Appunti di geotecnica, stati di equilibrio limite di Rankine

Stati di equilibrio limite di Rankine

Consideriamo lo stato di sforzo di un elemento di terreno che in condizioni di p.e. indefinito.

Introduciamo l'ip: che il mezzo (terreno) non presenti variazione delle proprietà in direzione circonferenziale e piani verticali e orizzontali risultano principali di tensione.

Risulta quindi che il tensore degli sforzi è caratterizzato da:

σ₁ = σ_v = tensione generica verticale

σ₂ = σ₃ = σ_h0 = tensione generica orizzontale

L’equazione indefinita di equilibrio in direzione verticale

dσ_v / dx = 0

Il contributo degli sforzi tangenziali è nullo in quanto i piani verticali e orizzontali sono principali di tensione. Integrando

σ_v = cost.

Tranne l’integrazione dell’equazione indefinita di equilibrio in direzione orizzontale

dσ_h0 / dx = 0

Non consente l'individuazione di σ_h0

Poniamo scrivere che σ_h0 = f(z) nel caso non è necessario effettuare e puó essere direttamente il mezzo presenta discontinuità in direzione verticale

f(z) = K₀ L k_T / L σ_v0

k è un coeff. di spinta

In particolare possiamo scrivere quindi che:

Da tensione efficace orizzontale nelle condizioni iniziali: σ_h0 = (K₀) σ_v0

coefficiente di spinta a riposo

Stato limite attivo

Stati di equilibrio limite di Rankine

Consideriamo lo stato di sforzo di un elemento di terreno che sia delimitato da un p.e. indefinito. Introduciamo l'ip. che il mezzo (terreno) non presenti variazione delle proprietà in direzione orizzontale e piani verticali e orizzontali risultano principali di tensione.

Risulta quindi che il tensore degli sforzi è caratterizzato da:

_σ1 = σ_vo

_σ2 = _σ3 = σ_ho

^σ₁ + τ = spinta verticale

^σ₂ = spinta orizzontale

L'equazione indefinita di equilibrio in direzione verticale

dσ_vo/dx - γ = 0

Il contributo degli sforzi tangenziali è nullo in quanto i piani verticali e orizzontali sono principali di tensione. Integrando

^σ_vo = γ.z

Resta l'integrazione dell'equazione indefinita di equilibrio in direzione orizzontale

dσ_vo/dx = 0

Non consente l'individuazione di σ_ho

Poniamo scrivere che σ_ho = f(z) ed esso non è necessariamente costante e può variare orizzontalmente nel mezzo presenta discontinuità in direzione verticale

f(z) = _kv/T _σvo

k è un coeff. di spinta

In particolare possiamo scrivere quindi che:

da tensore effiace sovrastata nelle condizioni iniziali

Quindi possiamo dire che le condizioni di equilibrio se ne sono assurdo di definire la σ_ho

Stato limite attivo

Stato limite attivo

Immaginiamo di installare IDEALMENTE una parete liscia e infinitamente sottile, altrimenti detto idealmente perciò il sollevamento di tale parete e tale da non alterare lo stato di sforo iniziale, e persino di allontanare la parte dell'elemento: un modo che eliminino le forze di ...

In termini di cerchio di Mohr avremo un rappresentamento, perché la σ_x programeggio diminuisce mentre la s_x la prima... convienevole contatto.

Tale valutazione è ponibile fin quando il cerchio non diventa TANGENTE

Statua così; in presenza di una condizione di stato che soddisfa particolarmente le condizioni iniziali di equilibrio e il pericero perché non sarebbe più soddisfatto il criterio di rottura.

Questa condizione ragionata va sotto il nome di STATO LIMITE ATTIVO

Sempre utilizzando la proprietà rappresentativa del cerchio di Moch, il punto rappresentativo della sequenza dei piani coincide con il solo, o se questo punto condensativo è delle piene di rottura pensati per il punto di tangente del cerchio per l'inviluppo otteniamo di PIANI DI ROTTURA che hanno un rilevatore α = 45° + ϕ₂

k_a = ^{1 - \sin ϕ₁}/_{1 + \sin ϕ1}

Stato limite passivo

Immaginiamo ancora una volta e supponiamo di spingere idealmente la parete; movimento con il volume di su- In termini di cerchio di Mohr se aumentano progressivamente le di il cerchio prima diminuirà e avrà una condizione in cui … equilibrio di Mohr rispecchia in punto nel piano degli sforzi di è raggiungere una condizione di natura costitutiva del fatto che il cerchio di Mohr e tangente sull'asse orizzontale

A questo punto e possibile definire l'inclinazione dei piani di Una cosa importante da notare che perpendicolare al piano che abbiamo immaginato che ci sia un'altra corte quella fine

di quindi per il valore limite della tensione orizzontale effluisce Questi piano sono inclinati di un angolo β, che é il piano che il piano forma con le direzioni principale maggiore o rottura

• β = 45° - φ₁

_{σp = (Kp σv0})

_{Kp = lín(1+sin φ1) / (1 - sin φ1)}

Opera di sostegno

Muro a gravità → quasi un c.s o pietrame, la cui stabilità è dovuta al proprio peso W

Muro a mensola → sfrutta per la sua stabilità il peso del terreno che insiste sulla mensola

Diaframma → simile una lastra nel terreno, la cui stabilità è affidata alle sollecitazione del resistente passivo o alla presenza di uno o più ancorì (tirantati) mentre non gioca alcun ruolo il peso proprio dell'opera.

Teoria di Rankine

d'imp. Alla base della th di Rankine per il calcolo della spinta alle opere di sostegno c’è la seguente: si ipotizza che lo stato di sforzo agente sulla nostra parete sia lo stesso allo stato di sforzo agente sulla corrispondente generatrice all'interno del nostro mezzo equivalente indefinito

I due stati limite precedentemente calcolati fa riferimento al caso in cui, il nostro sforzato di rottura, le caratteristiche di resistenza al taglio sono espresse da un angolo di ventura al taglio φ e un valore del c' è = 0. E attraverso dell'con in cui ci va con angole c' è 0

σ₃ c' + σ₃c

sviluppo di rottura, caratterizzato da un angolo di ventura al taglio φ'

Possiamo considerare una traslazione dell'origine di una quantità (cioè di _p) corrispondente alla _p del cerchio di Mohr e pari due volte pari al segmento mediamente [..] considerando proiettato sul cerchio

_dp = _p - ^rd/_{1 - sin pdp' = ^r/rd - r - p}

Un'alternativa è uguagliare il valore di ordine bianco e quindi:

1 - pd' [=[rpp]])

In Uguagliando l'equazione e raggruppando i vari termini si giunge a :

cos _p'1 - sin _p' = 1 - sin^p!

√

Disegno analogo lo si può fare per le spinte passive ottenendo:

_p' = _{p p}

= 1 - sin ^p'1 + sin _{p'`${tan}`^2 ( - 12 1)}

Analizziamo [..] reparto relativo alla spinta attiva

Riprendiamo l'equazione₁( _r) = (

riproduciamo [..]

Il 1^o termina (Ka ∂␢_a) -0_a) si rinviano al verificare della prof([..]) Il 2^o termine tr è un termine costante [..] non dipende della probabilità [..]

E' possibile [..]

quindi l