Appunti di Fluidodinamica

APPUNTI DI FLUIDODINAMICA

Sommario

SISTEMI CONTINUI ............................................................................................................................................. 3

RISULTANTE DELLE FORZE SU UN ELEMENTO DI VOLUME ............................................................................... 6

DEFINIZIONE DI FLUIDO ..................................................................................................................................... 8

RELAZIONI SFORZO-VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE ......................................................................................... 10

...................................................................................................................................... 12

RAPPRESENTAZIONE LAGRANGIANA E EULERIANA DEL MOTO ...................................................................... 14

VISUALIZZAZIONI DI FLUSSO ............................................................................................................................ 17

FLUIDOSTATICA ............................................................................................................................................... 18

FORZE IDROSTATICHE SU SUPERFICI IMMERSE .............................................................................................. 20

FORZE SU CORPI IMMERSI ............................................................................................................................... 24

STUDIO DINAMICO .......................................................................................................................................... 27

Metodo del volume di controllo ...................................................................................................................... 27

GRANDEZZE ESTENSIVE E INTENSIVE .............................................................................................................. 31

EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE PER UN VOLUME DI CONTROLLO ............................................................... 32

EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA O EQUAZIONE DI CONTINUITÀ ........................................... 34

EQUAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO ........................................................................................................ 36

ESEMPIO SULLA SCELTA DEL VOLUME DI CONTRLLO ..................................................................................... 40

EQUAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE ........................................................................................................ 42

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA ................................................................................................... 43

EQUAZIONI IN FORMA DIFFERENZIALE ........................................................................................................... 45

FORMA DIFFERENZIALE DEL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA .............................................. 45

FUNZIONE DI CORRENTE ............................................................................................................................. 46

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO ............................................................................................ 47

DEFORMAZIONI ........................................................................................................................................... 50

Deformazioni angolari ................................................................................................................................. 52

MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO .......................................................................................................... 53

CIRCOLAZIONE E VORTICITÀ ........................................................................................................................ 55

FLUSSI INCOMPRIMIBILI NON VISCOSI (EULERO) ............................................................................................ 58

EQUAZIONE DI EULERO IN COORDINATE RELATIVE ALLE LINEEA DI FLUSSO.............................................. 59

PRESSIONE TOTALE .......................................................................................................................................... 68

FLUSSI A POTENZIALE ...................................................................................................................................... 72

Flussi a potenziale bidimensionali ............................................................................................................... 78

FLUSSI INCOMPRIMIBILI VISCOSI..................................................................................................................... 84

ESPERIENZE DI REYNOLDS ............................................................................................................................... 90

MOTO TURBOLENTO ....................................................................................................................................... 92

MOTO TURBOLENTO COMPLETAMENTE SVILUPPATO IN TUBI E CONDOTTI ................................................. 96

PERDITE DI CARICO ........................................................................................................................................ 100

Strato limite ................................................................................................................................................... 104

EQUAZIONE INTEGRALE DELLA QUANTITÀ DI MOTO ................................................................................... 110

STRATO LIMITE LAMINARE CON GRADIENTE DI PRESSIONE ......................................................................... 119

SEPARAZIONE DELLO STRATO LIMITE ........................................................................................................... 120

STRATO LIMTE TURBOLENTO ........................................................................................................................ 122

STRATO LIMITE TURBOLENTO SU LASTRA PIANA .......................................................................................... 123

FLUSSI ESTERNI .............................................................................................................................................. 125

FORZE AEREODINAMICHE ............................................................................................................................. 128

FORZA DI DRAG ............................................................................................................................................. 132

FORZA DI DRAG SU LASTRA PIANA: ............................................................................................................... 133

COEFFICIENTE DI DRAG PER UN CILINDRO .................................................................................................... 134

CORPI AEREODINAMICI: PROFILI ALARI......................................................................................................... 137

STALLO AERODINAMICO ............................................................................................................................... 142

FLUSSI COMPRIMIBILI .................................................................................................................................... 144

GRANDEZZE TOTALI ....................................................................................................................................... 147

GRANDEZZE CRITICHE .................................................................................................................................... 148

FLUSSI ISENTROPICI MONODIMENSIONALI .................................................................................................. 148

ONDE IN FLUSSI COMPRIMIBILI ..................................................................................................................... 150

FLUSSO IN AREA COSTANTE CON ATTRITO (PROBLEMA DI FANNO) ............................................................ 156

FLUSSO IN AREA COSTANTE CON SCAMBIO TERMICO (PROBLEMA DI RAYLEIGH) ....................................... 158

UGELLO CONVERGENTE ................................................................................................................................ 162

UGELLO CONVERGENTE DIVERGENTE ........................................................................................................... 164

SISTEMI CONTINUI

Per definire un fluido abbiamo bisogno di una definizione di fluido che sia operativa,

cioè che ci consente di caratterizzare il comportamento meccanico del fluido.

Per trovare una definizione giusta, bisogna trattare il fluido come un sistema conti-

nuo. Questa ovviamente risulta una approssimazione che però ci consente di adden-

trarci nella fluidodinamica.

Un sistema continuo è definito come una regione dello spazio all’interno del quale le

proprietà fisiche variano con continuità da punto a punto. Quindi tutte le proprietà

fisiche del sistema sono funzioni continue, della posizione che si considera e anche

del tempo

Per qualsiasi proprietà fisica associata al sistema continuo in esame io posso scrivere

Φ.

questa relazione In particolare per i fluidi ci riferiamo ai sistemi continui mate-

riali, essi sono definiti come dei continui a cui associamo una massa distribuita an-

che essa con continuità nello spazio del sistema. Possiamo quindi definire una fun-

zione densità che ha le dimensioni di una massa per unità di volume, [ML^-3].

Considero un elemento δV nel sistema continuo materiale, a questo elemento posso

associare un elemento δm. Esiste dunque ed è finito:

Il reciproco della densità è il volume specifico.

Riprendo adesso alcune nozioni di base, cioè come esprimere le forze di Volume e le

forze di Superfice. Le forze di volume sono quelle distribuite con con-

tinuità nel volume V occupato dal sistema. Le defi-

nisco cosi:

Chiamo con b il campo di forza di volume, se considero anche la massa ottengo che:

Risulta inoltre che b=ρg. g è il campo di forze

di massa

Le forze di superfice invece sono applicate sulla frontiera A≡∂V :

Queste formule vengono applicate su un volume infinitesimo e su un’aureola infini-

tesima.

Noti, inoltre, questi campi di forza possiamo definire anche:

Adesso consideriamo un sistema continuo C soggetto a forze di superfice e forze di

volume. Supponiamo che il sistema continuo C sia in equilibrio soggetto a queste

forze. Se il sistema è in equilibrio e se considero una parte di questo volume deve ri-

sultare allo stesso modo in equilibrio. Definisco quindi una parte di C che chiamo C*,

questo deve risultare quindi in equilibrio e le forze a cui è soggetto sono le forze di

volume che agiscono sul volumetto di C*, questo sistema però non risulterà in gene-

rale in equilibrio come dovrebbe essere.

C* risulta in equilibrio pur non essendo in equilibrio,

dobbiamo quindi ammettere che la restante parte di C

esercita attraverso la superfice di C* delle forze che

vanno ad equilibrare le forze di volume agenti su C*. il

sistema C trasmette quindi delle forze sulla superfice di

contorno di C*. quindi la risultante delle forze sul gene-

rico elemento di area δA , centrato in un punto gene-

n

rico P è:

Questo vettore δF è scomposto in due componenti, che risultano essere la compo-

nente normale e quella tangenziale. Esistono quindi questi limiti:

Esse sono rispettivamente sforzo normale e tangenziale nel P riferite all’elemento di

area δA Gli sforzi hanno una dimensione di una forza/unità di area.

n.

Se consideriamo in un riferimento cartesiano O(x,y,z) nel punto P avremo tre diverse

componenti di sforzo, ad esempio se considero un elemento di area normale all’asse

x, δA :

n Analogamente ho questi sforzi applicati anche

su y, x. Se noi quindi riferiamo il nostro sistema

continuo ad un sistema di coordinate cartesiane

x,y,z per ogni punto P del sistema, possiamo de-

finire tre componenti di sforzo, uno normale e

uno tangenziale per ogni giacitura definita dal

versore normale n nel punto P. Al variare del

punto quindi varieranno gli sforzi, ma in un

punto prefissato si avranno tre diverse compo-

nenti di sforzo per ogni giacitura passante per P.

In un punto P avremo quindi una tripla infinita di sforzi, tre per ogni giacitura nor-

male n. Esiste un risultato matematico che si chiama Teorema di Cauchy, esso sem-

plifica notevolmente la caratterizzazione matematica degli sforzi. In particolare le

componenti dello sforzo relativo ad una giacitura n (n , j=x,y,z), possono essere

j

espresse in funzione delle componenti relative alle giaciture dei piani cartesiani

come:

In questa notazione ad indici è utilizzata la convenzione di Einstein, per cui si ritiene

eseguita la somma rispetto all’indice ripetuto. Nel secondo membro dell’equazione

τ n

il prodotto è la somma di prodotti effettuata con somma effettuata sull’indice j.

ij j

τ = σ n +τ n τ n

Ad esempio Il teorema di Cauchy ci dice una cosa impor-

nx xx x xy y + xz z.

tantissima e cioè che lo stato di sforzo in un punto risulta univocamente determi-

nato una volta note le 9 componenti τ rispetto al riferimento scelto. Le 9 compo-

ij

nenti possono essere viste come le componenti di un tensore doppio, tensore degli

sforzi.

Una particolarità di questo tensore è che è simmetrico, cioè le componenti ai lati

della diagonale principale sono uguali, questo mi riduce a 6 le componenti da ricer-

care.

RISULTANTE DELLE FORZE SU UN ELEMENTO DI VOLUME

Determiniamo adesso la risultante

delle forze su un elemento di vo-

lume. Considero un elemento di

volume generico che ha la forma di

un parallelepipedo con lati paral-

leli agli assi e centrato un un gene-

rico punto P(x,y,z), dove

dV=dxdydz.

La risultante delle forze di volume

è:

dB=bdV=bdxdydz=ρgdxdydz

Le forze di superficie che agiscono sull’elemento sono quelle associate agli sforzi

agenti sulle facce laterali:

dA =dydz; dA =dxdz; dA =dydx queste sono le aree delle facce laterali.

x y z

Nel punto P gli sforzi sono rappresentati dal tensore degli sforzi τ tuttavia noi vo-

ij,

gliamo andare a considerare le forze elementari che il resto del nostro sistema conti-

nuo trasmette all’elemento attraverso le facce. Vado quindi a valutare le forze non

sul punto P ma sulle facce del parallelepipedo. Ad esempio, per gli sforzi sulle facce

normali all’asse x ci dovremmo spostare dal punto P di un +dx sulla faccia di destra e

di un meno dx sulla faccia di sinistra. Rispetto ai valori in P gli sforzi varieranno corri-

spondentemente, per esempio per lo sforzo normale σ in P, lo sforzo normale sulla

xx

faccia di destra sarà : ci siamo spostati di un dx/2. Quindi uno sviluppo di Taylor

centrato in P ci dà sulla faccia di destra questo valore a

fianco. Allo stesso modo sull’altra faccia avrò un segno

negativo quindi -dx/2. Questo ragionamento lo applico anche alle altre componenti

tangenziali ottengo quindi che in direzione x la forza Fx è uguale a:

In definitiva se trovo anche Fy e Fz ottengo:

La risultante delle forze R=dB+dF sarà quindi uguale:

Questo risultato poteva essere ottenuto anche in maniera diversa utilizzando il Teo-

rema della Divergenza.

Considero all’interno del volume V, un sottovolume V*. Questo sarà soggetto alle

forze di volume e alle forze dovute alla restante parte che il continuo trasmette at-

traverso la sua superfice. La risultante degli sforzi agenti su V* sarà data da :

Dove A* è la superfice di contorno di V*, questo deriva dal fatto che per ogni ele-

mento di superfice A* di giacitura n, gli sforzi sono dati dal teorema di Cauchy. L’in-

tegrale può però essere visto come integrale di flusso degli sforzi τ attraverso la su-

perfice A* quindi utilizzando il teorema della divergenza ottengo:

Dove : è la divergenza del tensore degli sforzi. NB la divergenza ab-

bassa di un grado l’ente matematico a cui è applicato, quindi la divergenza di un vet-

tore è uno scalare, la divergenza di un tensore è un vettore.

La risultante quindi è uguale proprio a :

DEFINIZIONE DI FLUIDO

Posso adesso con queste informazioni andare a definire i FLUIDI. Un fluido è un con-

tinuo materiale che in condizioni di equilibrio presenta soltanto sforzi normali

aventi carattere di compressione. Un fluido in equilibrio non può sopportare né

trazione ne sforzi di taglio. Infatti, come definizione potremmo usare anche la duale

e cioè che il fluido è un continuo materiale che si deforma con continuità sotto

l’azione di sforzi di taglio. Se nel fluido in equilibrio ci sono solo sforzi normali, vuol

dire che il tensore degli sforzi del fluido è diagonale, ha quindi elementi non nulli

solo nella diagonale principale.

Si dimostra poi anche un altro importante principio, il principio di Pascal ovvero che

gli sforzi normali sono tutti uguali fra di loro. Infatti, si ottiene:

,

Dove δ è il tensore di kronecker, quindi è proprio uguale alla matrice di identità. Il

ij

segno meno è per ricordare che gli sforzi normali devono essere di compressione.

Dalla definizione si deduce che lo sforzo relativo ad una generica giacitura di nor-

male n può essere scritto come:

j dove p in generale potrà dipendere dalla giacitura

ma in realtà non ne dipende perché dal teorema di Cauchy, se il tensore degli sforzi

è diagonale noi abbiamo che:

Se eguaglio queste due equazioni ottengo che σ è uguale proprio a -p. quindi tutti gli

sforzi normali hanno carattere di compressione e lo scalare p è chiamato pressione

(forza/superfice).

Confrontiamo adesso in condizione di equilibrio un fluido e un solido.

I solidi:

• Sono in equilibrio anche con sforzi tangenziali;

• Subiscono deformazioni statiche, se queste non sono troppo intense, la

configurazione varia solo marginalmente rispetto a quella non sollecitata.

I fluidi:

• Si deformano con continuità e indefinitamente sotto l’azione di sforzi

tan