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Cinematica del Punto
Velocità
\(\vec{v}_r = \frac{d\vec{P}}{dt} = \dot{x}(t)\hat{i} + \dot{y}(t)\hat{j} + \dot{z}(t)\hat{k}\)
S. Ascissa Curvilinea
\(ds = |d\vec{P}| = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}\)
\(\dot{x} = \frac{dx}{dt} \rightarrow dx = \dot{x} dt\)
\(ds = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2} dt = |\vec{v}| dt = s\cdot dt\)
\(s: \frac{ds}{dt}\)
- \(\dot{P} \cdot \vec{P}(t) = \dot{P} \cdot \vec{P}(s(t))\)
- \(s = S(t)\)
\(\vec{v} = \frac{d\vec{P}}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \dot{P} \cdot s\)
P't(s + Δs) = P't(s) + ΔP'
l dP'/l ds = 1
DIREZ. TANGENTE ALLA TRAIETTORIA
Se Δs → 0 , il triangolo P'OP' è ISOSCELE (base P'P')
|ΔP'| . 2|OP| sen ε/2 ≈ ε|OP| = |ΔOP| ε
Δs si confonde con l’arco di crf |Δs| . |OP| ε
lim |ΔP'|/|Δs| = 1
Δs→ 0
In un triangolo: π = ε + β + β’ = ε + 2β → β = π/2 ε/2 → β ≈ π/2
l dP'/l dt ^ versore tangente
l V = l st
ACCELERAZIONE
l dV/l dt = l xi + l yj + l ZK
l dV/l dt = (d/dt) (l S tt) + l dt/l dt s
s t + t|ldP'/l ds - ldP'/l ds si
Velocità
V̅ = dP̅/dt = aeiβ + aβjeiβṗ = aeiβ + āṗei(β+π/2)
Accelerazione
ā = dV̅/dt = aẇeiβ + aβṗeiβ + āṗei(β+π/2) + ẇ(aṗei(β+π/2) + βṗβ̇ṗei(β+π/2)) = (aβ2 + ā)ṗeiβ + (2aβṗ + āṗβ)ei(β+π/2)
Kinematica del Punto Rigido
Vinculo di Rigidità: la distanza tra due punti qualsiasi rimane invariata
- Punto (dimensioni trascurabili)
- Corpo (dimensioni non trascurabili)
- Corpo rigido (deformazioni trascurabili)
Configurazione iniziale
Configurazione finale
AC/AC' - Spostamento non rigido
AB=A'B' - Spostamento rigido
Spostamento rigido:
Ṡ(p) = ṗ' - ṗ conig. iniziale + conig. finale
Ogni punto del corpo deve avere un corrispondente dopo lo spostamento.
Esempio
Non c'è un CIR
Esempio
CIR
Accelerazioni
V̇a = V̇b + ω̇ ∧ (p - Q) + ω ∧ (Vra - Vrb) + ω ∧ (ω ∧ (p - Q))
d
Caso Piano:
ω̇ = ω̇k̂
(p - Q) = pQx î + pQy ĵ
ȧa = ȧb - ω̇ (p - Q) + ω̇k̂ ∧ (p - Q)
âa = b̂ (b̂ ∧ c) - (âḃ) ĉ + (âċ) b̂
â = b̂ - ω̇k̂
ĉ = (p - Q) = PQx î + PQy ĵ
ω̇ ∧ (ω̇ ∧ (p - Q)) - ω̇ (p - Q) + 0
Ve (ẋ, ẏ, ż) (xẋ, ẏ, ż) + (xẋn̂ + yẋn̂ • v̇n̂)
→ Vel con cui simuove il centrodella terna mobile
Vel relativoalla osservatoremobile
(p-o)
Vel trascinamento
V = V̇relativa + ωΛ(xľ + yĵ) + V̇rel + v̇o + ωΛ (p-o) = V̇relativa + V̇trascinamento
V̇relativa = Velocità percepita dall'osservatore mobile
V̇trascinamento = Velocità che avrebbe P se fosse vincolato rigidamente alla terna mobile
Accelerazione
ã̇r = dV̇r/dt = ã̇rel + dV̇r' / dt + (xẋ + yẋ) (xẋ/dt + yẋ/dt) + (ẋoľ + ẏoẋ)
+ ωΛ (p-o) = ωΛ (p-o) / dt + 3̇Λ (ωΛ (p-o)) + 2ωΛ V̇rel
ã̇ = ã̇rel + ã̇trascinamento + ã̇complementare
ã̇complementare odi Coriolis nel piano: - ωΛ (p-o)
Esempio: Terna Rotante
(p-o) = xẋ = x cos θľ + x sen θ 3̇
3̇
P
3̇ = V̇̇rel + V̇trasc
V̇rel = ẋľ
V̇trasc = θ̇KΛ (p-o) = θ̇KΛ xẋ = θ̇ẋ
V̇̇ = ẋľ + θẋj
Ö = σ
İ
θ, θ, θ,0̊
3̇
Velocità
(an, i vn) = a + b (a + b)je
(an, i vn) = a + b (a + b)je
vn = a cos (a + b) (a cos - a b + π) + (b - b)
a (cos a) b cos (a + b + π) + b (b cos (a + b π)
xβ = (∂xα/∂α) α + (∂xα/∂β) β = Λα(α; β) + Λβ(α; β)
Accelerazione
(an + i vn) = 2aiα
+ b (ana bcos i(a π))
ac = (ui) cos a
Manovellismo ordinario centrato
(a alber - bolla - pistone)
α = α a (t) (β - α)
Eq. di chiusura:
(b - o) [b . a] (a - o)
vettore modulo direzione
(b - o) = c (t, α) vizione fissa
(a) b (cos t) β = π
(a - o) =(α (cos t) α
Sistema di corpi rigidi
R̅i = 0̅ H̅P,i = 0̅ i = 1,..., N (numero di corpi rigidi)
Esempio
α = 60° (equilibrio statico) moto della cinematico: ẏ = ẏ(d)
Manovella
- RX = 0 → L0 + HA = 0
- Ry = 0 → V0 + VA = 0
- Mo = 0 → Vr cos α - HA Rc sen α = 0
Biella
- - HA - F = 0
- VB - VA - ρ = 0
- - ρl cos γ + VA r cos γ + F l sen γ = 0
6 equaz, 6 incognite ( f, UA, VA, L0, V0, VB)
Matrice dei coefficienti
[0 0 1 0 0 0] [UA] [0] [0 0 0 1 0 0] [VA] [0] [0 1 0 0 0 0] [L0] [0] [1 0 0 0 0 0] x [V0] = [0] [0 0 -r sen α 0 1 0] [F ] [0] [0 0 - sen γ cos γ 0 0 1] [VB] [ρ]x̅ = A-1 b̅
Dinamica dei sistemi
Punto
- Legge d'inerzia
- Sistema di riferimento assoluto
- Punto materiale non soggetto a forze
- Accelerazione nulla
- Legge fondamentale
- Azione e reazione
Sistemi di punti
N Punti (1, 2... N)
- Forze interne: interazione con gli altri punti
- Forze esterne:
- Forze attive (forza peso, ecc.)
- Forze reattive (vincoli)
I Eq. Cardinale della Dinamica
Metodi Energetici
Lavoro di una forza
dL = S∫F F · ds = S∫F F · ds
dL = t0∫t F · v dt = t0∫t W dt
W = dL/dt
Per una coppia di forze:
- Fa + Fo = 0
- L = S∫F Fa · ds + S∫F Fo · ds
dL = Fa · dsa + Fo · dso = Fa · ds + Fo · (dA ∧ A-B)
dL = Fa · (dA ∧ B-A) = (Fa - Fo) = H · do
L = S∫F dL = S∫F dH · do
Potenza della coppia
Lavoro Virtuale
dL = f · ds
Spostamento virtuale:
- - Infinitesimo
- - Di ampiezza arbitraria
- - Rispetta i vincoli
- - Avviene a tempo congelato
Per la coppia: dL = H · do
Principio dei Lavori Virtuali (PLV): un sistema con vincoli fissi e lisci (perfetti) è in equilibrio se e solo se dL di tutte le forze, lo coppie applicate al sistema è nullo.
- Solo forze attive (No forza vincolari)
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
