Appunti di Fluidodinamica

FLUIDODINAMICA

La fluidodinamica è la branca della meccanica che studia il comportamento dinamico dei fluidi. L'ipotesi fondamentale nella fluidodinamica è quella di continuo.

SISTEMI CONTINUI

Un sistema continuo _Ω⊂ℝ³ è una regione materiale dello spazio in cui le proprietà fisiche della regione variano con continuità. ϕ = ϕ(x,t) ⇒ una proprietà del continuo.

FORZE DI VOLUME E SUPERFICIE

Si assume che in un continuo _Ω agiscano forze di volume b e di massa superficiale t, valgono le equazioni di bilancio:

∫_Ωb dv + ∫_∂Ωt ds = 0 ⇒ Bilancio delle forze

∫_Ω(x-x₀)∧bdv + ∫_∂Ω(x-x₀)∧tds = 0 ⇒ Bilancio dei momenti

TENSORE DEGLI SFORZI

Esiste un campo tensoriale σ(x) tale che:

t(h,n) = σ(x)n ⇒ σ è il tensore degli sforzi di Cauchy

EQUAZIONI DI BILANCIO PUNTUALI

Sfruttando il teorema della divergenza, le equazioni di bilancio diventano:

b + div σ = 0 ⇒ Bilancio puntuale delle forze

σ = σ^T ⇒ Bilancio puntuale dei momenti

• Il bilancio dei momenti chiede che il tensore degli sforzi σ sia simmetrico.
• b … condizione anello centrale forze inerziali: b = ρü

Proprietà dei fluidi

Un fluido è un continuo materiale il cui tensore degli sforzi è isotropo e il cui gruppo di simmetria è unità, è un fluido indeformato (F=I) il cui tensore degli sforzi specifico è rappresentato solo sforzi normali, di compressione (principio di Pascal):

σ = -p I p→ ρdσ pressione

Differenze solido-fluidi:

Solido:

• Può rimanere in equilibrio sotto sforzi attacco tangenziali
• Piccole azioni tendono a piccoli spostamenti e deformazioni
• Deformazioni statiche

Fluido:

• Si deformano con continuità sotto l'azione di sforzi tangenziali
• Assumo fluido a riposante
• Sforzo tang. costante implica velocità di deformazione costante

Tipi di fluidi:

Fluidi Newtoniani

• Si dicono Newtoniani i fluidi il cui tensore degli sforzi dipende linearmente dal gradiente di velocità/velocità di deformazione.

Fluidi non Newtoniani

• I fluidi non Newtoniani sono caratterizzati da relazioni non lineari tra sforza e velocità di deformazione.

Incomprimbili si dicono incomprimibili i fluidi con ρ=cost.

Altrimenti comprimibili: si definisce modulo di comprimibilità (K):

K = ρ (dp/dρ)

Nel caso stazionario questo ₄ lungo coincidono.

Si definisco inoltre:

Superficie di corrente: (o di flusso)

insieme degli archi di corrente passanti per una assegnata curva.

Tubo di corrente: banda la cui curva è chiusa, si definisce un tubo di corrente o flusso.

Tipi di flussi:

Un flusso può essere:

1. Interno: si sviluppano entro pareti solide (condotti ecc.)
2. Esterno: si sviluppano in domini illimitati (flusso su ali ecc.)
3. A pelo libero: tipo di bacini, fiumi ecc.

Portata volumica:

Si definisce portata volumica di un flusso entrante un quantità:

G = ∫_A v·n ds

Essendo A una sezione del condotto in cui si ha il flusso entrante, [G] = m³/_s

Portata massica:

Similmente si definisce portata massica:

ṁ = ∫_A ρ v·n ds

[ṁ] = kg/_s

Velocità media nella sezione:

Si definisce velocità media nella sezione:

v̅ = ¹/_|A| ∫_A v·n ds

Quindi:

G = Av̅

Inoltre quando ρ = cost si ha:

ṁ = ρG = ρAv̅

Bilancio di quantità di moto:

Il bilancio di quantità di moto per un volume materiale afferma che:

dQ/dt = F_ext

ossendo Q = ∫_V(t) ρv dV

e F_ext risultando delle forze esterne applicate, di volume e superficiale, più eventuali forze esterne R.

F_ext = ∫_V b dV + ∫_S f dS + R

Dal teorema del trasporto abbiamo quindi che:

d/dt ∫_CV ρv dV + ∫_GCV ρ(v-u_r)⋅n dS = ∫_CV b dV + ∫_GCV f dS + R

Se il CV non è fisso ma si muove di moto rigido,

allora u_r diventa la velocità del fluid relativa al S.R. del CV,

e si aggiungo le forze di inerzia f₁ = -ρ(e_cu + ω∧r + a_cr ∧ r + ... ) dV

Bilancio del momento angolare

Il bilancio di momento angolare per un volume materiale afferma che:

dK/dt = M_ext

ossendo K = ∫_V(t) ρr∧v dV

e M_ext il momento risultando delle forze esterne.

M_ext = ∫_V r∧b dV + ∫_S r∧f dS + r∧R

Dal teorema del trasporto quindi:

d/dt ∫_CV ρr∧v dV + ∫_GCV ρr∧(v-u_r)⋅n dS = ∫_CV r∧b dV + ∫_GCV r∧f dS + r∧R

Nel caso di CV mobile di moto rigido, allora

ur diventa la velocità rotoria al CV e si aggiungo le

momento delle forze d'inerzia.

Equazioni di Navier-Stokes

Nei fluidi perfetti in moto non si tiene conto degli sforzi di taglio presenti in modo non trascurabile quando si verificano forti gradienti di velocità (quindi velocità di deformazione elevato), si cerca quindi un tensore degli sforzi σ contenente il tensore instabile è un termine additivo che dipende dalla velocità di deformazione, si parla di fluidi viscosi.

σ = -pI + τ

Osserviamo τ (tensore di viscosità)

1. Deve avere le seguenti proprietà:
2. (i) Dipendo unicamente dal gradiente di velocità ∇u
3. (ii) Devo essere isotropo
4. (iii) Devo essere simmetrico → quindi dipende unicamente solo da sym ∇u=D

Cerchiamo quindi un τ che si annulli se m=0 però, il problema è analogo a quello modo risolver del tensore stresso elanco, quindi:

Essendo λ, μ i primi due sforzi, (dipendono da bonità e temperatura), quindi scomponendo in parte sferica ed deviatrica si ha:

Il termine λ + 2/3 μ = 0 nei fluidi, Newtoniani, restato quindi si innanzia co equazione di Navier-Stokes

Nel caso di moto incomprimibile divu=0 si ha

Essendo ν = μ/ρ il viscosità cinematica

SIGNIFICATO NUMERO DI REYNOLDS:

ESSO RAPRESENTA IL RAPPORTO FRA FORZE DI INERZIA SU FLUSSO E FORZE VISCOSO

Re₂ = [sub n*D / υ *n]² → TERMINE INERZIALE

M / M * υ → TERMINE VISCOSO

quindi,

1. per Re BASSI (Re₂ < 2000-2300) LE FORZE DI FORZO SONO CONTROBILIAN

   E LO FLUTUAZIONI SONO SMORZATE DALL VISCOSITA

2. per Re intermedi: (2*10³ Re < 4*10³) si ha TRANSIZIONE

3. per Re GRANDI: (Re > 4*10³) IL TERMINE INERZIALE PREDOMINANT

   E LO FLUTUAZIONI NON POSSON PIU ESSAS’ SMORZATE.

EQUAZIONI N-S MEDIATE:

NEL CASO DI REGIMIO TURBOLONTO SI PARLA DI REGIMO UNIFORMENTO OPPURE

COMPLETAMENTAMINE SVILUPPATO QUANDO UNA GRANDEZZA φ PRESENTO UN

VALOR MEDIO COSTANDO NEL TEMPO PER INTERVALI IL TEMPO “SUFFICLENTEMENTE”

GRANDI:

ψ = ⌠φ dφ^t+Δt

cg_m Δ_x, Δ_t

DEFINO Δ_cg UN INTERVALLO

DI TEMPO CARATTERISTICO.

SI PARLA DI MEDIA AL REYNOLDS, OSSA CANELONZ MONITATO SU UN

INTERVALLO DI TEMPO SUFFICIMPLEMENTE PICCOLO RISPETTO AL FENOMENO CHE

SI VOLE STUDIAR O SUFFICIMPLEMENTO GRANDO RISPECTTO AL FLUTUAZION DI TURBOLONZO,

* LE EQUAZIONI DI NAVIONI-STOKRIS VALGONO DIVIANMENTO ANCHE PER IL FLUSSO

TURBOLONTO, LANDO CONDIZIONI AL CON RIBAD FUNZIONA E POSSIBILO RISSOLVERO

NUMERICAMENTO LE N-S NON STAZIONARELI CI PARLA ING QUESI CASO

DI DIRECT NUMERICAL SIMULATION.

* UN METODO MENOR ACCURATO MA PIU' AGIBILE SE QUELLO DI RISOLVERE LO

EQUAZIONI DI NAVION-STOKRES COMBATO ALLA REYNOLS ME IN CON I NELLO

N-S SI SISTEMIZO CHASCUNA GRANDEZZA CONA IL SOMMA DE SUO VALOR

MEDIO A DEL FLUTUAZION:

IN = IN + I'

*FLUTUACIONES

VALOR MEDIO