Appunti di Fluidodinamica, prof. Francesco Ballio e Stefano Malavasi

Fluid Labs

Marco Pirrò

Civil/Mathematical/Nuclear Engineering
Politecnico di Milano
Prof. Ballio F., Malavasi S.
Anno accademico: 2017/2018
43 pagine
Voto: 28

Descrizione lagrangiana ed euleriana

EVL: L'osservatore si posa in un punto dello spazio e osserva una data proprietà durante l'evoluzione temporale.

LAG: L'osservatore si siede sulla particella del fluido e studia l'evoluzione temporale seguendo la particella nello spazio.

Sistema: Concetto lagrangiano: insieme composto dalle stesse particelle che varia per forma, dimensioni, volume.

Control volume, concetto euleriano (o open system): È un volume dello spazio (indipendente dalle masse) attraverso il quale può attraversare massa ed energia (attraverso la control surface).

Derivata euleriana e lagrangiana

q è la quantità di cui vogliamo calcolare la derivata.

t grad(V) = 0 ma

Linee di corrente, traiettorie, fumo

• Corrente (streamline): È un concetto esclusivo perché sono linee tangenti ovunque alla velocità locale istantanea. Generano lo streaktube attraverso le quali non può avvenire trasporto di flusso per attrazione (infatti sono impossibili tangenti a velocità).
• Traiettorie: Percorso seguito delle particelle in tempo connetto lagrangiano.
• Fumo (streaklines): Linee occupate delle particelle negli istanti di tempo precedenti e la particella venga emesse dallo stesso punto (vedi fiume di stagnate).

Teorema del trasporto di Reynolds

Ci permette di passare dal concetto di Sistema (LAG) a quello di Controllo Volume (EUL). Le leggi della fluidodinamica dipendono da alcune grandezze fisiche che possono dipendere della massa, quantità di moto... (estensiva oppure no: velocità, press., temp.)

• B: Estensiva
• b: Intensiva (valore di B per unità di massa) - proprietà specifiche
• Oss: Si noti che T (temp.) non è un valore estensivo (non è una proprietà specifica)

Def: \(B_{sys} = \int_{sys} \rho b dV\) (sys: sistema, V_sys: volume occupato dal sys all'istante t)

Voglio collegare \(\frac{dB_{sys}}{dt}\) del sys che deve essere seguito nel moto! Si dimostra che:

\(\frac{dB_{sys}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{cv} \rho b dV + \int_{cs} \rho b \mathbf{V} \cdot dA\)

(cv è il volume di controllo, cioè volume al tempo t fisso)

\(\frac{\partial}{\partial t} \int_{cv} \rho b dV\) = rappresenta la variazione nel tempo della proprietà nel cv

\(\int_{cs} \rho b \mathbf{V} \cdot \mathbf{n} dA\) = rappresenta il flusso totale della proprietà attraverso cs (positivo per fluido uscente)

Se cv è fixed (non dipende da t) posso fare

\(\frac{\partial}{\partial t} \int_{cv} \rho b dV = \int_{cv} \frac{\partial}{\partial t} \rho b dV\)

Bilancio della massa

Il noto che per un sistema: \(\frac{dt_s}{dt} = 0\) (lag.)

Riproviamola in descriz. EUL tramite Reynolds:

B=M; b=1

\(\frac{dBs}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{Cv} \rho dV + \int_{Cs} \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} dA = 0\)

Cioè \(\frac{\partial Mev}{\partial t} = M_{in} - M_{out}\)

Versione differenziale: Teorema della divergenza

\(\int_{v} \text{div} \mathbf{G} dV = \oint_{A} \mathbf{G} \cdot \mathbf{n} dA\)

Quindi

\(\int_{v} \frac{\partial}{\partial t} \rho dV + \int_{v} \text{div}(\rho \mathbf{v}) dV = 0 \forall dV\)

Cioè

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}(\rho \mathbf{v}) = 0\) (∇EUL.)

In versione lagrangiana: ricordo

\(\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\nabla \rho) \cdot \mathbf{v}\)

\(\frac{d\rho}{dt} + \rho \text{div}(\mathbf{v}) \rightarrow \text{eul.}\)

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + (\rho \nabla \rho) \cdot \mathbf{v} + \rho \text{div} \mathbf{v} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}(\rho \mathbf{v})\) [OK]

[\(\text{div}(\rho \mathbf{v}) = (\nabla \rho) \mathbf{v} + \rho \text{div}(\mathbf{v})\)]

Equazione di bilancio quantità di moto

Variaz. nel tempo di q. di moto = \(\Sigma\) forze di massa + \(\Sigma\) forze di superficie

\(\frac{dB_{sys}}{dt} =\) ...