Appunti di Impianti Meccanici 2 (+formulario) [IM2]

Servizio Acqua

Metodo del diametro economico

È molto utilizzato per il dimensionamento delle reti aperte (o reti estreme), cioè delle reti che trasportano l'acqua da una fonte a un punto di utilizzo. L'obiettivo è quello di calcolare il diametro delle tubazioni di un impianto che minimizzi il costo annuo dell'intera rete di distribuzione dell'acqua. Il costo totale C_tot [€/anno] per il pompaggio di una portata Q [m³/s] in una tubazione di lunghezza L [m] è costituito dai seguenti contributi:

• C_tot = C₁ + C₂ + C₃
• C₁ = costo annuo dovuto all'ammortamento e alla manutenzione della tubazione [€/anno]
• C₂ = costo annuo dovuto all'ammortamento e alla manutenzione delle pompe [€/anno]
• C₃ = costo annuo dovuto all'energia necessaria al funzionamento delle pompe [€/anno]

Nota: i costi C₁ e C₂ tengono conto della quota di ammortamento annuo pesante EA = equivalente annuo dell'investimento iniziale

EA = ^i(1+i)m/_(1+i)^m-1

Più in dettaglio:

C₁ = l₁ A.D^m L A^m = C_mt.D_t.f_m
l₁ = EA + f_mt coeff. utile alla valutazione del costo di manutenzione della tubazione
L = lunghezza della tubazione (tiene conto del costo al metro delle tubazioni, in funzione del materiale delle stesse e del loro diametro)

C₂ = l₂ B.P B.P
l₂ = EA + f_mp coeff. utile alla valutazione del costo di manutenzione annuo delle pompe (Tiente conto del costo delle pompe in funzione della loro tipologia oltre che della potenza elettrica P assorbita da motore delle stesse)

Infine:

C₃ = C_wK.N.P
C_w = costo dell'energia elettrica assorbita [€/kWh]
N = n° ore di funzionamento annuo [h/anno]
P = potenza assorbita delle pompe [kW]

Quindi calcolando la derivata di C_tot rispetto a D e uguagliandola a zero si ottiene il diametro che rende minimo il costo totale annuo della rete

dC_tot / dD = 0

Metodo della massima economia

È un metodo di dimensionamento delle reti a maglie e l'ipotesi di base che lo caratterizza è che il costo di una tubazione possa ritenersi proporzionale al suo diametro. In realtà, però, cosí non è: cosí in impianto il costo di una tubazione è proporzionale al quadrato del diametro. Tuttavia, possiamo approssimare la legge di variazione del costo della tubazione con una funzione lineare al fine di semplificarne la trattazione ed equazioni da applicare sono le seguenti:

• Principio di Continuità dei Nodi
• Vincolo della Maglia

Σ qi - Σ QN = 0 Nodo N
qi: portate che confluiscono (+) o defluiscono (-) dal nodo N, nei rami
QN: portate di alimentazione dall’esterno che confluiscono (+) o defluiscono (-) - saldo N

Principio di Continuità dei Carichi

Vincola Σ hi = 0 Vincola M (estensio hi = ^qi₂ri⁄_Dim - Darcy)
hi: perdita di carico nell’i-esimo ramo della maglia

Consideriamo il seguente esempio:

• q₃, b₃, l₃ → Nodo 3
• q₁, b₁, l₁ → Nodo 1
• q₂, b₂, l₂ → Nodo 2

p₁, q₂, q₃ = prevalenze ai 3 nodi
q₁, q₂, q₃ = portate in ciascun ramo
l₁, l₂, l₃ = lunghezze di ciascun ramo

In base alla formula di Darcy possiamo scrivere:

• z₁ - z = β ^q₁2l₁ ⁄_Dm → (1)
• z - z₂ = β ^q₂2l₂ ⁄_Dm → (2)
• z - z₃ = β ^q₃2l₃ ⁄_Dm → (3)

In base all'ipotesi fatta di proporzionalità tra costo tubazione e diametro posto scrivere:

C = k [D₁l₁ + D₂l₂ + D₃l₃]

Il minimo della funzione C(h) si trova dove è nulla la derivata prima

dC = 0 (>> ∀ (k / i) Σ + D_il_i; ∅) → Σ + D_il_i; ∅ / h_i

Nelle reti a maglie si dovrà considerare il solo anello esterno senza rami interni (con le opportune portate)

Metodo di Hardy Cross

Non è un metodo di dimensionamento della rete, bensì permette (una volta noti i diametri delle tubazioni) di calcolare la distribuzione delle portate nelle reti a maglie.