Appunti di Fluidodinamica

FLUIDODINAMICA

La fluidodinamica è la branca della meccanica che studia il comportamento dinamico dei fluidi,

L'ipotesi fondamentale nella fluidodinamica è quella di continuo.

SISTEMI CONTINUI

Un sistema continuo Ω _ℝ³ è una regione materiale dello spazio in cui le proprietà fisico della regione variano con continuità.

Φ = Φ(x,t) => una proprietà del continuo.

FORZE DI VOLUME E SUPERFICIE

Si assuma che in un continuo Ω agiscono forze di volume b e di massa superficiale t, valgono le equazioni di bilancio:

∫_Ω b dv + ∫_∂Ω t ds = 0 => Bilancio delle forze

∫(x-x₀)∧b dv + ∫(x-x₀)∧t ds = 0 => Bilancio dei momenti

TENSORE DEGLI SFORZI

Esiste un campo tensoriale σ^*(x) tale che:

t(n,x) = σ^*(x) n => σ è il tensore degli sforzi di Cauchy.

EQUAZIONI DI BILANCIO PUNTUALI

Sfruttando il teorema della divergenza, le equazioni di bilancio diventano:

b + div σ = 0 => Bilancio puntuale delle forze

σ = σ^T => Bilancio puntuale dei momenti

• Il bilancio dei momenti ci dice che il tensore degli sforzi è simmetrico.

* b condizione anche eventuali forze inerziali => b = ρ^INX

FLUIDODINAMICA

La fluidodinamica è la branca della meccanica che studia il comportamento dinamico dei fluidi.

L'ipotesi fondamentale nella fluidodinamica è quella di continuo.

SISTEMI CONTINUI

Un sistema continuo Ω ⊂ ℝ³ è una regione materiale dello spazio in cui le proprietà fisiche della regione variano con continuità.

Φ = Φ(x,t) => una proprietà del continuo.

FORZE DI VOLUME E SUPERFICIE

Si assuma che in un continuo Ω agiscano forze di volume b^# e di massa superficiale t, valgono le equazioni di bilancio:

∫_Ω bdv₊ ∫_∂Ω t ds = 0 => Bilancio delle forze

∫_Ω (x-x₀)∧b dv₊ ∫_∂Ω (x-x₀)∧t ds = 0 => Bilancio dei momenti

TENSORE DEGLI SFORZI

Esiste un campo tensoriale σ^c(x) tale che:

t(n_i,x) = σ^c(x)n => σ è il tensore degli sforzi di Cauchy.

EQUAZIONI DI BILANCIO PUNTUALI

Sfruttando il teorema della divergenza, le equazioni di bilancio diventano:

b^# + div σ = 0 => Bilancio puntuale delle forze

σ = σ^T => Bilancio puntuale dei momenti

• Il bilancio dei momenti ci dice che il tensore degli sforzi σ è simmetrico.

* b^# contiene anche eventuali forze inerziali: (bⁱⁿ= -γ x^¨)

PROPRIETÀ DEI FLUIDI

Un fluido è un continuum materiale il cui tensore degli sforzi è isotropo e il cui gruppo di simmetria è unità, è, pertanto, un fluido indeformato. (F=i) Ha tensore degli sforzi sferico e presenta solo sforzi normali di compressione (principio di Pascal):

\(\sigma = -pI\) p>0 e detta pressione

DIFFERENZE SOLIDO-FLUIDO

SOLIDO:

• Può rimanere in equilibrio sotto sforzi di taglio tangenziali.
• Piccole azioni tendono piccoli spostamenti e deformazioni.
• Deformazioni statiche.

FLUIDO:

• Si deformano con continuità sotto l'azione di sforzi tangenziali.
• Assumono forma del recipiente.
• Sforzo tangenziale costante implica velocità di deformazione costante.

TIPI DI FLUIDI

FLUIDI NEWTONIANI:

• Si dicono newtoniani i fluidi il cui tensore degli sforzi dipende linearmente dal gradiente di velocità/velocità di deformato.

FLUIDI NON NEWTONIANI:

• I fluidi non newtoniani sono caratterizzati da relazioni non lineari tra sforzo e velocità di deformazione.

COMPRIMIBILI:

• Si dicono incomprimibili i fluidi con \(\rho = cost\).

Altrimenti comprimibili, si definiscono modulo di comprimibilità:

\(K = \rho \frac{\partial p}{\partial \rho}\)

STATICA DEI FLUIDI :

La statica dei fluidi si occupa di determinare la distribuzione di pressione in un fluido in quiete.

Detto quindi b = p per il teorema degli sforzi, dalle equazioni di Bilancio:

b + div σ = 0   =>   b - ∇P = 0   =>   Equazione della statica dei fluidi.

b non comprendendo termini inerziali osserva in condizioni statiche.

LEGGE DI STEVINO:

Si consideri un fluido in quiete soggetto al campo gravitazionale b = ρg, allora

∇P = ρg

Posto quindi g = -g_z si ha, in componenti:

{ ∂P/∂x = ∂P/∂y = 0   =>  P non dipende da x e y∂P/∂z = -ρg    =>   P - P₀ = -ρg(z-z₀)   qua