Appunti di Propulsione Aerospaziale

ESEMPI NUMERICI

Multistadio

Si valuti ora lo stesso problema precedente ma con un sistema multistadio. Devono anzitutto essere formulate ipotesi

semplificative molto utili per la risoluzione del problema:

• ε = ε = ε

u1 u2 u

• ε = ε = ε

s1 s2 s

Si sa inoltre che

• M + M = 2000Kg

s1 s2

Sfruttando le ipotesi introdotte, si può scrivere M M

02 u

ε = = ε =

u1 u2

− −

M M M M

01 02 02 u

e M M

s2 s2

ε = = ε =

s1 s2

− −

M M M M

01 02 02 u

Eguagliando le relazioni e risolvendo i sistemi che ne risultano, si ricavano i valori e

M = 1589Kg M = 411Kg.

s1 s2

Questi permettono di risolvere il problema per i due stadi.

Al primo stadio si ha

− −

• M = M M M = 9538Kg

p1 01 pl1 s1

−

• M = M M = 5462Kg

f 1 01 p1

Analogamente, al secondo stadio si ha

− −

• M = M M M = 2462Kg

p2 02 pl2 s2

−

• M = M M = 1411Kg

f 2 02 p2 4

1 si può applicare l’equazione di Tsiolkovski e ottenere

Ricavando infine = 2, 75

R = MR ( )

M m

0 · ·

∆U = 2g I ln = 2 3048 ln R = 6156

0 s M s

f

Come si può notare, un sistema multistadio permette di raggiungere velocità notevolmente più elevate di un monostadio.

L’equazione di Tsiolkovski utilizzata per la risoluzione del problema multistadio deriva dalla seguente formula generale:

( ( ) )

∑

N M

0

·

∆U = g I ln

0 s,i M f i

i=1

Poichè, nel caso considerato, gli stadi sono 2, e tutti hanno uguale e uguale l’equazione si riduce alla formula

I R,

s

presentata, in cui si moltiplica semplicemente per il numero di stadi.

1+ε

4 Si osservi che si può anche calcolare come u

R ε +ε

s u 26

STADIAZIONE IN SERIE E IN PARALLELO

Stadiazione in serie e in parallelo

stadiazione in serie,

Questo caso appena affrontato è un caso di in cui parte uno stadio, brucia tutto il propellente, si sgancia,

stadiazione in parallelo,

e in seguito a questo si accende il secondo stadio. Esiste tuttavia anche la come quella dello Space

Shuttle: sul velivolo americano i booster a propellente solido hanno una combustione di minuti, i motori a propellente

2

liquido di minuti. Questo significa che per i primi due minuti di volo si ha una spinta combinata solido + liquido.

8

Risulta perciò interessante analizzare cosa accade in termini di velocità: in prima approssimazione, si può rispondere alla

domanda mediante una semplice tabella in cui si evidenziano le masse in tonnellate in vari momenti del lancio, di seguito

riportata. −

→ +

tempi(min) 0 2 2 8

2 SRM 1170 164 0 0

Serbatoio esterno+SSME 750 571 571 32

Navetta+Payload 86, 4 86, 4 86, 4 86, 4

T otale 2010 820 660 118

−

Al tempo si ha l’esaurimento dei booster solidi (dei quali rimane come massa inerte solo l’involucro con protezioni

2 +

termiche ed ugelli: questo giustifica le tonnellate), al tempo i booster vengono scaricati, infatti la loro massa diventa

164 2

istantaneamente nulla.

Si osservi che si presenta in realtà un’ulteriore complicazione: siccome non si è nel vuoto (il lancio ovviamente avviene da

terra), l’I dei motori a liquido è - inferiore al valore teorico nel vuoto - quello dei motori a solido è inoltre, la

428s 292s;

s ton ton

portata dei gas combusti derivanti dalla combustione del solido è , quella del liquido è . Infine, la spinta

8, 4 1, 5 F

s s

del solido è mentre quella del liquido è .

24000kN 6300kN impulso specifico medio,

Per calcolare , essendo note spinte e portate, si può usare un che in questo caso sarà di

∆U 312s:

dall’equazione di Tsiolkovski si ha ( ) ( )

M 2010 m

01

| · ·

∆U = g I ln = 9, 81 312 ln = 2740

2min 0 s M 820 s

f 1

dove si è utilizzato e non perchè i booster a solido sono stati accelerati per tutto l’intervallo di tempo considerato.

820 660 ( ) ( )

Inoltre M 660 m

02

| · ·

∆U = g I ln = 9, 81 312 ln = 7230

8min 0 s M 118 s

f 2

La variazione di velocità totale sarà dunque m

∆U = 2740 + 7230 = 9970 s

Si osservi che questo valore è in realtà un valore teorico perchè non tiene conto di resistenza atmosferica e attrazione

≈ m

gravitazionale: se tali effetti non fossero trascurati, il valore reale sarebbe di inferiore rispetto a quello calcolato.

2000 s

Dalla Terra alla Luna

Ipotizzando un viaggio andata e ritorno dalla Terra alla Luna si può effettuare una stima grossolana per il necessario

∆U

per la missione: i conti sono sviluppati in condizioni ideali quindi la stima per un progetto reale sarà decisamente più

accurata. 27

DALLA TERRA ALLA LUNA ( )

m

∆U s

Inserimento orbita terrestre 7300

Inserimento orbita trasferimento 2900

Inserimento orbita lunare 1000

Allunaggio 1600

Ascesa dalla Luna 2400

Correzioni varie 300

T otale 15500

Una prima osservazione è che gran parte della necessaria è per inserirsi nell’orbita terrestre: se per una missione

∆U

spaziale si partisse già dall’orbita terrstre - non decollando da terra - le in gioco sarebbero molto minori.

∆U

Si può inoltre notare come per sfuggire all’attrazione gravitazionale del nostro pianeta sia necessaria una velocità di fuga di

≈

m m

, anche se in condizioni reali questo valore aumenta fino a .

11200 13000

s s ≈ m

Se si volesse invece andare su Marte, in condizioni reali sarebbe necessario un ; se si considerasse anche il

∆U 20000 s

≈ m

viaggio di ritorno tale valore sarebbe di : questo significherebbe avere un propellente in grado di fornire spinta

27000 s

sufficiente (con adeguato impulso specifico, fattore - limitato per i propellenti termochimici - che compare direttamente

nell’equazione di Tsiolkovski).

Per vari trasferimenti dall’orbita si hanno i seguenti valori di :

LEO ∆U ( )

m

Destinazione ∆U s

GEO 3000

Luna 3900

mesi)

M arte (8 5700

giorni)

M arte (40 45000

Osservando l’espressione dell’equazione di Tsiolkovski, può essere aumentata riducendo il carico pagante: conside-

∆U

rando un satellite in orita a dalla Terra, è necessario ridurre la massa del per allontanarlo definitivamente dal

500km 60%

pianeta, dell’80% se lo si vuole portare sulla Luna, del se lo si vuole portare su Marte.

99%

Si è visto che con uno stadio si raggiungono velocità tali da arrivare in con un bistadio si raggiungono velocità

LEO;

doppie e questo permette missioni a breve e medio termine - il che rende tale sistema il più utilizzato attualmente. Con

più stadi si otterrebbero velocità superiori, ma come si è già detto, questo porterebbe ad un’eccessiva complicazione del

sistema, riducendone al contempo l’affidabilità. 28

Parte III

Onde d’urto

29

ONDE D’URTO NORMALI

Ogniqualvolta un flusso entra in contatto con un oggettto supersonico si ha un’onda d’urto: questo è un processo forte-

mente dissipativo, che fa perdere energia e causa incrementi istantanei di pressione e temperatura dipendenti dalla velocità.

di compressione

Le onde d’urto sono fenomeni complessi, (onde di espansione finite non possono esistere altrimenti si

violerebbe il secondo principio della termodinamica!), e possono essere di diversi tipi:

• Onde d’urto normali: sono perpendicolari alla direzione della corrente e sono fortemente dissipative

• Onde d’urto oblique: possono essere piane o coniche. Comportano incrementi finiti nelle variabili termodinamiche

e sono fenomeni estremamente sottili, con spessori dell’ordine del libero cammino medio molecolare.

Onde d’urto normali

Equazioni di governo

Per un’onda d’urto, così come per altri problemi di fluidodinamica, si devono calcolare le grandezze a valle dell’onda

(pressione, densità, entalpia, velocità). Si consideri un tubo nel quale è presente un’onda d’urto: essa è governata dalle

equazioni dei flussi monodimensionali. La velocità a valle diminuirà per effetto dell’onda (che fa diminuire l’energia

cinetica); la pressione totale diminuisce senisibilmente, e conseguentemente l’entropia a valle sarà maggiore di quella a

monte. Le equazioni che governano l’onda d’urto e giustificano i risultati qualitativamente analizzati sono:

• equazione di continuità (attraverso questa equazione si ha che in un’onda d’urto la massa si

ρ V A = ρ v A

1 1 1 2 2 2

conserva) 2 2

• equazione della quantità di moto = p + ρ v

p + ρ v

1 1 2 2 2

1 2 2

v v

• equazione dell’energia, espressa mediante la costanza dell’entalpia totale h + = h +

1 2

1 2

2 2

L’entalpia totale in un’onda d’urto resta costante per via dell’adiabaticità del processo.

Si ipotizzi di avere un gas termicamente e caloricamente perfetto: allora può essere espressa come . Per il

h h = c T

p

principio di relatività galileiano si può supporre che le e siano le velocità relative del fluido: si ipotizza inoltre che

v v

1 2

l’onda d’urto si propaghi in una miscela non reagente (come l’aria); se così non fosse si potrebbe, con il imposto dal

∆T

detonazione.

flusso supersonico, superare la temperatura di autoignizione e andare incontro al fenomeno della Le varie

equazioni di governo possono essere facilmente manipolate per sostituzione esprimendo le velocità con i numeri di Mach.

A seguito della manipolazione algebrica, si possono esprimere le grandezze algebirche a valle in funzione di quelle - note

- a monte, ovvero in funzione di soli due parametri, e . Le formule non vengono ricavate algebricamente perchè

γ M

esistono delle tabelle per le onde d’urto normali. Si ricorda che l’onda d’urto è un fenomeno di compressione fortemente

∞,

non isoentropica. Si osservi che se il numero di Mach del flusso a monte tendesse a la pressione e la temperatura a

valle tenderebbero allo stesso valore: ciò non accade con il rapporto tra le densità (che tende ad un numero finito) nè con

il rapporto delle pressioni totali, il quale tende a 0. Questo, dal punto di vista della dissipazione energetic