Appunti di Fluidodinamica

DERIVATA MATERIALE

f. ☒ 0¥ IfIzisiaTf di= =+ + =.at1. MASSA5 DENSITÀE massaDI( )Massa del BM Bndi parte• corpo unao sua( )()M ( dv IdV)Bn (KIPq ✗ KIMD== Kim= con ✗ =,)(K Bn ( )Densita frdi KIMf ( )'• ×omassaMMIhim ( )V klbnfr Bra ) o→cbn n →per o= ,, )n o (✓> KIBNI-la temponel nelloinvariabileè spazioemassaVariazione didensitàdi• massa JIX) jacobiomo della:/ / )/ IdV frutta ( )) Jfra dvzX✗ UNtrasforma-= ✗, =.kit )Bn )Kslbn )( full) ( )(X ) Jluogo XXfrin = -ogni : ,1. 6 CONSERVAZIONE della massa/ dvM )( flx.tlBn = (✗ )Bn t,Postulato di della• conservazione massaM /)( d- flxitldvBn 0= =( dtT.dk trasporto )sclbn t,di Reynolds /mila ( ))✓ E. %:÷ dv 0+ == / )I BnìlCAMBIOA. 19 VARIABILIDI INTEGRALI MULTIPLINEGLIdv Ed(dxzdxdx En Ez✗ Xii == , ] ,,h¥ tg¥ ¥W vettore tangenti Ecoordinataallauh= .=, = , :EI021 °E↳ lunghezza linealungo la coordinata E51 : ,hi lunghezza

rettoredel ".ty vettore Ezunitario tangenti a:ti dss Wade DEIE= =, 04 )(dv d dea Endd EzdDEE Eah Waera Ws✗✗ Wcui ..= => ]].( ( )) se 0¥ detÈ GIF JUs EijkWaxun =. = =0 deaEri a E3dv Jd End Ead E= ,f) /|µ / )F (dradis( Jddei) dEd EE.zio Ea Es E✗✗ ^ = ,,, pàTEOREMA1. 7 DIDEL REYNOLDSTRASPORTO/ /( )/ )( duI. dv¥ I.affidi MINfinti = + = +. ( )✗ Bn t( ) JCCBNX Bn )t t,, ,T1.7.15 Applicando Greendiil• . // /d- dv AI fudvtfinti nds= -atat ( )✗JCCBN Bn )ti t k(a Bmt, , contorno della JCIBn.tl→1.7.16 Ricordando l' della derivata materiale• espressioneDERIVATA TERMINETEMPORALE CONVETTIVO ]// [d- ( ¥ dv)atdv fare8kt) +ni =+= at* axiaxiJCIB )) mt( BnJC t, / )( dvDI fdinu= +DtJCIB )mt ( )1.8.5 f ffl'Usando di continuità• equazione =dfff-tpfd.nu/dVdtJC(Bn,t// (d- dvF)19 = JCCBn.tl) ]/ ([ )GfDI dvdiFf g n+= +dt)JC ( Brut/ dvDIf= Dtx( Bnit1 )(9 CONTINUITÀEQUAZIONE formaDI della differenzialeinconserva massa.

.3£7- Giàt.ym-o-D.tt++ = TuDj f 0pani =+=[ axi Tu dircost of a= =per = QUANTITÀDINAMICA CONSERVAZCORPI DEFORMABILI MOTODEI DELLA DI.,1 FORZE2. ( ffdv fMassa forzadi diunità• per:: massa(Bn✗ ti,ftp.ydstpy forza contattoCONTATTOdi unità d'di• per: : arealocalmenteuscentenormale supesfdalla( h)Bn :t ., ( )lim DItu Landrytu lemmatfn di-= =, ,, da da→ o (2.2 )QUANTITÀCONSERVAZIONE VETTORIALEDELLA MotoDI/ gndvquantità di moto :↳ ( ti3C Bn ,Conservazione :/ //È ffdvdi dstufu += ,)CLBN( a)) tJC tBn ,, [ ( )1.8.5ttaspT.dk Reynoldsdi. //asnjjf-fdvdtscfbn.tl(dufnidv/Èe de Eni9= = ++°(JCIBn.tl )3C Bn t,ftp.idsforze Ihimcontattodi• 0: =dad o→ Clbnita) )forzele tensionicontatto unitadi di'per oarea sono, ,localmente equilibrioinTENSORE2. 3 DELLE TENSIONI Ttini Tig tnhj → n= .= ,t tu b-ta ha MMa +t( 3(3)) ),=nLo stato delle tensioni nel punto x è completamente individuato dalle

1. Componenti del tensore
2. Relazione tensoriale valida per qualunque rotazione degli assi
3. Conservazione della quantità di moto
4. Equazione di Cauchy
5. Conservazione del momento del fluido
6. Relazioni costitutive del tensore termodinamico
7. Simmetria del tensore delle tensioni
8. Stato termodinamico del fluido
9. Equazione di idrostatica
10. Dipendenza del tensore dal passato

( )M stato termodinamicods( )t eit s s.= - ,-,o-M ( ) funzione EtStSt tempo tempoattuale precedentiS- : :memoriae :FLUIDI NEWTONIANI2. STOKESIANI E9 STOKE SIANO• ( )Ti H stato termodinamicoeij- =g- ,Tig Sigp- -=ISOTROPO- OMOGENEO- aii-i-ai.me À "Tipi l lera> + t= ijkl.mn ke nn . . .-[ PREVALENTISE SONOFLUIDO NEWTONIANO Storie siano TERMINE NON= - LINEAREti )( Siterra) (Sig +2MAiTij taxao pt lijEKK lij+ -== -,Aa. A+ai 2Mp= =- =L ↳ Etermodinamica coefficienti di )preso dellaviscosità temperatura( giunzioni.2 10 PRESSIONE TENSIONE NORMALE MEDIAE. TENSIONEtensore VISCOSA• ;[ terra dij Sig2 TejGigi µ cio pt Gig+-= =( )traccia Tii 31+23 µGig Gij eracon+: - p ==↳ )(Tiig }valore tmedio µ lkkpt t: -=) tensione )( (termodinamica piP medianormale sepresa = :. /1) ( )tensioni perfettofluidodi motonulleviscose assenzaIgtii } È( )Tra Tp In= + + -- = =»2) I ( )} densitàbassaatomiciµ gas= amono-3) ( )fluidi

costincomprensibili fCnr 0 ==↳ solotermodinamicosignificatoperde normale mediatensionerimanep ,)(è +23Mip ekk- = ↳ VISCOSITÀ DICOEFF MassaDI.↳ lega tensionela volumedivelocitàalla diviscosa variazione112. EQUAZIONI NAVIER STOKESDI 2¥( )atif Ifi a- amHtm µ+ += - ¥ 2×50×5ahi, Màni)(SEI II.Hi ¥Htm III +-- +- Xjaa. ✗g-↓ ↓ terminididiforze termine viscosipressionemassaforma vettoriale• : tuedireigradffi gradfa )✗(p µ+ += µ+- )( ( )fluido costfincomprensibile 0UK• ==se, Fufif gsadpfa µ+-= DELL'TERMODINAMICA DEI ENERGIACONSERVAZIONECONTINUI ,,PRODUZIONE ENTROPIADIA U3. ENERGIA INTERNA A LIVELLO microscopicodiunitainterna 'perenergia• massa/12m =/È M' (e) #µ (e) velocitൠldella molecola:= esima-In1=1 velocità d'µ lamedia particellaperinsieme: ( )materiale P finora consideratavelocitàvolumediunitàenergia•

Per n' (e) velocità termica di agitazione della: l molecola- esima)( fini È Uf +=CONSERVAZIONE33. DELL' ENERGIA di dell' MECCANICA TOTALE• equazione energia