Appunti di Fluidodinamica

Velocità di gruppo e di fase in un mezzo non dissipativo

Consideriamo un treno di onde lungo Δ, durante il quale Δdk₀=k, =w₀^d. Se ΔE(,)= E₀, allora V_g = VF= velocità con cui si muovono pacchetti ed energie.

Velocità di gruppo e di fase

Per la velocità di gruppo (di segnale), v=1)k₁ e k₂. A :k₂ = k₁. 2) Consideriamo onda e 2 componenti sinusoidali con E = A. Dato che E=2A.

Dato che ₁,₂ Ond ↔ V_g=Velocità di gruppo e di fase in un mezzo non dissipativo. Apriamo di ordine lungo e, durante dispersione non anomala.

Velocità di pacchetti e dispersione

Consideriamo la velocità di gruppo e la velocità di fase come velocità con cui si muovono pacchetti ed energie. La dispersione e la dissipazione non trasportano alcun segnale.

1. Onda periodica può essere sviluppata in serie armoniche utilizzando la T. di Fourier.

Dato che cos. Dato che Due. Onda di Con Ampiezza V_g = lim_Δk→0 Δw / Δk = dw / dk, velocità di gruppo (di segnale) dell'onda complessa V_g = dw / dk = tg(β), velocità di gruppo V_f = c/k, velocità di fase.

1. Consideriamo un'onda sinusoidale λ lungo ξ, di durata Dt, lunghezza Dzn ∈ ℝ (materiale non dissipativo).

w = 2π/λ = 2πc/λ = c|k|/n(ξ) = w(k).

1. Poiché la proprietà dispersive in un mezzo omogeneo non dipendono dal verso di propagazione.
2. w(-k) = w(k), lontani da regioni di dispersione annulate → w(K) tc dw/dk ≪ 1.

∀E eseguiamo lo sviluppo di Fourier di E(ξ, t₁) in z. Onda lunga Dz ≠ ≠ regolare → E(ξ, t) = ∫g(k) e^{i(kξ - w(t))}dk.

Poiché n ∈ ℝ → ∂²g(k) / ∂ t² = 0 → Calcoliamo ĝ(t = 0).

Forma d'onda a t=0

Notilib>per e^-ikz∫_-∞^+∞ E(z,0) e^-ikz dz = ∫_-∞^+∞ g(k) dk ⋅ ∫_-∞^+∞ e^i(k∗-k')z dz → ∫₀^+∞ e^i(k'-k')z dz = 1/2π ∫_-∞^+∞ e^i(k-k')z=δ(k-k').

1. Per proprietà della δ(x) (definizione) ∫_-∞^+∞ g(k) δ(k-k') dk. g(k)δ(k-k') = g(k') → ∫_-∞^+∞ E(z,0) e^-ik'z dz = 2π δ(k-k').

Se k=Kg(k)=1/2π∫_-∞^+∞E(z,0)e^iKzdz.

Sviluppo di Fourier e delta di Dirac

Noti la forma E (z,0) dell'onda a t=0, g(k)=E(onda). Se E(z,0) è un'onda sinusoidale con k_o=2π/λ_o e lunghezza Δz, allora g(k) Δk: Δz ≥ 1/2. Se Δz=∞ → E₀ e^i(kωz-ωt) ≡ E_onda(k,t).

Sostituendo E(z,0) con E₀ e^ikoz → g(k)=1/2π∫_-∞^+∞E₀ e^i(ω-ω₀)z dz = E₀δ(k-ko). Essa è una delta di Dirac in k-k₀.

Propagazione del pacchetto d'onda

Se Δzω, sviluppiamo ω(k) al 1^o ordine intorno a k_oω = ω (k) = ω₀ + dω/dk |_k=k0⋅ (k-k_o). Sostituendo: E(z, t) = ∫_-∞^∞ g(k) e^{[ikz - ω(k)t - (dω(k)/dk)(k - k_o)t]} dk == e^{i[k_o z - dω(k_o)/dk - ω_o t]} ∫_-∞^∞ g(k) e^{[ik(z - (dω/dk)(k_o) t)]} dk = { E(z, t)_o - e^{iω_o t} ∫_-∞^∞ g(k) e^ikξ dk }.

&partial;ω = &partial;_k &partial;k (k = k_o)= costante → ξ = z - v_g t. Dunque E(z, t) = e^{iω_o t} ∫_-∞^∞ g(ξ) e^ikξ dk è un pacchetto di onda con la stessa forma del pacchetto iniziale che si propaga con velocità v_g = dv/dk (ω).

s.f. ω₀ = c/n(ω₀) → v_F = ξ_F 1/v.