Appunti di Logica (corso avanzato): definizioni e legge di De Morgan

Logica: definizione

Logica = la logica è la teoria del ragionamento corretto nella misura in cui si prende in esame la forma delle relazioni tra le varie proposizioni e non il valore di verità intrinseco delle stesse.

Condizione di verità

Condizione di verità = la condizione alla quale un enunciato è vero, le “regole” a cui la realtà dovrebbe sottostare per verificare l’enunciato.

Verificazione

Verificazione = processo che permette di stabilire tramite l’esperienza se un enunciato è vero o falso.

Valore di verità

Valore di verità = valore proprio di ciascun enunciato determinato dalla verificazione (ogni enunciato può essere vero o falso). Quindi il valore di verità è dato dalle condizioni di verità filtrate dall’esperienza. Dire che un enunciato è vero significa affermare che le sue condizioni di verità sono verificate.

Intensione ed estensione

Intensione = il significato intrinseco di un’espressione (senza istanzializzazione nella realtà), che determina l’estensione dati i fatti del mondo.

Estensione = ciò che viene individuato nel mondo in riferimento alla propria intensione. (es. “il presidente della Repubblica” è intensione di “Sergio Mattarella” che è a sua volta l’estensione della prima espressione).

Principio di bivalenza

Principio di bivalenza = principio su cui si basa la logica classica per il quale vale sempre almeno una tra le due possibilità reciprocamente escludenti di verità e falsità. Cioè o una cosa è vera oppure è falsa e quindi non è contemplata l’esistenza di un caso in cui la stessa cosa sia contemporaneamente vera e falsa, ma nemmeno né vera né falsa.

Aristotele afferma che tale principio non possa valere per i cosiddetti contingenti futuri dal momento che non si possono fare affermazioni certe riguardanti eventi accidentali futuri nel presente senza scadere nel fatalismo. Tuttavia, egli ammette la validità della disgiunzione riguardo tali eventi. Ad esempio “Domani ci sarà una battaglia navale o non ci sarà” è certo e vero, mentre “Domani ci sarà una battaglia navale” è indeterminato quindi né vero né falso. A differenza del “principio del terzo escluso”, il principio di bivalenza riguarda una situazione del mondo.

Futuri contingenti

Futuri contingenti = enunciati che vertono su fatti futuri considerati contingenti e dunque non necessari.

Principio del terzo escluso

Principio del terzo escluso = principio complementare al principio di bivalenza. Secondo tale principio la disgiunzione esclusiva tra due possibilità reciprocamente escludenti è sempre vera, cioè non si può verificare una terza possibilità diversa dalle prime due. A differenza del “principio di bivalenza”, il principio del terzo escluso riguarda una proprietà del linguaggio.

Antirealismo

Antirealismo = dottrina secondo la quale se non si è in grado di dimostrare l’esistenza di un valore di verità, allora non si può affermare che un enunciato sia vero o falso, al massimo esso può essere indeterminato. La dottrina antirealista quindi è in accordo con il principio del terzo escluso, ma non con quello di bivalenza.

Enunciato e proposizione

Enunciato = sequenza di parole che forma una frase di senso compiuto. (es. “La musica non è urbana”)

Proposizione = ciò che è espresso da un enunciato. Si differenziano dagli enunciati per la presenza del “che”. (es. “Si asserisce la proposizione che la musica non è urbana”)

Tipi di proposizione

Proposizione semplice = proposizione costituita da un solo enunciato non ulteriormente scomponibile. (es. “Il mare è blu”)

Proposizione complessa = proposizione formata da un enunciato scomponibile in più enunciati. (es. “Il mare è blu e il gatto è sul tappeto”).

Proposizione particolare = proposizione che riguarda alcuni elementi di un certo insieme. Essa può essere introdotta da espressioni come “alcuni”, “certi”, “qualche”… (es. “Alcune balene sono lunghe più di trenta metri”). Dunque tali proposizioni si trovano espresse nella forma: “C’è qualcosa che ha F e ha (o non ha) G”.

Proposizione universale = proposizione che riguarda tutti gli elementi di un insieme. Essa può essere introdotta da espressioni come “i”, “gli”, “le”, “ogni”, “tutti”, “ciascun”. (es. “Tutte le balene sono mammiferi”). Dunque tali proposizioni si trovano espresse nella forma: “Se qualcosa ha F allora ha (o non ha) G”. In questo caso F è condizione sufficiente per G e G è condizione necessaria per F.

Condizioni

Condizione sufficiente = una proprietà è condizione sufficiente per un’altra proprietà quando tutto ciò che ha la prima proprietà ha anche la seconda.

Condizione necessaria = una proprietà è condizione necessaria per un’altra proprietà quando tutto ciò che non ha la prima proprietà non ha neanche la seconda.

Condizione necessaria e sufficiente = si verifica quando qualcosa ha F se e solo se ha G. Tipica delle definizioni.

Proposizione conversa

Proposizione conversa = proposizione in cui sono invertiti i termini. Asserire che una proprietà è condizione necessaria e sufficiente equivale ad asserire una proposizione universale e la sua conversa.

Proposizione generale

Proposizione generale = proposizione che si riferisce a molti elementi di un dato insieme (ad esempio i pregiudizi). Dunque tali proposizioni si trovano nella forma: “molte delle cose che hanno F hanno (o non hanno) G”.

Proposizione contrapposta

Proposizione contrapposta = la proposizione “b” è la contrapposta di “a” quando date due proposizioni condizionali “a” e “b” si verifica che l’antecedente di “b” è la negazione del conseguente di “a” e il conseguente di “b” è la negazione dell’antecedente di “a”. Due proposizioni contrapposte sono sempre equivalenti.

Negazione

Negazione = una proposizione è la negazione di un’altra proposizione quando la seconda dice che le cose stanno in un certo modo mentre la prima dice che le cose non stanno in quel modo. Pertanto la negazione di una proposizione è vera nel caso in cui la proposizione sia falsa e viceversa.

Congiunzione

Congiunzione = proposizione complessa costituita da due o più proposizioni legate dalla relazione che normalmente si esprime con parole come “e”, “eppure”, “sebbene”, “tuttavia” o con segni di punteggiatura come la virgola e il punto e virgola. Pertanto la congiunzione è vera nel caso in cui ciascuno dei congiunti sia vero, altrimenti è falsa.

Congiunti = proposizioni costituenti di una congiunzione.

Disgiunzione

Disgiunzione = proposizione complessa costituita da due o più proposizioni legate dalla relazione che normalmente si esprime con parole come “o” e “oppure”. Pertanto la disgiunzione è vera nel caso in cui almeno uno dei disgiunti sia vero, altrimenti è falsa.

Disgiunti = proposizioni costituenti di una disgiunzione.