per il criterio di Rankine il quale

assegnava lo stesso grado di sicurezza a stati tensionali che al contrario, sulla base

dell’evidenza fisica, presentano rispetto alla rottura margini di sicurezza differenti.

Limiti di applicabilità

Il criterio di Grashof fornisce risult