Simulazione fluidodinamica CFD - Appunti teoria

Introduzione Equazioni N-S

Ipotesi del Continuo

Il fluido è considerato come un "continuo" se la cella computaz. è molto più GRANDE del cammino libero tra le molecole, in modo da poter trascurare le interazioni molecolari.

NB: Le proprietà macroscopiche (V, P, ρ, T) e le loro derivate spaziali e temporali sono considerate come una media d’insieme delle infinite molecole dentro la cella.

* Tale ipotesi è valida se il numero KNUDSEN è < 0,01

Kn = _L/_L

• cammino libero tra le molecole
• lunghezza caratteristica della cella

NB: Per Re⬆⬆ il numero di Knudsen si può scrivere come

Kn = _Ma/_Re ⋅ ^π√

_cp/ _cv

• Si possono distinguere 4 regimi in base a Kn:
  • CONTINUO → Kn < 0,01
  • SLIP FLOW → 0,01 < Kn < 0,1
  • DI TRANSIZIONE → 0,1 < Kn < 3
  • MOTO LIBERO MOLECOLE → Kn > 3

NB Le eq. N-S sono completamente valide per Kn < 0,01 e producono buoni risultati in SLIP FLOW.

Dal moto di transizione in poi è necessario usare APPROCCI STATISTICI!!

es. [Flussaggio iniettore GDI]

• DISTACCO DI VENA
  • Si formano dei vortici con forte depressione (P_ass = 5 ÷ 100 Pa) e basse temperature
  • Aumenta notevolmente cammino libero molecolare e con esso anche il n° KNUDSEN che può diventare > 0,01

N-S: CONSERVAZIONE QUANTITA' MOTO

1) Tasso variazione q.ta moto dentro al VC

∫ (DMi/Dt) = ∂/∂t ∫ Mi + div (∫ ũ Mi)

∫ (DMj/Dt) = ∂/∂t ∫ Mj + div (∫ ũ Mj)

∫ (DMk/Dt) = ∂/∂t ∫ Mk + div (∫ ũ Mk)

2) Somma forze su particella fluida

NB Convenzione

• PRESSIONE → + se COMPR.ESSIVA
• SF. VISCOSI → + se TENSIVI

1 faccia su cui esercita

direzione lungo cui esercita

τ_ij + ∂I_kj/∂x_j 1/2 δx_j

p - ∂P/∂x_i 1/2 δx_i

τ_ki - ∂I_ki/∂x_k 1/2 δx_k

GENERICA EQ. TRASPORTO

costante diffusività

Variazione nel tempo di φ nel CV

Trasporto CONVETTIVO di opera del campo veloc.

Trasporto DIFFUSIVO A GRADIENTE per differente concentrazione

Pozzo o Sorgente generazione o consumo della proprietà φ

METODO AI VOLUMI FINITI

• Metodologia:

  1. Divido il dominio in CV
  2. Integro le eq. differenziali nel CV e applico Th. Convergenza
  3. Per valutare termini derivativi servono i valori sulle facce del CV
     • assunzioni sulle variazioni!
  4. Ottengo set equazioni algebriche lineari
     • 1 per ogni CV
  5. Risolvo iterativamente o simultaneamente.

Convergenza

• A convergenza:
  • le eq. conservazione sono soddisfatte in ogni cella
  • la soluzione NON cambia eseguendo altre iterazioni
  • i residui hanno un valore sufficient. basso

DEF. Residui

R_P = | a_P φ_P - Σ_nb a_nb φ_nb - b |

Residui normaliz.

R_{P, scaled} = | a_P φ_P - Σ_nb a_nb φ_nb - b | / | a_P φ_P |

Residui sul dominio

R^φ = Σ_celle | a_P φ_P - Σ_nb a_nb φ_nb - b | / Σ_celle | a_P φ_P |

Interpolazione e Differenziazione

• Operazioni necessarie per conoscere i valori delle proprietà φ e del loro gradiente ⟂ facce.
• I^o ordine upwind (UDS)
• Differenze centrate (CDS)
• II^o ordine upwind

NB I metodi di ordine superiore sono PIÙ ACCURATI ma MENO STABILI (→ meno DIFFUSIVI)

→ La miglior combinazione è iniziare il calcolo con il metodo UPWIND 1^º ordine e poi passare per alcune iterazioni al metodo UPWIND 2^º ordine.

NB Lo schema CDS alle differenze finite viene impiegato nelle LES, avendo l'accortezza di impostare una griglia tale che Pe_FUL/D < 1

PROPRIETÀ SCHEMI NUMERICI

• CONSERVATIVITÀ: le equazioni di conservazione in termini globali devono essere soddisfatte
• LIMITATEZZA: i valori devono rispettare limiti realistici
• TRASPORTATIVITÀ: la diffusione lavora in tutte le direzioni ma la convezione solo nella direzione del flusso

• Al crescere di Re, si dilata il range di strutture di moto presenti nel flusso turbolento
• Al crescere di Re, i fenomeni locali diventano sempre più piccoli

1^a Ipotesi Kolmogorov

• In una struttura turbolenta omogenea (con stessa en. cinetica turbolenta dello spazio) i vortici tendono ad essere statisticamente isotropi alle piccole scale
• Identifichiamo la scala lEI=ρ1/6 al di sotto della quale i vortici sono isotropi

L _per l < l_EI → Universal Equilibrium Range

2^a Ipotesi Kolmogorov

• In tutti i flussi turbolenti, al di sopra di una lunghezza l_DI = 60. η_g i vortici sono indipendenti da ν
• l_DI < l < l_EI : Inertial Subrange (effetti viscosi trascurabili)
• l < l_DI : Dissipation Subrange (effetti viscosi non trascurabili)

EQUAZIONI FAVRE

• Consideriamo N-S per fluido comprimibile
• Media Reynolds: per ρ e p
• Media Favre: per _Mi e _eo

∂_p/∂t + ∂(ρ_~uč) / ∂_xi = 0

∂(ρ_¯ ^{ủi ūi}) / ∂t + ∂/∂_xj (ρ_¯^ûiûj + ^μ'ᵢ _μ'ᵢ) = ∂pδᵢⱼ/∂_xj + ∂τiⱼ/∂_xj

∂(ρ_¯ ^ẽo) / ∂t + ∂/∂_xj (ρ_¯^ûiẽo + ^{μ"ᵢ ẽo") = -∂ñ _p/∂_xj μ'ᵢ _p ∂xj}

+ ∂Miτiⱼ/∂_xj - ∂qj/∂_xj

con: _ẽo = ^ẽ + _ũk ^{ũk / 2 + K}

^ḣ = ^ḽo + _p / ρ

• Esiste una famiglia di modelli di turbolenza che mirano a risolvere i termini degli stress turbolenti introducendo un'equazione di trasporto per ciascuno di essi
• REYNOLDS STRESS MODEL (RSM)

Rea1izzabilita' Modello Turbolenza

• Prevede 2 condizioni :
1. Le componenti degli stress turbolenti sono non-positive.
2. La disuguaglianza di Schwarz deve essere verificata per ogni quantità che rappresenta una fluttuazione.
• "covarianza < prodotto varianze"
• Vengono introdotte delle varianti al modello K-E che non sempre rispetta le 2 condizioni :
• REALIZABLE K-E : mira a garantire il rispetto dei due criteri. Ap diventa funzione del campo di moto. Viene modificato l'equilibrio turbol.
• K-E RNG : Si adotta un procedimento matematico che porta ad una nuova equazione per E che è diversa punto per punto.