Appunti di Fondamenti di Autamatica, Ingegneria Gestionale, La Sapienza

Relazione matrice-modello

Valori della matrice

I valori negativi possono trovarsi solo flusso continuo sulla diagonale. Possono esserci solo valori positivi decisione. Possono esserci solo valori positivi transizione tra stati. Matrice stocastica per colonne.

Influenza delle formule per modelli

Il serbatoio si riduce di una certa quantità α in un intervallo Δt. Si ricava il valore del coefficiente di distribuzione α (nel tempo), è pari a:

10 1 1 ln⁡( ) α10 = Δt 1 − α

Assenza di flusso entrante

−α ⁡t Δx = 1 − 10

Distribuzione di risorse

Flusso entrante costante: 1 − α − α () = + (1 − )̅10 101 0 α10

Struttura di equilibrio

= α10

Piramide gerarchica

• 1 1 1 1 1 1 + > + > + α α α α α α
• 12 23 34 45 56 60

Risorse umane e piramide di qualità

• 1 1 1 1 1 1 + + > + + α α α α α α
• 23 45 60 12 34 56

Valore di lungo periodo

̅11 = ,+1 Sia i l’interesse corrisposto m volte nell’arco dell’anno n:

Capitale

+ )x(t+n) = x(t)⁡(1 ⁡⁡ ..

Con spese di gestione “S”

+ )x(t+n) = x(t)⁡(1 investimento: costi di gestione −1(1 (1() = + ) (0) − [1 + + )+.. +(1 + ) ]

Debito residuo

Si fissa un debito iniziale P, con rate R ed interessi i. Debito residuo (1+) −1+ ) − ⁡x(k)=(1 rata per estinguere dopo n anni(1 + ) ∗ ammortamento debito = ⁡ (1 + ) − 1.

Anni necessari per l’estinzione

ln⁡(1 − ) = −⁡ ln⁡(1 + )

Tasso di riproduzione

0 1 −1 struttura di età = + +.. +0 1 0 1 2 1 − (1−) + ⁡⁡⁡⁡⁡ 1− ⁡page rank αij= 1{

Prezzo del bene

Sia q la quantità di bene programmata per la produzione: q = Q + bp q = D – ap Prezzo del bene 1

Dinamica dei prezzi

( + 1) = − () + () a>b Converge a p solo se e( + 1) = + [( + 1) − ()]0( + 1) = + ()

Modelli economici

Samuelson: 0() = () + () + () = ()( + 1) = () + ()() = () Harrod: () = () + () + () = ()

Definizioni

• Autovalore dominante: Nel tempo discreto, si dice autovalore dominante quell’autovalore avente massimo modulo. Nel tempo continuo, si dice autovalore dominante quell’autovalore avente massima parte reale. Implicazioni: Se esiste tale autovalore ed è reale ed unico, allora esiste una struttura di equilibrio stabile.
• Struttura di equilibrio: Si ci trova all’equilibrio quando una variabile assume valori costanti. = = 0 Nel caso discreto deve essere verificato che, in quello continuo che.

Esercizi particolari

1) Calcolare il valore percentuale, rispetto alla popolazione totale, della popolazione di una determinata classe (struttura di età). - Si determina l’autovalore dominante e se ne calcola il rispett